книги из ГПНТБ / Реология в процессах и аппаратах химической технологии [сборник статей]

ГОЛОВАНЧИКОВ А. Б., ТРУСОВ С. А., ШИБИТОВ Н. С,

ГИДРОДИНАМИКА ПАДАЮЩЕЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Истечение струй из отверстий под действием сил тяжести встречается при опорожнении резервуаров и в таких процес­ сах, как ректификация и абсорбция в тарельчатых колонных аппаратах, и др.

Попадая в поле действия сил тяжести, струя жидкости начинает растягиваться и удлиняться. При этом происходит изменение радиуса струи до тех пор, пока струя не разорвется. Форма струи, время до ее разрыва, максимальная длина нераепавшейся части струи определяют протекание процессов заполнения литьевых форм, образование поверхности контак­ та фаз и др.

Рассмотрим задачу развития изотермического течения в струе падающей жидкости, истекающей из отверстия диамет­ ром d0 с постоянной скоростью v0.

Будем считать, что на выходе из отверстия скорость v0 постоянна и не изменяется по сечению струи, ось координат z совпадает с осью струи.

Так как в начальном сечении струи скорость не изменя­ ется по сечению струи, то можно предположить, что компонен­ та скорости vz является функцией только одной координаты z и времени t в произвольном сечении, то есть vz— vz (z, t).

При достаточно большом времени истечения длина струи

R

много больше ее радиуса, то есть —:----= е<§;1. В предположе­

ний, что изменение параметров течения по оси dz ■пропор­

30

получим, что компонента скорости vz пропорциональна 1 vz~ \ , а компонента скорости vz~ R. При такой оценке порядка ком­ понент скорости следует, что

Связь между компонентами напряжений и скоростями дефор­ маций для -вязкой жидкости в цилиндрических координатах при vz—vz (z, t) и vz> vz запишется в виде

р«г = - р * г ? ! ^ ,

Ргг=-Р + £^ OL

(3)

=-Р + £ ?4 ^ /

Р— давление в среде,

р — коэффициент вязкости среды.

Из соотношений (3) с учетом выражений (2) получим:

На поверхности струи из условия непрерывности нормаль­ ных напряжений имеем Рг, = —Р0, где Р0—давление среды, в

ление в струе Р является функцией только координаты z и времени t, Р = Р (z, t).

Уравнения сплошной среды в напряжениях для рассматри­ ваемого случая имеют вид

31

Подставляя в уравнение (5) соотношения между напряжени­ ями и скоростями деформаций, получим уравнение течения вязкой жидкости

Силы трения струи о воздух незначительны, поэтому мож­

dPo

= 0.

dz

Пренебрегая нелинейным членом vz— ^ — , вследствие

больших сил вязкости, получим следующее приближенное уравнение, описывающее течение вязкой жидкости в струе.

Начальным и граничным условиями уравнения (8) являются равенства

Уравнение (8) с начальными и граничными условиями (9) справедливо только в области течения среды подстановкой

32

Начальное и граничное условия запишутся

vJ(i>1°о)=т?а+ Ц ?’

Последнее условие является неоднородным.

Для того чтобы свести это граничное условие к однородному, положим

Решение уравнения (13) при условиях, аналогичных (14), известно в теории теплопроводности и имеет вид

г - г т ш - Ж Ч * ! # ] -

(15)

После обратных преобразований (12) и (10) решение урав­ нения (13) запишется в виде

«■,- ч; f< -«l ( г 4 т г I " I T * is%U j "w x

«*>

site Я

^ i 2 = ^ |e x p ( - Q ) ^ 2

0

— интеграл 'вероятности.

Преобразованием переменных и последовательное инте­ грирование получающихся выражений приводит к зависимо­ сти скорости от времени и координаты.

*4=

Как отмечено выше, выражение (16), описывающее изме­ нение скорости во времени и пространстве, справедливо толь­ ко при значениях координаты z меньших длины зоны тече­ ния 1, то есть при zs^ 1.

Для дальнейшего анализа течения жидкости в струе целе­ сообразно упростить выражение (17).

Для высоковязких продуктов и малых временах t можно

z

положить, что yg—— <1, тогда, разлагая в ряд экспонен­ циальную зависимость и интеграл вероятности, найдем, что

Используя в приближенном выражении (18) только пер­ вые члены, можно найти изменение длины зоны течения во времени.

Учитывая, что при z == 1, vz= —^ — , где 1— длина струи

34

Начальным условием последнего уравнения является ра­ венство нулю длины струи в начальный момент времени, т. е.

при t = 0, 1= 0.

Преобразуем последнее выражение к безразмерной форме, введем подстановки

Уравнение (21) является уравнением типа Рикатти, чис­ ленное решение которого при различных значениях от 0,005 до 0,1 было проведено на электронно-вычислительной машине «Наири». Алроксимация полученных решений имеет вид

Точность апроксимадии лежит в пределах 30%. Столь вы­ сокие отклонения от истинных значений L наблюдаются для узкого диапазона времени 1,3< 1,5. При других значениях Т точность апроксимадии составляет 3—5%. Следует отметить, что и в начальный момент времени при Т<1, апроксимация истинного выражения удовлетворительна.

Для определения длины и формы нераспавшейся струи не­ обходимо знать изменение радиуса струи R во времени и про­ странстве, т. е. R= R (z, t).

Учитывая, что компонента скорости vz не зависит от ради­

Поверхность струи в произвольный момент времени t является линией тока проходящей через точку с координатами z = 0 и dz то

Интегрируя при граничном условии

Для струи будет справедливо интегральное уравнение нераз­

выражений (22) и (28) найдем изменение наименьшего ради­ уса струи во времени -ЯШ _ i

- #Д08

3.

(29)

Разрыв струй происходит при некотором значении радиуса Rmin, которое определяется физико-механическими свойства­

ми среды.

Определив значение Rmin, можно найти значение времени отрыва и длину нераспадающейся струи.

ВЫВОДЫ

Из теоретического исследования гидродинамики падающей струи вязкой жидкости получено, что на максимальную длину нераспавшейся части струи влияют начальная скорость исте­ чения струи из отверстия, вязкость истекающей жидкости, ускорение свободного падения и диаметр отверстия, через ко­ торое происходит истечение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Котляков Н. С., Гринер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.

36

ГУСЕВ В. Б., ТОРНЕР Р. В.

НАНЕСЕНИЕ ПОЛИМЕРНОГО ПОКРЫТИЯ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ

Нанесение полимерного покрытия на тонкостенную цилин­ дрическую оболочку производится заполнением кольцевого зазора, образованного ее внутренней поверхностью и поверх­ ностью пуансона, оформляющего контур покрытия. В процес­ се последующей вулканизации полимер скрепляется с предва­ рительно загрунтованной поверхностью оболочки и после удаления пуансона остается на ней. Основные затруднения, возникающие при заполнении, состоят в том, что давление в зазоре ограничено прочностью оболочки, а время заполне­ ния— длительностью индукционного периода полимера. Уве­ личение температуры литья позволяет снизить давление за счет уменьшения эффективной вязкости полимера, но длитель­ ность индукционного периода при этом также уменьшается. Поэтому при изменении параметров формования возможно такое их сочетание, при котором вулканизация произойдет раньше, чем будет заполнен зазор.

Рассмотрим задачу о нахождении оптимальных условий литьевого процесса посредством его математического модели­ рования с учетом геометрии формы и реологических характе­ ристик полимера, представляющего собой псевдопластическую жидкость. В качестве дополнительных условий примем, что

среднее приращение температуры расплава может быть най­

Можно показать, что для указанных выше условий дисси-

37

пативный разогрев полимера, рассчитанный по уравнению (1), составляет не более 0,3 — 2,5°С.

При построении математической модели введем следующие

допущения:

а) процесс течения является квазистационарным, одномер­ ным и изотермическим, а влияние инерционных и массовых

сил на течение незначительно; б) величина зазора мала по сравнению со средним радиу­

сом и его можно развернуть в плоскость; в) на границе полимер — поверхность формы выполняется

условие прилипания; г) реологические свойства полимера описываются степен­

ным уравнением вида:

где т)0 — значение эффективной вязкости при — ^ — = 1

(или коэффициент консистенции), п — индекс течения.

На рис. 1а представлена схема заполнения кольцевого за-

Рис. 1а. Схема заполнения литьевой формы при жесткой фик­ сации оболочки. 1 — пуансон, 2 — оболочка, 3 — заглушка, 4 — полимер.

зора между оболочкой и пуансоном оснастки для литьевого прессования, оболочка жестко зафиксирована относительно

38

пуансона. Заполнение зазора производится с торца через не­ сколько параллельных литников круглого сечения.

Начальные и граничные условия задачи запишем в виде:

х = 0 при t = 0, где t — время; ft

пх = 0 при у = ± —~— , где Н — величина зазора;

т Ух = 0 при у = 0, где Т у х — касательные напряжения; Р = Р0 при х = 0, где Р — гидростатическое давление; Р = О при х = х.

Уравнение движения при сделанных допущениях принима­

Интегрируя это уравнение и определяя постоянную инте­ грирования из условия: тУх = 0 при у = 0, получим:

где скорость в средней плоскости определяется из уравнения2

Средняя скорость течения определяется также очевидным со­ отношением:

dt

39