книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

§ 2. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция есть функция, обратная пока­ зательной. Число\ѵ называется логарифмом числа гфЪ, если cw = z,n обозначается w = Lnz.

Положив z = г • eitf\ а w = и + 1ѵ, получим:

z = ew = eu • eiv = г • е'?.

Отсюда имеем 2 равенства: eu = r и ѵ = ф+кя. Из первого ра­ венства следует, что u = lnr есть обычный натуральный лога­ рифм положительного числа г:

w = Ln z = и + іѵ = ln г + і (ф + 2к и) =

комплексного аргумента имеет бесчисленное множество зна­ чений. При к=0 она будет иметь г л а в н о е з н а ч е н и е логарифма, которое обозначают обычно символом Inz, то есть

!nz = ln|z|. Таким образом, главное значение логарифма дей­ ствительно положительного числа совпадает с обычным на­ туральным логарифмом этого числа.

Ln ( — l) = (2k -j- l) тс i ; in ( — l) = it i.

П р и м е р 2. z = i. Найти Lni и Ini.

следовательно,

Пользуясь формулой (62), докажем, что Lnz обладает теми же свойствами, что и логарифмы действительных чисел:

Ln ъ\ • z2 = Ln zi + Ln z2.

60

Проверим справедливость первого соотношения: Ln(z, • z2) = In I zi • z2 M - Arg (zi - z j =

— ln ( I Zi I • I z2 I ) + i (Arg zi + Arg z2) =

sinz и cosz могут быть получены непосредственно из формул Эйлера. Для действительных z из этих формул получают тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть z = x(y=0), тогда

cos z = cos X, tg Z = tg X, ctg Z = Ctg X .

Функции (58) сохраняют большинство свойств тригономет­ рических функций действительного аргумента.

Докажем, что sin z и cos z имеют период 2л:

61

показательной функции elz+2lci = eiz, . Аналогично можно про­

верить периодичность остальных тригонометрических функций. Нетрудно доказать, что все основные тригонометрические тож­ дества остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексного аргумента. Покажем для примера, что

sin2г -f cos2z = 1.

В самом деле,

Для тригонометрических функций остаются справедливыми формулы приведения и формулы сложения.

Читатель без труда может самостоятельно проверить справедливость, например, таких тождеств:

В отличие от тригонометрических функций действительного

62

§ 4. Гиперболические функции

Гиперболические функции комплексного аргумента опре­ деляют следующими равенствами:

ские функции имеют ту же периодичность, что и тригономет­ рические того же названия.

Полагая в равенствах (66) iz = z/, получим: sin z' = i sh z, tg z' = i th z ,

cos z' = ch z , ctg z' = - j - cth z .

Отсюда вывод: любому соотношению между тригонометри­ ческими функциями соответствует аналогичное соотношение между гиперболическими функциями, полученное в резуль­ тате замены sin z и cos z на i-sinz и cos z.

П р и м е р . Известным соотношениям

cos2 z -j- sin2 z = 1 ; sin 2z = 2 sin z ■cos z ;

cos 2z — cos2 z — sin2 z

для гиперболических функций соответствуют соотношения:

ch2 z — sh2 z = 1 ;

sh 2z = 2 sh z • ch z ;

ch 2z ■= ch2 z -j- sh2 z.

63

X

§5. Обратные тригонометрические

иобратные гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные тригонометрическим. Число w называет­ ся арксинусом z, если z= sinw, и обозначается w = Arc-sinz. Найдем выражение для w, используя определение синуса комплексного аргумента:

Решая это уравнение относительно eiw, получим:

elW= iz -j- V 1 — z2 .

Здесь, в отличие от обычной формулы для корней квадрат­ ного уравнения, нет смысла перед радикалом брать двойной

знак, так как і / z обозначает все значения корня. Зная вы­ ражение для elw, найдем iw:

iw = Ln (iz + V І — )

или окончательно —

Arc-sinz является функцией многозначной. Аналогично опре­

64

или

e2iw - 2 zeiw + 1 = 0 .

Решая это уравнение относительно elw, получим

eiw = г + Ѵ І Г ^ Т .

отсюда

iw = Ln (z + У z2 — 1 )

и окончательно —

= — i In []/ 2 + (— l)k] + k я .

Найдем выражение Для Ars hz, тогда

z = sh w

откуда

e2W— 2 zew — 1 = 0 .

Решая это уравнение относительно ew, получим:

ew = z + У z2 + 1 или w = Ln (z + У z2 + 1 ),

откуда окончательно —

Аналогично найдем остальные обратные гиперболические функции:

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1. Определение производной от функции комплексного переменного

Производную от функции комплексного переменного фор­ мально определяют так же, как и производную функцию действительного переменного. Пусть в области D задана функция w = f(z). Возьмем в этой области точки z и z+Az. Приращение Az взято таким образом, чтобы точка z+Az принадлежала той же области D. Составим отношение при­ ращения функции к приращению аргумента:

Очевидно, что отношение (75) является функцией прираще­ ния Az.

Если существует конечный предел отношения прираще­ ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется про­ изводной от функции w = f(z) в точке z, взятой по области D.

Кратко производная от функции в точке z определяется равенством:

66

Заданная в области D функция w = f(z), имеющая в точке г этой области производную, называется дифференцируемой в точке z области D.

Как видно, определение производной в комплексной'об­ ласти формально совпадает с определением производной функции действительного переменного. Однако-условия диф­ ференцируемости функции комплексного переменного явля­ ются более ограничивающими, чем условия существования производной от функции действительного переменного. Для существования производной функции действительного пе­ ременного необходимо и достаточно равенства лёвосторонней и правосторонней производных в этой точке. Определе­ ние производной функции комплексного переменного требует равенства пределов отношения (75) при любом способе стремления приращения аргумента к нулю. Вполне очевидно, что различных способов приближения точки z+Az к точке г в комплексной области значительно больше, чем в области действительного переменного. А требования выдвигаются та­ кие же, то есть по какому пути точка z+Az не приближалась бы к точке z, отношение (75) должно стремиться к одному и тому же пределу.

Рассмотрим некоторые примеры.

I. Определить, будет ли дифференцируемой в точке z = 0

функция f (z) =X+y+ixy.

Данная функция определена и непрерывна во всей комп­ лексной области, в том числе и в точке z = 0. Составим в этой точке отношение приращения функции к приращению аргу­

Будем считать, что Az стремится к нулю вдоль действитель­

Таким образом,- при различных способах стремления Az к ну­ лю получаются различные, значения предела отношения при-

2 . Функцию 'f(z0) = X можно рассматривать как функцию действительного переменного. В каждой точке действитель­ ного переменного она имеет производную

df(z) _ ,■ dx

Следовательно, функция f(z)=x является дифференцируемой на всем множестве значений действительного переменного. Но эту же функцию можно рассматривать как функцию комплексного переменного. Она определена и непрерывна на всем множестве комплексных чисел. Ее значения равны дей­ ствительной части соответствующего значения аргумента. Возьмем любую точку z0=xo+iyo плоскости и зададим произ­ вольное приращение Az = Äx+iAy. Отношение приращения функции к приращению аргумента определим выражением:

Если точка zq-{-Az = (x0-f-Ax)-fi(y0-f-Ay) стремится к точке z<j по прямой, проходящей через точку Zq параллельно мнимой

потому что в точках этой прямой Ах—0.

Если точка Zo+Az->Zo— по прямой I (z) = I (zo‘) , то

всех точках плоскости, хотя она всюду непрерывна. Последний пример показывает, что одна и та же функция

является дифференцируемой в области действительного пе­ ременного, но не имеет производной в комплексной области. Объясняется это тем, что условия дифференцируемости функции комплексного переменного являются более стесни-

68

тельными, чем условия существования производной функции-, действительного переменного.

Как и для функции действительного переменного, следст­ вием дифференцируемости функции в некоторой точке яв­ ляется и непрерывность функции в этой точке. Обратное ут­ верждение не имеет места.

§ 2. Условия Коши-Римана. Аналитические функции

Необходимые и достаточные условия дифференцируемо­

Условия (77) называются условиями Коши-Римана или Даламбера Эйлера,

1. Д О К а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и

при произвольном стремлении к нулю Az = Ax-fiAy.

В частности, можем считать, что Ду=0, а Дх->0, то есть точка z-|-Az приближается к точке г по прямой, параллельной дей­

69