книги из ГПНТБ / Нелинейные системы гидродинамического типа

жидкости от ее физических и внешних параметров, строго контро­ лируемых в эксперименте.

Впервые лабораторные эксперименты по конвекции вращаю­ щихся жидкостей были выполнены Фульцем (1951) и Хайдом (1953), впоследствии неоднократно воспроизведенные и суще­ ственно дополненные исследованиями ряда других авторов, ле­ тальное обсуждение результатов которых можно найти, например, в обзоре Хайда (1970). Для нас важным является то общее, что при­ суще всем лабораторным экспериментам и что состоит в следующем. Сосуды имеют форму цилиндрических или кольцевых каналов; внешнее нагревание жидкости неоднородно по горизонтали, а вра­ щение ее осуществляется вокруг вертикальной оси симметрии. Поведение жидкости в таких сосудах определяется главным

РИС. 17. В ПЛОСКОСТИ (о^л, (Йо)

схематически изображена кри­ вая устойчивости осесиммет­ ричного течения (режим Гадлея) в кольцевых сосудах

При малых числах Тейлора в канале устанавливается осесим­ метричное течение, экспериментальная кривая устойчивости ко­ торого схематически изображена на рис. 17 в фазовой плоскости * (о7*«, а%о). В области, расположенной справа от кривой, устойчивым является один из трех видов несимметричных течений, объеди­ няемых под общим названием режимов Россби, подробное опи­ сание которых содержится в книгах Лоренца (1967) и Старра (1968).

Из рис. 17 видно, что фактор вращения при определенных условиях приводит к появлению качественно новых особенностей конвективного процесса, характерных исключительно для вращаю­ щихся жидкостей. Режимы Россби вообще не существуют при ма­ лых аГа <С оГвкр, когда влияние вращения практически еще не ска­ зывается. Осесимметричный решим, устанавливающийся при ма­

* По аналогии с пространством скоростей пространство безразмерных кри­ териев подобия мы также будем называть фазовым.

59

внешнее неоднородное нагревание становится достаточно интен­ сивным. В таких случаях говорят, что «нижний» осесимметричный режим переходит в «верхний», фазовая точка которого располо­ жена над критической кривой (см. рис. 17).

Теоретическое объяснение взаимного преобразования режимов Гадлея и Россби дано в работе Лоренца (1962), которая представ­ ляет замечательный пример аналитического исследования нелиней­ ной конвекции, выполненного с помощью малопараметрической математической модели. Надо сказать, что при изучении конвек­ тивных процессов, как правило, приходится прибегать к громозд­ кому численному интегрированию гидродинамических уравнений, тогда как аналитическими методами к настоящему времени уда­ лось получить только отдельные результаты, относящиеся преиму­ щественно к конвекции жидкости, подогреваемой снизу (см., на­ пример, Сорокин (1954), Горьков (1957), Малкус и Веропис (1958)

инекоторые другие работы, обсуждаемые в упомянутой книге Монина и Яглома). Однако для понимания механизма бароклинной неустойчивости имеют большое значение задачи, доступные теоретическому анализу, поскольку именно они дают представле­ ние о зависимости свойств движения жидкости от ее физических

ивнешних параметров. Уже работа Лоренца (1962) показывает, сколь полезными могут оказаться малопараметрические модели для изучения реальных процессов в жидкости. В гл. II были сформулированы определенные требования, которые должны’предъявляться к малопараметрпческпм моделям, претендующим на опи­

сание гидродинамических систем. Естественно попытаться на основе обобщения указанных требований на случай конвек­ ции применить общий подход, развитый в гл. II, к построению простейшей модели бароклинного течения, пригодной, в частности, для исследования конвекции, возникающей в условиях гори­ зонтально неоднородного разогрева и вращения.

Обобщение должно содержать требование существования до­ полнительных инвариантов, соответствующих сохранению энтро­ пии и потенциального вихря, которым сопровождается свободное течение бароклинной жидкости, и, кроме того, в интеграл энергии должны входить члены, ответственные за доступную потенциаль­ ную энергию.

Модель такого типа можно построить (см. Должанский (1973а, б)) с помощью рассмотренных выше уравнений Эйлера теории гироскопа, если учесть архимедовы силы и ввести уравне­ ние переноса тепла. Для достижения цели вновь удобно восполь­ зоваться гидродинамической интерпретацией уравнений триплета, подразумевая движение жидкости внутри эллипсоида с линейным полем скорости. В этом случае задачу удается свести к изучению квадратично-нелинейной динамической системы с шестью степе-

60

нями свободы, с помощью которой мы выделим важнейшие свойства конвективного процесса, кратко описанные выше.

Отметим, что в отличие от движения жидкости под действием магнитного поля, рассмотренного в предшествующей главе, кон­ вективное течение оказывает уже существенное влияние на ве­ личину и направление внешнего возбуждения, хотя в обоих слу­ чаях приложенные силы имеют вихревой характер. Такой эффект обратной связи учитывается в предлагаемой ниже модели.

§2. Модельные уравнения и интегралы движения

Вобщем виде физическая постановка задачи выглядит сле­ дующим образом. Вязкая несжимаемая жидкость, заключенная

внутри эллипсоида, уравнение поверхности которого

S (х) = (x./af + (x2/bf + (*з/с)2 = 1, ( ® > Ь > с ) ,

находится в условиях стационарного неоднородного внешнего нагрева. Эллипсоид вместе с источниками тепла приведен в со­ стояние равномерного вращения вокруг оси, проходящей через его центр инерции, параллельно вектору силы тяжести с угловой скоростью й 0, которая предполагается не слишком большой, чтобы влиянием центробежных сил по сравнению с силой тяжести можно было пренебречь.

Поведение такой системы, вообще говоря, описывается уравне­

и коэффициент объемного расширения жидкости соответственно,

вязкие силы, для которых rot i'=^0, е — приток тепла к единице массы жидкости за счет внешнего нагрева и теплопроводности, который в дальнейшем будем предполагать линейной функцией пространственных координат (хѵ х2, х 3), ср — удельная теплоем­ кость при постоянном давлении.

Движение реальной жидкости внутри эллипсоида, как было показано в гл. I l l , при определенных условиях хорошо описы-

61

Бается линейным полем скоростей. Поэтому, применяя метод, аналогичный тому, который был использован в гл. II при выводе динамических уравнений триплета из уравнений гидродинамики, решение системы (4. 1) и (4. 2) будем искать в классе функций, удовлетворяющих условиям

что эквивалентно сохранению только первых членов в разложе­ нии полей V и Г по опорным функциям (см. гл. I). В результате получим следующую упрощенную систему уравнений конвекции:

где компоненты вектора ш в системе координат с осями х ъ х„, х 3, совпадающими с главными осями эллипсоида, выражаются через

Составляющие векторов q и c^Q — соответственно разности температур и притоков тепла на главных полуосях эллипсоида, т. е.

I = (а cos -fr, b cos у«, c cos -у3),

где cos f . суть направляющие косинусы силы тяжести. Последним членом в правой части (4. 4) учитывается диссипация.

Рассмотрим некоторые особенности упрощенных уравнений конвекции. Умножая скалярно левые и правые части уравне­ ний (4. 4) и (4. 5) соответственно на w и ßgl и складывая, получим уравнение баланса полной энергии Е

62

Умножая затем (4. 4) на q, а (4. 5) на (М +2М 0) и вновь складывая, придем к так называемому уравнению трансформации потенциаль­ ного вихря (см. Обухов (1962))

являются аналогами хорошо известных гидродинамических инва­ риантов. Понятие потенциального вихря впервые было введено Эртелем (1942) и часто используется в метеорологии (см., напри­ мер, Монин (1970)).

Следует заметить также, что первое слагаемое в первом ра­ венстве (4. 10) соответствует кинетической энергии свободного жидкого вращения, а второе является мерой так называемой доступной потенциальной энергии (Лоренц (1955)), которая дости­ гает минимального отрицательного значения при устойчивой тем­ пературной стратификации, когда grad Т имеет направление, противоположное силе тяжести.

Кроме того, как непосредственно следует из уравнения (4. 5), согласно которому вектор q при Q = 0 вращается с угловой ско­ ростью а), рассматриваемая гидродинамическая система обладает еще одним интегралом движения q=|q|. В принятых нами прибли­ жениях он соответствует сохранению энтропии замкнутой системы. Используя это обстоятельство, полную энергию можно опреде­ лить как

Е ' = - i - M .w + g ß (Z ff+ l-q ); (4.10')

она уже не принимает отрицательных значений, а ее минимум равен нулю.

При е=0 система (4. 4), (4. 5) допускает стационарное решение,

новесия приводят в отсутствие вязкости к возникновению гармо­ нических колебаний с частотами Брента—Вяйсаля (см., напри­ мер, Эккарт (I960)), которые зависят от ориентации эллипсоида,

Таким образом, упрощенные уравнения конвекции, исследо­ ванием которых мы займемся в следующих параграфах, сохраняют

63

важнейшие свойства исходных гидродинамических уравнений. Введение дополнительных ограничений очевидно привело бы к иесохранению указанных свойств, а поэтому систему (4. 4), (4. 5), в которой учтено влияние архимедовых сил и процессов переноса тепла, можно рассматривать как простейшую модель бароклинного течения жидкости.

Заканчивая постановку задачи, заметим, что в рамках исполь­

(1. 26)) и проинтегрируем его правую и левую части вдоль не­

где Pf . — элементы симметричной матрицы, выражения для ко­ торых имеют вид

a S . и R . ( i= 2, 3) легко получаются из (4. 13) и (4. 14) круговой перестановкой индексов (12 3) и (ab с). Первое слагаемое в (4. 11) соответствует реакциям связи, второе имеет термодинамическое происхождение, а последнее обусловлено силами Кориолиса. Полезно отметить, что выражение (4. 11) строго выполняется лишь для невязкой жидкости. В противном случае его следует рассматривать как приближенное, поскольку из-за прилипания жидкости на стенках линейные поля скорости и температуры в вязкой жидкости не могут сформироваться. Одиако движение внутренних слоев жидкости, как было показано в гл. I l l , доста­ точно хорошо аппроксимируется такими полями.*§

§ 3. Стационарная конвекция в покоящемся эллипсоиде

Ограничимся на первом этапе исследованием конвекции в по­ коящемся эллипсоиде (ß0=0). Такая задача представляет само­ стоятельный интерес, и, кроме того, она поможет нам в дальней-

64

шем лучше разобраться во влиянии сил Кориолиса на формиро­ вание бароклинных течений. Поступление энергии от внешних источников тепла к жидкости проще всего учесть, задав е фор­ мулой Ньютона

Последняя предполагается заданной линейной функцией простран­ ственных координат, и, кроме того, у может учитывать как моле­ кулярный, так и радиационный механизм передачи тепла.

Как было показано в гл. I l l , неустойчивость циркуляции внутри полости при движении, характеризующемся линейным цолем скорости, можно наблюдать при условии, если закручи­ вание жидкости происходит вокруг средней оси эллипсоида. Поэтому дальнейшее рассмотрение проводится в предположении,

Тогда, принимая во внимание ориентацию эллипсоида по отно­ шению к силе тяжести и внешним источникам тепла, уравнения

указанные соотношения. Точкой обозначена операция дифферен­

ваемая в неподвижной среде внешними источниками тепла на боль­ шой полуоси эллипсоида.- ■

В применении к данной гидродинамической системе безраз­ мерные параметры Ra и Рг естественно называть числами Рэлея и Прандтля соответственно. Следует, однако, подчеркнуть, что они определяются не молекулярными, а эффективными коэффициен­ тами вязкости и теплопроводности, которые, как уже указыва­ лось, могут учитывать влияние пограничного слоя, внутреннего

причем W2„ является единственным действительным корнем куби­ ческого уравнения:]

обычной регулярной конвекции с восходящими течениями в нагре­ тых областях и нисходящими течениями в холодных. Такой режим конвекции в применении к атмосфере и лабораторным экспериментам принято называть гадлеевским, по имени одного из первых исследователей общей циркуляции земной атмосферы.

неаризуем систему (4. 17), (4. 18) относительно такого состояния, пренебрегая членами второго порядка малости. Матрица о//, со­ ставленная из коэффициентов правой части линеаризованных уравнений, имеет вид

В силу специфики структуры матрицы (4. 21) соответствующий ей характеристический многочлен ||с// — а 1|| (1 — единичная

66

матрица) можно представить в виде произведения двух полиномов третьей степени от с

Примеияя для исследования корней многочленов (4. 22) извест­ ный критерий Льенара—Шипара (см., например, Гантмахер (1966)), получим следующее необходимое и достаточное условие устойчивости режима Гадлея:

т. е. в этом случае все корни указанных многочленов имеют отри­ цательную действительную часть. Полезно отметить, что действи­ тельные части корней первого многочлена (4. 22) отрицательны при любых значениях, входящих в него параметров, а (4. 23) есть условие положительности свободного члена второго куби­ ческого полинома (4. 22), которое, как нетрудно показать, влечет за собой выполнение остальных неравенств критерия [Льенара— Шипара.

Условие (4. 23) с помощью третьего равенства (4. 19) можно записать в явном виде

что следует из (4.24).

Таким образом, полученный критерий устойчивости указывает на весьма интересную особенность циркуляции вокруг средней

5* 67

осщ Потеря устойчивости такого течения при возрастании Ra наступает только при условии, если эффективный Рг < Рг0, причем максимально неустойчивым по отношению к режиму Н оказывается наиболее сплюснутый эллипсоид (х=3).

Задача о нахождении стационарных решений системы (4. 17), (4. 18), соответствующих другим не гадлеѳвским типам циркуля­ ции, сводится к вычислению корней алгебраических уравнений степени выше четвертой, и поэтому такие решения не представимы явными аналитическими выражениями. Однако для дальнейшего исследования в них нет необходимости, достаточно ограничиться асимптотическими разложениями.

Рис. 18. Критические кривые режима Н для различных зна­

чений параметра •/.

Полагая в (4. 17), (4. 18) левые части равными нулю, выразим сначала Ѳ,- через динамические параметры W (

Отсюда, в частности, видно, что во всех стационарных режимах конвекции при заданном способе внешнего разогрева устанавли­ вается устойчивая вертикальная стратификация. (Ѳ3 )> 0).

Подставляя (4. 26) в (4. 17), получим следующую систему уравнений для определения стационарных значений динамических параметров Wf :

Хотя 8 зависит от решения, введение его существенно облегчает анализ, цоскольку, как будет показано ниже, при больших

68