книги из ГПНТБ / Нелинейные системы гидродинамического типа

причем первый из них с точностью до постоянного множителя сов­ падает с кинетической энергией жидкости гироскопа, которая имеет вид

не квадрату момента количества движения, как это имеет место для механического волчка*, а представляет сумму квадратов

Пользуясь законами сохранения, записанными в форме (1. 40) и (1. 41), можно сделать некоторые заключения относительно устойчивости движения жидкого гироскопа. Для этого прежде

и сферы с радиусом М . При перемещении вектора М его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей. Сам факт пересечения обеспечивается очевидными неравенствами

а * < М * < а ? ,

геометрически означающими, что радиус сферы (1. 41) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида (1. 40). В случаях М —а1 или М = а 3 происходит касание сферы эллип­ соидом энергии в точках большой или малой оси, причем точки касания являются точками максимума или минимума энергии

*При движении идеальной жидкости внутри трехосного эллипсоида меха­ нический момент жидкости не сохраняется, и возникают реакции, которые могут быть измерены (см. гл. III).

2* 19

Рис. 3. Фазовые траектории в случае вращения вокруг малой (а) и большой (б) осей

соответственно, и им отвечают стационарные устойчивые вращения жидкого гироскопа вокруг осей М г и М 3, соответствующих наи­ большему и наименьшему значениям / х и /3. В самом деле, при малых отклонениях от этих состояний будут выполняться равен­ ства: М = а 3 -1-8 или М = ах— 8, где 8 — некоторый малый параметр и траектории движения имеют вид замкнутых кривых, окружающих

ось М 3 или М г вблизи соответствующих полюсов эллипсоида, как это показано на рис. 3, а и б. Поэтому движение устойчиво.

В случае если М —а3, геометрическим местом точек пересече­ ния эллипсоида энергии со сферой является две плоские кривые (окружности), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллип­ соида на оси М 2, которые будут, очевидно, седловыми точками.

20

Этому случаю отвечает неустойчивое вращение жидкого гироскопа вокруг средней оси М 2. Действительно, при малом отклонении от указанного состояния, траектории, проходящие вблизи полю­ сов на оси М 2, удаляются на большие расстояния от этих точек. Картина траекторий вблизи седловой точки показана на рис. 4,

а и б.

Таким образом, качественно мы показали справедливость следующего признака устойчивости движения. Для трго чтобы стационарное движение было устойчивым, необходимо и доста­ точно, чтобы энергия имела максимум или минимум па поверх­ ности /=const.

§ 3. Плоское движение под действием периодической силы

Рассмотрим теперь двумерное движение в плоскости х, у не­ сжимаемой вязкой жидкости, возбуждаемое периодической в про­ странстве силой, направленной по оси х и равной 4 sin ру )> 0). Это движение описывается системой уравнений

(1.44)

Здесь и и и]— проекции скорости на оси х и у, Р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость.

Система уравнений Навье—Стокса и неразрывности (1. 44) имеет стационарное решение, соответствующее ламинарному те­ чению вдоль оси X при постоянном давлении, следующего вида:

и переходя к безразмерным переменным, приведем систему (1. 44) к виду

21

Ф- " — cos у.

Стационарное решение (1. 45), соответствующее ламинарному течению, как показано в работах Мешалкина, Синая (1961) и Юдовича (1965, 1966), в линейной постановке задачи неустойчиво относительно малых возмущений при определенных значениях параметра R . Эти возмущения быстро растут во времени, черпая энергию из энергии течения (1. 45), благодаря чему растут напря­ жения Рейнольдса, описываемые нелинейными членами в (1. 47), что приводит к уменьшению амплитуды ламинарного течения, пока не установится некоторое новое равновесное течение (обычно называемое «вторичным течением»).

Представим гидродинамические поля в виде

Здесь U (у, t) — новый профиль равновесного течения, подлежа­ щий определению наряду с равновесными напряжениями Рейнольд­ са, штрихом обозначены соответствующие конечные возмущения. Будем считать, следуя цитированным выше работам, возмущения гармоническими по х с длиной волны 2 я/а (а > 0 ) . Новый про­ филь течения U (у, t) есть результат усреднения и по а: на расстоя­ нии длины волны.

Легко .видеть, что при а ^ 1 ламинарное течение (1. 45) един­ ственно и устойчиво при всех R (Юдович (1965)), а неустойчивость может проявляться только для возмущений с а <С1.

В соответствии с линейной теорией устойчивости будем на пер­ вом этапе учитывать только нелинейное взаимодействие первой гармоники возмущений со средним потоком, пренебрегая генера­ цией высших гармоник и их взаимодействием как между собой, так и со средним потоком.

где величина <pt_1) комплексно сопряжена к ірш . Тогда из системы (1. 46) получаем систему уравнений для среднего потока и воз-

22

мущений ѵ(1) (после исключения величин Р ! и U ') (Кляцкин

(1972))

уравнением Орра—Зоммерфельда. Аналогичную систему можно, получить и для функции тока.

Для исследования устойчивости ламинарного режима (1. 45)

Изучение системы (1.52) (Мешалкин и Синай (1961), Юдович (1965)) показало, что при некоторых ограничениях на волновое число а и число R существуют вещественные положительные зна­ чения о, т. ѳ. решения неустойчивы. Дисперсионное уравнение для а имеет при этом вид бесконечной цепной дроби, и критиче­

ским числом Рейнольдса является R Kt=\j2 для а -> 0 . Иначе говоря, наиболее неустойчивыми являются длинноволновые воз­ мущения в направлении действующей силы. Поэтому можно считать, что в рассматриваемой задаче существует малый пара­ метр а, что позволяет асимптотически проинтегрировать уравне­ ние Орра—Зоммѳрфельда (Юдович (1966)). Мы не будем подробно останавливаться на этом. Отметим только, что компоненты соб­

применением метода Галеркина с тригонометрическими коорди­

23

Уравнение для величины z+ отщепляется от остальных уравне­ ний, и, следовательно, возмущения, соответствующие величине z+, могут только затухать со временем. Оставшиеся три уравне­ ния образуют простейшую трехкомпонентную систему гидроди­ намического типа (см. следующие главы). Эта система уравнений эквивалентна динамическому описанию движения гироскопа с ани­ зотропным трением, возбуждаемого моментом внешних сил отно­ сительно неустойчивой оси. Анализ системы (1. 56) показывает,4

что при R <[ і?кр = \]2 устанавливается ламинарный режим с £ 7 = 1 ,

zf = 0. При Ry>\J2 этот режим становится неустойчивым и устанавливается новый режим, соответствующий профилю сред­

Отметим, что амплитуда установившегося равновесного среднего

24

Глава II

СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

-Г-4

§ 1. Квадратично-нелинейные системы, интегралы движения

В гл. I было показано, что конечномерная аппроксимация уравне­ ний гидродинамики является весьма эффективным методом опи­ сания того или иного течения жидкости. В практических расчетах на ЭВМ, например, при численном прогнозе погоды, всегда рас­ сматривается некоторая «модель» системы, состояние которой описывается конечным числом параметров, а применяемые чис­ ленные схемы, являющиеся аппроксимацией уравнений в частных производных (уравнения гидродинамики), можно трактовать как уравнения движения для выбранной модели.

Очевидно, модели могут быть «хорошими», если они отражают некоторые основные свойства исходной системы уравнений гидро­ динамики и обладают достаточной точностью или, в противном случае, могут оказаться неудовлетворительными с физической точки зрения. В связи с этим имеет смысл разобраться более детально в конечномерных аппроксимациях уравнений гидроди­ намики и, в частности, выяснить те требования, которые должны предъявляться к «хорошим» моделям.

Каковы же те общие черты схематизированных уравнений гидродинамики, о которых может идти речь в связи с обсуждае­ мым кругом вопросов? Это прежде всего характер нелинейности уравнений, определяющих эволюцию системы во времени. Будем считать, что ии и2, . . ., ип — параметры, определяющие состоя­ ние системы в рамках выбранной модели, являются линейными функционалами от поля скоростей жидкости. Такими парамет­ рами могут быть, например, значения компонент скорости потока, усредненные по некоторой области в окрестности точек, принад­ лежащей заданной сетке, или коэффициенты разложения фуикции тока в ряд по шаровым функциям (до некоторого фиксированного номера) для определенных выбранных уровней (разумеется, в конечном числе), как это делается в спектральных моделях ат­ мосферы. Используя для величин и. некоторое естественное на­ чало отсчета, систему уравнений движения (уравнения прогноза)

26

модели, содержащей п параметров, можно записать в следующей форме:

где члены, стоящие в правой части, сгруппированы по степеням параметров ик. Матрица коэффициентов А , характеризующая влияние членов первой степени і і ., определяет линейную часть прогностического оператора, набор коэффициентов Г,.Jk опреде­ ляет влияние членов второй степени, т. е. квадратичную часть оператора прогноза, и т. д. Старшая степень членов, учитываемых в прогностическом уравнении для йп определяет характер нели­ нейности системы. Уравнения гидродинамики идеальной несжи­ маемой жидкости являются квадратично нелинейными. Сохране­ ние только линейных членов в общих уравнениях динамики ат­ мосферы позволяет исследовать лишь качественный характер атмосферных процессов и полезно при решении ..некоторых спе­ циальных задач о малых колебаниях атмосферы (наиболее совре­ менное изложение этих вопросов имеется в монографии Л . А . Ди­ кого (1969)). Вместе с тем для задачи прогноза погоды и изучения закономерностей обмена энергией в атмосфере необходимо учи­ тывать квадратичные члены и, по-видимому, нет существенной необходимости привлекать члены более высокого порядка. Таким образом, большинство задач динамической метеорологии, решае­ мых, в частности, на ЭВМ, использует динамические уравнения с квадратичной нелинейностью.

Любопытно, что это свойство уравнений динамической метеоро­ логии роднит их с уравнениями, описывающими процессы в био­ ценозах, привлекающие большое внимание биологов в связи с ре­ шением экологических проблем. Известно простейшее уравнение биоценоза в системе, состоящей из особей двух типов (травоядные и хищники) при наличии неограниченного запаса зеленого корма (Вольтерра (1931)). Обозначим через АД численность популяции

Это и есть уравнения Вольтерра, в которых а, (3, у и 8 — поло­ жительные коэффициенты, описывающие «динамику» данной си­ стемы. Интересно, что эта система допускает «интеграл движения» И = — 8ЛД—у In ЛД-|-ß АД— а In АД. В силу уравнений динамики системы dHldt—0. Выведенная из состояния равновесия (если, например, выловить половину всех хищников) такая система будет совершать колебания. В силу нелинейности системы период этих колебаний зависит от амплитуды, а форма заметно отли­ чается от синусоидальной. Анализ 'соответствующих колебаний

27

имеется в книге А . А . Андронова и др. (1959), а также в курсе Арнольда (1971).

В отсутствие внешних сил и диссипации движение жидкости, как и любой другой механической системы, сопровождается со­ хранением энергии (квадратичного функционала от поля скоростей). Наряду с характером нелинейности существование такого ин­ теграла движения является второй важнейшей особенностью урав­ нений гидродинамики, которую необходимо учитывать при по­ строении конечномерных динамических моделей, претендующих на описание реальных гидродинамических систем. Вообще нужно стремиться к тому, чтобы в рамках упрощенной модели существо­ вали аналоги общих'.интегралов движения, которыми обладают исходные уравнения движения. Так, например, уравнения дви­ жения баротропной ‘атмосферы, состояние которой описывается функцией тока ф, с учетом сжимаемости имеют вид (см., например,

Фазовые координаты для такой модели атмосферы вводятся разло­ жением по некоторой опорной системе ортогональных функций

(Хі 0е» I/)} и аппроксимацией ряда конечным числом членов ф=

»

= 2 и,Хг В качестве X. удЬбно выбрать собственные функции

1

оператора А

дХ.- = — 'fc§Xp Х< І ^ О -

Получениая таким образом упрощенная система уравнений дви­ жения также обладает двумя квадратичными интегралами дви­ жения. Следует, однако, подчеркнуть, что если существование интеграла энергии является общим свойством всех гидродинами­ ческих систем, то наличие других инвариантов связано с их ин­ дивидуальными особенностями, которые уже не носят столь универсального характера и могут иметь различный физический смысл. В только что рассмотренном примере существование вто­ рого квадратичного интеграла движения (2. 5) оказывается пря­

28