книги из ГПНТБ / Нелинейные системы гидродинамического типа

гипотезу четвертых моментов, которая сводится к применению формулы (предполагается, что <Ѵ)>=0)

а в общем случае может рассматриваться как некоторое прибли­ жение.

Посмотрим теперь, как «работает» метод моментов в сочетании с гипотезой Миллионщикова при отыскании характеристик ста- тистически-стационарного режима в СГТ. Для простоты ограни­ чимся случаем канонического триплета, хотя аналогичные вычис­ ления можно было бы провести и в общем случае. Уравнения

Другие уравнения для вторых моментов получаются циклической подстановкой (xyz), (pqr). Вторые производные от вторых моментов будут выражаться уже через моменты четвертого порядка

Требуя равенства нулю вторых производных, что выполняется для стационарных распределений, и пользуясь гипотезой Миллион­ щикова для вычисления моментов четвертого порядка, легко убедиться, что получаемые при этом уравнения удовлетворяются, если все недиагональные компоненты вторых моментов обраща­ ются в нуль

а главные моменты 5 11=(.'Г2) , В 22=(х/2у, B 33= y z 2y удовлетворяют соотношению

Н9

является интегралом движения, и, следовательно, функция Гаусса

/ = Се~а,

полностью определяемая вторыми моментами, является тонным решением для стационарной задачи. Соотношения Миллионщикова для четвертых моментов при этом выполняются автомати­ чески.

Таким образом, применение гипотезы Миллионщикова к сис­ темам гидродинамического типа при дополнительном требовании обращения в пуль вторых производных по времени от моментов второго порядка (слабая стационарность) приводит к некоторому квадратичному интегралу движения, с помощью которого можно построить стационарное распределение Гаусса. Если у системы нет квадратичных интегралов, кроме энергии, то мы, естественно, приходим к распределению Больцмана, для которого параметр распределения ß является аналогом обратной температуры.

Вычислим теперь среднее значение введенной в гл. V характе­ ристической формы

В энергетическом представлении с учетом (8. 4) имеем 5 'fc=25a7ß

уже не зависит от распределения параметра ß и может рассматри­ ваться как некоторая внутренняя характеристика системы, опре­ деляемая инвариантным способом.

Покажем теперь, что среднее значение % всегда отрицательно и в любом энергетическом представлении инвариант — Sp С выражается через сумму квадратов коэффициентов взаимодей­ ствия. Воспользуемся для этого основным циклическим соотно­ шением (2. 15), выражающим закон сохранения энергии

Г <іД + Г / .» + Г * .у = 0.

120

Умножим это равенство на Г*’ JK и проведем свертку. Заметим при этом, что в энергетическом представлении различие между

(в силу свойств симметрии динамического тензора многие коэф­ фициенты при этом входят в сумму дважды). Выполняя соответ­

При фактическом пользовании этой формулой следует помнить, что при / Ф к соответствующие коэффициенты взаимодействия непос­ редственно входят в правую часть уравнений движения, а компо­ ненты вида Г,.^- представляют соответственно удвоенные коэффи­ циенты при квадрате некоторой переменной. Отсюда следует пра­ вило — след характеристической матрицы, вычисленной в любой декартовой системе координат (энергетическое представление), взятый с обратным знаком, представляет собой сумму квадратов коэффициентов, входящих в правую часть уравнений движения, при этом квадраты коэффициентов при квадратах соответствую­ щих переменных берутся с двойным весом, т. е. считаются как бы дважды.

Поясним сказанное на примере двух простейших эквивалент­ ных между собой систем:

Как уже отмечалось ранее (гл. II, § 3), система В переходит

X— ( u C u ) = Sp Г 2 (u) = — 4p2K? — 2 p 4 \ — 4р ъи \ ,

—SpC = 6p2.

121

Как и следовало ожидать, мы получили то же значение. Вычислим теперь для системы ß «сумму квадратов» коэффициентов (учиты­ вая правило весов)

р* + 2(р* + р 2) + р» = 6р2.

Полученная выше инвариантная характеристика системы мо­ жет оказаться полезной при анализе сложных систем и их аппрок­ симации более простыми.

Отметим в заключение, что решение общего уравнения Лиувилля в нестационарном случае, связанное с большими математи­ ческими трудностями, представляет определенный интерес и для прогностических целей. В этом случае хотя сами уравнения прогноза являются чисто динамическими (некоторая аппроксима­ ция уравнения гидродинамики), задача прогноза ставится ста­ тистически благодаря неполноте начальной информации (непол­ нота измерений, турбулентность и т. и.). Уравнением, описываю­ щим эволюцию функции распределения во времени, как раз и явля­ ется уравнение Лнувнлля. Такой подход к задачам численного прогноза метеорологических процессов описан в ряде работ, опубликованных в последние годы (Обухов (1967), Татарский

(1969), Эпштейн (1969), Флеминг (1971)).

§2. Уравнение Эйнштейна — Фоккера для СГТ

при наличии диссипации и внешнего шума

Переходим теперь к рассмотрению систем гидродинамического типа, находящихся под влиянием некоторого внешнего воздей­ ствия. При этом учитываются также диссипативные и флуктуационные силы. Конкретно рассматривается простейшая система типа триплета.

Системы гидродинамического типа с учетом линейного трения и внешнего шума можно описывать динамическими уравнениями *

*В общем случае диссипативный член имеет вид Х,-уѴу. Однако всегда можно выбрать систему координат, в которой две положительно определенные квадратичные формы — энергия и диссипация — имеют диагональный вид, что соответствует (8. 14).

122

где Х(<) — коэффициент трения для і-компоненты TV-мерного век­ тора V , а Ff (ѵ) — квадратичная по ѵ функция, обладающая свой­ ствами (см. гл. II)

Здесь и ниже по повторяющимся индексам подразумевается сум­ мирование по і = 1 до N (за исключением тех случаев, когда одни из индексов заключен в круглые скобки, как, например, в (8.14)).

Дельта-коррелированность («белый шум») обусловлена тем

Для дальнейшего нам понадобится значение вариационной производной Ьѵ{ (f)/8/. (t') при t' —t. Чтобы вычислить эту вели­ чину, проинтегрируем систему (8. 14) по t

іt

* Мы считаем, что начальные значения а,- (0) не зависят от 1.

123

Здесь V (t) — решение системы (8. 14), соответствующее опреде­ ленной реализации f (£), а усреднение производится по множеству всех реализаций 1'. Дифференцируя (8. 21) по і и используя (8.14), получаем уравнение для Р ( (ѵ)

d-W = -W , <v) - p*l- w {<f>W 8[V (*) - v]>. (8. 22)

Выражение, состоящее в (8. 22) под знаком усреднения, представ­ ляет собой среднее значение от произведения случайного про­ цесса (t) и функции от решения системы (8. 14) v (t), которая является функционалом от этого случайного процесса.

В приложении III выведена общая формула для вычисления таких средних значений, которая для рассматриваемого случая

соответствующем уравнению Эйнштейна — Фоккера с постоянным

в СГТ (относительно состояния покоя ѵ (0)=0), вызванных тепло­ вым движением молекул *.

Для равновесных тепловых флуктуаций стационарное решение уравнения (8. 24), не зависящее от начальных данных, должно иметь характер максвелловского распределения, соответствую­

* Общая корреляционная теория равновесных гидродинамических флуктуа­ ций была построена в работе Ландау и Лифшица (1957) путем введения «стороннего тензора напряжения» в уравнение Навье— Стокса и вектора «стороннего теплового потока» в уравнение переноса тепла, обладающих определенными статистическими свойствами, аналогичными формуле (8. 16). На основе этой теории в работе Кляцкина (1971) изучались про­ странственно-временные корреляции равновесных гидродинамических по­ лей в идеальном газе, возбуждаемых тепловым движением молекул, и обсуждалась область применимости макроскопической теории турбулент­ ности.

124

где к — постоянная Больцмана, а Т — равновесная температура. Подставляя (8. 25) в (8. 24), получаем для величин рД, соотноше­ ния

диффузии броуновской частицы. При этом в силу условий (8. 15) имеет место

д/дй{ {І'\(у)Рт(ѵ)} = 0. (8.27)

Соотношения (8. 16) и (8. 26), таким образом, полностью .опреде­ ляют статистику «сторонних сил», и нелинейные члены в уравне­ ниях (8. 14), в силу (8. 27), роли не играют. Эти факты хорошо известны и представляют по своей сути приложение флуктуа- ционно-диссипативной теоремы (см., например, приложение I к книге Левина и Рытова (1967)) к СГТ.

Отметим, что динамическую систему (8.14) с соотношениями (8. 16), (8. 26) можно рассматривать как уравнения Ланжевена, описывающие броуновское движение СГТ. В простейшем случае (S3) система (8. 14) описывает броуновское вращательное движение гироскопа (в пространстве скоростей), и величины Xlf) при этом представляют собой эффективные коэффициенты трения, опреде­ ляемые сопротивлением среды.

Если случайные силы f. (t) вызваны не молекулярным движе­ нием, то соотношение (8. 26) не имеет места, и величины р? не за­ висят, вообще говоря, от Х(,). В этом случае стационарное распре­ деление вероятностей не является, вообще говоря, гауссовским распределением. Однако если СГТ может быть описана системой

§ 3. Шумы в СГТ при наличии регулярной составляющей силы

Пусть теперь на СГТ помимо случайных сторонних сил дей­ ствует также регулярная сила g. Уравнения, описывающие ди­ намику СГТ, в этом случае примут вид

с теми же «сторонними силами», что и в уравнении (8. 14). Если случайные силы I (і) вызваны молекулярным движением, то теп­ ловые флуктуации могут и не быть равновесными. Однако из фи­ зических соображений естественно считать, что тепловые флук-

125

’гуадии описываются уравнением (8. 29) и в этом случае. Когда f(t) представляют влияние мелкомасштабных движений на дви­ жения более крупных масштабов, уравнение (8. 29) можно при­ нять за основу описания.

При отсутствии флуктуаций система (8. 29) имеет стационар­ ные решения, соответствующие решению системы алгебраических уравнений

^ ( ѵ „ ) + £ , = Х ''Ч „ . (8.30)

Следует отметить, что решение системы (8. 30) не единственно, и при выборе определенных решений должна учитываться устой­ чивость их по отношению к бесконечно малым возмущениям.

Наличие нелинейных членов в (8. 29) приводит к тому, что среднее движение (усреднение производится по ансамблю реали­ заций /) не совпадает с решением системы (8. 30) (поскольку воз­ никают напряжения Рейнольдса).

Так как уравнения (8. 29) описывают флуктуации макроско­ пической системы, в рассматриваемой задаче существует малый параметр °2= д2Мі>2.-ст (отношение энергии шумов к кинетической энергии макроскопического движения), малость которого позво­ ляет в ряде случаев существенно упростить задачу. В общем виде задача, описываемая уравнением (8. 29), чрезвычайно сложна. Однако наиболее важные общие черты поведения ее можно изу­ чить на примере простейшей системы (S 3).

Рассмотрим более подробно простейшую систему гидродина­ мического типа (5з), уравнения для которой запишем в безраз­

Как отмечалось в третьей главе, эта система эквивалентна динамическому описанию движения гироскопа с изотропным тре­ нием, возбуждаемого постоянным моментом внешних сил отно­ сительно неустойчивой оси. Стационарпое решение этой системы определяется параметром (числом Рейнольдса) R . Критическим параметром при этом является і?кр= 1 . В случае R <С 1 имеется стационарное решение, соответствующее «ламинарному» режиму

При R > 1 этот режим становится неустойчивым относительно бесконечно малых возмущений и устанавливается новый стацио­ нарный режим («вторичное течение»)

При этом в установившемся режиме уже имеется элемент случай­ ности, а именно, величина и1ст может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от знаков амплитуд малых начальных возмущений.

126

Рассмотрим теперь воздействие случайных внешних сил на эту динамическую систему. Пусть сначала случайная сила дей­ ствует только на компоненту ѵ0. В этом случае динамическая система будет описываться уравнениями

</o(* + ^)/o(0> = 2o*S(,).

При R <C 1 компоненты ѵг и v2 возбуждаться не будут, а стацио­ нарное распределение вероятностей для компоненты ѵй будет гауссовскпм

Отметим, что эволюция во времени компоненты ѵх определяется ее начальным значением. Если ѵг (0) )> 0, то в отсутствие случай­ ной силы ѵг (t) при t -* со стремится к своему стационарному

Система уравнений (8. 38) аналогична уравнению Ланжевена для описания броуновского движения частицы во внешнем поле U (cp) (tp — играет роль координаты частицы, а — ее скорости).

Соответствующее уравнение Эйнштейна — Фоккера для со­ вместной плотности вероятностей <ри ѵ'0 имеет вид (см., например, работы Уленбека (1971), Кляцкина и Татарского (1973))

тельно, стационарное распределение вероятностей для решения

127

уравнения (8. 39) аналогично каноническому распределению Гиббса

Из распределения (8. 40) следует, что стационарное распределе­ ние для компоненты ѵ0 будет гауссовским

а распределение вероятностей для ш пе является гауссовским, и они ие коррелируют между собой.

Рис. 30. Стационарные плот­ ности распределения вероят­ ностей для компоненты ѵ1 ди­ намической системы (8.37) и для флуктуаций ѵ0' компо­ ненты ѵ0 около Гу. = 1 в слу­

чае, когда R > 1, а случай­ ные силы действуют лишь на ѵ0

Возвращаясь к переменной ѵѵ получаем стационарное распре­ деление вероятностей для нее в виде

Отметим, что при критическом режиме (/?=1), как видно из (8. 42), не существует стационарного распределения вероятностей для компоненты ѵѵ Аналогичное распределение вероятностей можно получить и для случая ѵ1 (0) < 0 .

Отметим, что переход системы из начального состояния к ста­ ционарному, описываемому формулой (8. 40), происходит в две стадии: сначала быстро устанавливается максвелловское распре­ деление по скоростям и после этого значительно медленнее про­ исходит установление распределепия (8. 42) по координате о. Обсуждение этого вопроса см., например, в работе Уленбека (1971). Вторая стадия описывается при этом уравнением Эйн­

128