книги из ГПНТБ / Нелинейные системы гидродинамического типа

Для отыскания таких соотношений воспользуемся специальной системой координат, в которой уравнения движения триплета имеют канонический вид, указанный в гл. II

(7.13)

причем р -\-q-\-r=0. Для определенности будем считать, что рг )> > 0 , pq < 0 , rq < 0; это означает, что х х и х 3 — устойчивые моды, а ж2 — неустойчивая. Построим для этой системы характеристи­ ческую матрицу (аффинор)

• 0 рхз рх2 -

ГХ„ /•£, 0 ,

В силу регулярности Sp Г = 0 и основной интерес приобретает характеристическая функция (квадратичная форма) %, которая по определению (7. 8) равна

Если система не вырождена, то характеристическая квадратичная форма также не вырождена и имеет два члена отрицательных и один положительный, т. е. сигнатуру (------ + ). Для однократно вырожденной системы (симметричный гироскоп) характеристи­ ческая форма содержит одно слагаемое, имеющее отрицательный знак. Двукратно вырожденный триплет отвечает тривиальной системе, у которой все коэффициенты равны нулю.

Если мы вычислим характеристическую форму для некоторой системы третьего порядка и убедимся после соответствующего исследования, что сигнатура формы отличается от (------ -{-), это будет означать, что система не является СГТ, так как для нее ие существует положительно определенного интеграла движения. Если сигнатура получилась «правильной», то мы можем продол­ жить анализ, определив с помощью дифференцирования согласно уравнениям движения величины dy/dt, d2y/dt2 и d3y/dt3, являю­ щиеся соответственно формами третьего, четвертого и пятого порядка (С, D , Е).

Выполним теперь соответствующие вычисления для СГТ, вос­ пользовавшись каноническим представлением. Дифференцируя,

109

Сравнение (7. 18) с (7. 16) и (7. 15) показывает, что выполняется следующее фундаментальное соотношение:

Полученное соотношение носит аффинно-инвариантный характер и поэтому справедливо для любой СГТ третьего порядка. Это соотношение, выражающее форму пятого порядка через произве­ дение формы второго и третьего порядка, можно назвать условием приводимости. Оно является необходимым условием существова­ ния квадратичного интеграла движения у регулярной системы третьего порядка.

По существу, можно считать, что это соотношение при выпол­ нении некоторых дополнительных требований типа неравенств является также достаточным условием того, что данная регуляр­ ная система принадлежит классу СГТ. Во всяком случае исполь­ зование афинно-инвариантного соотношения (7.19) приводит для характеристической функции к дифференциальному уравнению третьего порядка, которое эквивалентно системе трех уравнений первого порядка, описывающих триплет в каноническом представлении.

есть форма четвертого порядка, являющаяся интегралом движения. Уравнение (7. 20) также легко интегрируется. После умноже­

является вторым интегралом движения, что легко проверить непосредственно.

Полученное дифференциальное уравнение (7. 23) для харак­ теристической функции X, содержащее два параметра W и В (постоянные вдоль траектории), является известным уравнением

ПО

Удобно также использовать другую нормировку для канони­ ческих интегралов, вводя инварианты

которые, как следует из (7. 29), связаны соотношением

(7. 15), воспользовавшись сначала для этой цели аналитическими решениями уравнений (7.13). Известпо, что решение (7. 13) вы­ ражается через эллиптические функции Якоби (см., например, Ландау и Лифшиц (1958)). Непосредственной проверкой можно убедиться, что если выбрать начало отсчета времени в момент, когда х 3—0, то

Далее, используя (7. 15), (7. 33), (7. 336), а также следующую формулу связи ір-функции Вейерштрасса с эллиптическими функ­ циями Якоби (см. Гурвиц и Курант (1968)):

112

Как известно, основными периодами ^-функции Вейерштрасса

Поскольку мы рассматриваем только вещественные значения еѵ е2 и е3, то, как следует из теории эллиптических функций, вто^ рой полупериод ш' является чисто мнимым и, если еѵ е2 и е3 дей^ ствителыіыѳ и различные, а также

то величины, выражающиеся в виде интегралов

'Ч —

и будут основными периодами интересующей нас эллиптической функции Вейерштрасса тР (и.) (Бейтмен и Эрдейи (1967)).

Здесь К (к) — полный эллиптический интеграл 1-го рода

vH — /с- s ie - 9

а. к' — дополнительный модуль

к1= і/І — к1.

^Выражение (7. 35) для характеристической формы В (х) можно получить, не прибегая непосредственно к решению (7.33) и (7. 336) исходной системы уравнений (7.13), если воспользоваться аффинно­ инвариантным методом описания, приводящим, как было показано выше, к алгебраическому дифференциальному уравнению Вейер­ штрасса (7. 25), (7. 25а) для ß. Указанный метод обладает несом­ ненным преимуществом, поскольку ие требует использования какой-либо специальной системы координат. Для того чтобы полу­ чить требуемую формулу, заметим, что общее решение уравнения (7. 25) записывается с помощью эллиптической тР-функции Вейер­ штрасса в следующем виде:

k2=0,V;Si=2,077-, /= ^ = ß J S â

Рис. 27. Аппроксимация решений тригонометрическими функ­ циями при /с2= 0 ,4

$>-функцип Вейерштрасса следует, что существует такая пара при­

и Ф из решения кубического уравнения (7. 40), (7. 25а). Учитывая, что функция ß (*,) ограничена и при любых т) может принимать лишь действительные значения, находим с помощью известных свойств ір-функции Вейерштрасса (см., например, Бейтмен и Эр-

114

Рис. 29. Аппроксимация решений гиперболическими

функциями при&2= 0 ,7 (а), А2=1 —10_3 (б), кг= 1—0,74Х

X ІО“« (а)

дейи (1967)), что константа С в (7. 39) должна быть равна ш'е откуда и следует полученное ранее другим способом выражени

(7. 35).

Связь W и Ф с еѵ е2и е3находится путем использования формул для симметрических функций корней алгебраического уравнения

8* 115

Глава VIII

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

§ 1. Стационарные гауссовские распределения при отсутствии внешних воздействий

Применение статистических методов к изучению процессов в сис­ темах гидродинамического типа представляет интерес в связи с проблемой турбулентности и оценкой влияния молекулярных флуктуаций на гидродинамические процессы. Естественно, что статистическое описание СГТ носит модельный характер, вместе с тем оно существенно проще, чем применение статистики к исход­ ным уравнениям гидромеханики, и не требует сложного математи­

äi+ £ > ( i v> v f ) = 0- м

Если система регулярна, то (8. 2) эквивалентно условию df/dt=О, т. ѳ. / является интегралом движения.

При этом наиболее интересным является случай, когда / явно не зависит от времени. Таким образом, к СГТ применима известная теорема статистической механики о том, что плотность стационар­ ного распределения является интегралом движениясистемы.

В связи с этим для любой системы гидродинамического типа

117

еще второй квадратичный интеграл, отличный от энергии, как, например, в двумерной гидродинамической задаче, где сохраня­ ется также средний квадрат вихря, можно построить стационарные гауссовские распределения, отличные от распределения Гиббса и зависящие от двух параметров (Обухов (1969), Кляцкин (1969)).

Зная плотность распределения /, можно вычислять математи­ ческое ожидание <(ф)> физических величии — функций состояния системы

роко используется метод моментов Фридмана и Келлера. Для конечномерных моделей моменты представляются симметричными тензорами различных порядков

Используя уравнения движения системы, например, уравнения (2. 12), можно построить для моментов цепочку уравнений — известные в гидродинамике уравнения Фридмана — Келлера (точнее, их конечномерный аналог)

(8. 7)

Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравне­ ний — уравнений Фридмана — Келлера, по существу, эквива­ лентна одному уравнению в частных производных — уравнению Луивилля (8. 2).

Для того чтобы оборвать бесконечную цепочку уравнений Фридмана — Келлера и получить замкнутую систему уравнений для моментов первых трех порядков, М . Д . Миллионщиков (1941) предложил известную гипотезу «замыкания» — так называемую

118