книги из ГПНТБ / Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие

Сравнивая полученное нами решение с указанным реше­ нием И. К. Снытко, А. Н. Снитко, легко можно заметить, что функции z2(x), г3(х), г4(х) тождественно совпадают с функ­ циями Ф2, Фз и Ф.|. Исключение составляет лишь функция

Кроме того, в работе [56] отмечается, что вторые члены функций Ф| отражают влияние продольной силы Р, а осталь­ ные — совместное влияние Р, .110 и QoОднако, второй член функции Фь имеющий вид:

содержит произведение параметров а и v и поэтому не мо­ жет отражать влияние только продольной силы. Утверждение указанных авторов справедливо только для функций Ф2, Фз и ф 4 так как в этих функциях вторые члены, имеющие, соот­ ветственно, вид:

содержат только параметр v, и поэтому учитывают только влияние продольной силы Р.

3. Жесткость фундамента глубокого заложения (опор постоянная, а коэффициент упругого сопротивления грунто­ вой среды меняется с глубиной по нелинейному закону, т. е.:

ц>(х) = \/EJ (х) = 1/£ / = const;

Общее решение (II. 8) в этом случае представится в виде:

где функции fi(x), f2(х), f3(х) и /4 получаются из (II. 10), (II. 11) и (И. 12) путем многократного интегрирования задан­ ных выражений у(х) и к(х).

60

с о

OO

61

00

коэффициенты 7Ш, i — следующие:

Решение рассматриваемой задачи получено также в рабо­ те [57]. Если сравнить эти два решения, то легко можно за­ метить, что функции [г(Х). fз(х) и f<t(x) тождественно сов­ падают с выражениями соответствующих функций F2, F3 и Е4 в [57]. Исключение составляет опять первая функция f\(x), отличающаяся от функции Fi наличием самостоятельного члена (cosvx—1), учитывающего влияние только продольной силы Р, а также значениями коэффициентов 7m,i, 7,„,о, Гш,3...

§ 6. Применение «функциональных прерывателей» для описания прерывных законов изменения жесткости балки и грунтового основания

Как было отмечено выше, в некоторых важных для практи­ ки случаях изменение жесткости балки по её длине, а также

62

грунтовых оснований может происходить по кусочно-непре­ рывным законам. В этих случаях расчета одним из эффектив­ ных математических приемов для описания закона изменения EJ(х) и к(х) является теория функциональных прерывателей, разработанная Н. М. Герсевановым [80, 81]. Применение ука­ занного аппарата в задачах расчета балок на упругом основа­ нии весьма эффективно осуществлено И. А. Симвулиди в ра­ ботах [31, 62, 63].

Опишем функции жесткости балки ср(Х) и грунтовой сре­ ды к(х) односторонними протяженными прерывателями.

Пусть балка в пределах всей длины I имеет две ступени жесткости; в пределах 0 E J = E J \, а в пределах

1— l ^ x - ^ . l EJ — EJ2. Д ля этого случая функция ср (х), опи­ сывающая ступенчато-прерывное изменение жесткости балки будет иметь вид:

где Г|, — односторонний протяженный прерыватель. Обозначив:

?(-*) = ®, + Л, ®2| •

Согласно свойствам односторонних протяженных преры­ вателей [80, 81], имеем:

Функция ф (х) примет вид:

Аналогично предыдущему случаю, обозначив

63

получим

?(*) = ?1 f ^1,?21 + ^1а?32.

где Л ,, Л, —односторонние протяженные прерыватели.

Перейдем к описанию прерывного закона изменения жест­ кости грунтового основания.

Рассмотрим случай, когда балка, покоящаяся на сплош­ ном упругом основании, в пределах 0<>'<С h и /—1 \ -<а ^ / опирается на различные по своим механическим свойствам грунты, характеризуемые соответственно коэффициентом жест­ кости Ki(x) и к2 (х).

Тогда функция, характеризующая жесткость сплошного основания рассматриваемой балки, может быть представлена в виде:

к(х) = к,(х) — Г1, к,(х) + Л, к-,(х) = /с,(a ) + Л, [«2(а) —

— К,(А')] = К,(А') + Л, К2 1(х) ,

где

/Со! ( х ) = К 2(х)— К| (х)

Согласно свойствам односторонних прерывателей

64

Если жесткость грунтов основания в пределах первого и второго участка соответственно характеризуется функциями

/,; к22=к.\ — коэффициент жесткости грунта второго участ­

квадратичной параболой. Для этого случая коэффициент же­ сткости основания представится в виде:

65

I

Если же коэффициент жесткости грунтового основания в

где

Наконец, если балка под подошвой имеет различные грун­

закон изменения жесткости многослойного грунтового осно­ вания может быть представлен в виде:

к-(х) = к.\(х)—Г1,к, (а) + Г\,к2 (х)—ГI,К2 (х)+П,Кз(х)

—Kl (х) +Е|, К21(а) -\-Г12/Сз2(а') -\-Г|, Л"43(а) /’ll Н\+\,1(а) =

—К\( а ) - | - 2 ^ I h К\4-1,1 ( А ) ,

где i = l , 2, 3...

К\-I-!,! ( а ) = К\и ( а ) — /С| ( а )

К\ (х) — коэффициент жесткости грунта основания в преде­ лах i-го слоя; к\л.\(х) — то же, в пределах (t+ l)-ro слоя; Ги - односторонние протяженные прерыватели; 1 \ —расстояние от левого начального сечения балки до конца t-ro слоя грунта её основания.

В заключение приведем формулу для интегрирования од­ носторонних протяженных прерывателей:

X

Jr./(A)rfA = raJ/(0^ + C

66

Последняя формула, обобщенная для многократного интегри­ рования, имеет вид:

§ 7. Решение сформулированной краевой задачи модифицированным методом Бубнова-Галеркина

Как известно, применение метода Бубнова-Галеркина для ре­ шения краевых задач связано с подбором вида аппроксими­ рующей функции, удовлетворяющей граничным условиям за­ дачи. При этом точность получаемого приближенного решения зависит от того, насколько удачно выбрана аппроксимирую­ щая функция. Очевидно, чем больше заданная аппроксимирую­ щая функция представляет определяемое решение, тем быст­ рее идет процесс сходимости приближения. Поэтому при реше­ нии практических задач необходим известный навык для удач­ ного подбора вида аппроксимирующей функции.

Ниже излагается модификация метода Бубнова-Галеркина для решения задач изгиба балок на сплошном упругом осно­ вании, дающая по сравнению с решениями, вытекающими из самого метода в обычном виде, более эффективный результат.

Как было показано выше, краевая функция уо(х), прини­ маемая нами в качестве нулевого приближения при построе­ нии решения уравнения (II. 5), содержит в себе четыре началь­ ных параметра, характеризующих все возможные краевые ус­ ловия решаемых задач. Поэтому она будет принята нами в качестве аппроксимирующей функции при построении прибли­ женного решения рассматриваемых задач по методу БубноваГалеркина.

Итак, для всех случаев расчета балок на сплошном упру­ гом основании в качестве аппроксимирующей функции при­ мем выражение вида:

j-i

Очевидно, в каждом конкретном случае краевые условия рассматриваемой задачи будут влиять на вид аппроксимирую­ щей функции. Рассмотрим некоторые часто встречаемые гра­ ничные условия задачи. Если в начальном сечении балки име­ ет место жесткое закрепление, то г/о=0о=О и поэтому соглас­ но (II. 29) аппроксимирующая функция будет иметь вид:

67

В случае, когда начальное сечение балки свободное от внеш­ него воздействия будет иметь место M0— Qо = 0 и поэтому ап­

=М0 = 0 и поэтому:

%х ■

0 0 и О 0 0

Таким образом, во всех рассматриваемых случаях аппрокси­ мирующая функция будет содержать два неизвестных началь­ ных параметра, значения которых определяются из условия на

68

Вводя обозначения:

3jk = | {/f(а )уЛ(а )о(а ) 4- [ £ / ( а )]« [Уо(а )]п Уо(а ) 4-