книги из ГПНТБ / Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие

Глава II

РАСЧЕТ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ПО МЕТОДУ МЕСТНЫХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ

§ 1 .0 методе местных упругих деформаций

Для определения напряженно-деформированного состоя­ ния оснований сооружений, как правило, используются ра­ счетные модели, схематически описывающие природные меха­ нические свойства грунтовой среды. Необходимость учета мно­ гообразия свойств грунтовых оснований, зависящих не только от условий их естественного залегания, но и от напряженного состояния, привела исследователей к созданию большого ко­ личества различных моделей грунтового основания (23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38).

Наиболее простым и широко распространенным методом, определяющим взаимодействие конструкции с грунтом, яв­ ляется метод местных упругих деформаций. Этот метод бази­ руется на гипотезе Фусса-Винклера, согласно которой осадка грунтового основания происходит только в точке приложения силы, и величина этой осадки у(х) прямо пропорциональна интенсивности нагрузки в этой точке, т. е.

где b — обозначает ширину соприкасающейся с грунтом кон­ струкции и к — коэффициент пропорциональности, называе­ мый коэффициентом постели. Зависимости (11.1) отвечает мо­ дель основания, образованного вертикальными, не связанны­ ми между собой упругими пружинами, осадка которых стро­ го пропорциональна приходящемуся на них давлению.

Модель Фусса-Винклера долгое время подвергалась жест­ кой критике, которая, однако, не сопровождалась соответст­ вующими экспериментальными подтверждениями. Основным недостатком указанной модели считалось отсутствие в ней распределительной способности, а также переменность значе­ ния коэффициента постели для каждого вида грунтового осно­ вания н его загружения. С целью устранения присущих моде* лн Фусса-Винклера недостатков, в дальнейшем взамен ее бы­ ла предложена модель однородного упругого полупростран­ ства, механические свойства которой описываются модулем деформации и коэффициентом Пуассона.

Были предложены и другие модели: модель с ядрами Б. Г. Коренева [40], модель И. II. Черкасова [36], модель грунта

30

с возрастающим по глубине модулем деформации Г. К. Клей­ на [41], раздельно учитывающая упругие и остаточные дефор­ мации грунта «мембранная» модель М. М. Филоненко — Бо­ родича [42], модель сжимаемого слоя конечной толщины В. 3. Власова [43], модель с двумя коэффициентами постели П. Л. Пастернака [44] и др.

Каждая механическая модель грунта имеет определенную область применения. Так, например, для несвязных песчани­ стых грунтов, обладающих малой распределительной способ­ ностью, наиболее приемлемой моделью является винклеровое основание или гипотеза коэффициента постели [45]. При пра­ вильном выборе численного значения коэффициента постели грунта и учете в необходимых случаях его переменности, ре­ зультаты расчета конструкций с использованием этой модели соответствуют опытным данным. Такой вывод можно сделать, анализируя результаты экспериментальных исследований, про­ веденных за последние 10—15 лет в Советском Союзе и за ру­ бежом. Это, в первую очередь, многочисленные опыты Л. И. Манвелова, Э. С. Бартошевича [46], исследования И. И. Чер­ касова [36], опыты Ф. С. Кадыш [24], Е. К. А^ассальского

[47, 48] и др.

Л. И. А^анвеловым, Э. С. Бартошевичем [46] проведены обширные экспериментальные исследования, результаты ко­ торых позволяют с достаточной степени надежностью принять в качестве расчетной модели винклеровое основание. Указан­ ные эксперименты показали, что деформация поверхности грунта за пределами загруженной части быстро затухает, сле­ довательно, грунты обладают весьма малой распределитель­ ной способностью. ААодель упругого полупространства не под­ тверждалась результатами указанных экспериментов, т. к. сильно преувеличивала распределительную способность грун­ та. Результаты обработки материалов полевых и лаборатор­ ных исследований грунтов, как правило, также приводили к необходимости применения именно винклеровой модели и лишь в случаях скального основания оправдывалось примене­ ние модели однородного упругого полупространства [36].

Исследования действительной работы балок, лежащих на насыпном песке, уплотненном илистом грунте и на других раз­ личных грунтовых основаниях, также подтвердили правиль­ ность вывода о приемлемости модели Винклера для практиче­ ских расчетов [23, 24, 47, 49].

Таким образом, применение модели Фусса-Вннклера тем более оправдано, чем меньше связность грунта, размеры и за­ глубление сооружения, а также чем больше средняя интен-

31

сивность нагрузки, передаваемой от сооружения на его осно­ вание .Установлено, что эта модель лучше отображает реаль­ ную картину в случае илистых, торфяных, мелкозернистых Еюдонасыщенных песков. Для других песчаных оснований эта модель в случае малых опорных площадей и значительных на1рузок будет давать результаты не хуже получающихся по теории упругости [50].

Наиболее достоверные результаты по сравнению с други­ ми, эта модель дает при расчете конструкций на просадочных 1рунтах. В самом деле, как показывают многочисленные опы­ ты и натурные наблюдения, в случае увлажнения лессовых грунтов в основаниях здания п сооружений, просадка происхо­ дит, в основном, в несущем столбе грунта, и за пределами фундамента величина деформации грунта, как правило, незна­ чительна. Поэтому распределительная способность увлажняе­ мых лессовых оснований еще более низкая, чем у естественных («снований. Однако в модели Фусса-Винклера, оставляя общую форму зависимости между реактивным давлением грунта и осадкой в виде (И. I) следует принимать коэффициент посте­ ли переменным.

Зависимость (II. 1) при этом следует рассматривать как условную расчетную формулу, дающую значение поверхност­ ного напряжения по основанию через осадку. По существу коэффициент постели должен характеризовать упругое сжа­ тие всего слоя грунта, являющегося основанием для сооруже­ ния. Введение переменного коэффициента постели устраняет недостатки модели Фусса-Винклера, экспериментальные зна­ чения перемещений балки п изгибающих моментов, при над­ лежащем выборе коэффициента постели и его изменчивости чо длине балки, совпадают с теоретическими.

Итак, для дальнейших исследований в данной работе при­ нимается модель основания Фусса-Винклера с переменными коэффициентами жесткости основания, определяемыми по формуле

(П.2)

«(•*)

где р(х)—удельное давление на подошве фундамента от веса сооружения;

s(x) — возможная осадка поверхности грунта в пределах плана здания от действия удельного давления, р{х).

Удельное давление р {х) , передаваемое фундаментом основа­ нию, при этом, очевидно, не должно превышать величину нор­ мативного давления для данного вида грунта основания. Ве­ личина ожидаемой деформации основания s определяется од­

32

ним из существующих достоверных способов. (Метод послой­ ного суммирования, метод К. Е. Егорова, метод эквивалент­ ного слоя Н. А. Цытовича и др.).

Представляет определенный интерес также модель С. А. Ривкина [51], являющаяся, по существу, некоторым обобще­ нием модели Фусса-Винклера

Р( х ) = к ( х ) у ( х ) .

Вэтой модели переменный коэффициент постели к(х) опре­ деляется выражением

(Н .З )

Здесь к—расчетный параметр, измеряемый так же, как и коэффициент постели, в кг/см3 или в т/м3, характеризующий сопротивление грунта осадке без учета краевого эффекта; безразмерные параметры (3 и а характеризуют влияние крае­ вого эффекта на величину и распределение реактивных давле­ ний по подошве балки.

Рассматриваемая модель позволяет, варьируя значения параметров |3 и а, получить, в частных случаях, существую­

она переходит в модель упругого полупространства и наконец при р = 5,5 и а > 10 мы имеем модель упругого слоя конеч­ ной толщины.

Таким образом, сведя задачу к решению дифференциаль­ ного уравнения с переменным коэффициентом постели, подчи­ няющимся закону (II. 3), мы можем построить общее решение задачи изгиба балочных фундаментов. Однако, как показы­ вают соответствующие расчеты (52, 53), представляет опреде­ ленное удобство аппроксимирование функции (II. 3) квадра­ тичным полиномом вида;

Перспектива применения метода местных упругих дефор­ маций в теориях расчета конструкций на упругом основании расширяется еще в связи с одним обстоятельством.

Современная теория расчета инженерных конструкций на упругом основании в условиях плоской задачи основывается на фундаментальном решении Фламана для действия равно­

33

мерно распределенной полосовой нагрузки на поверхности упругого полупространства. Между тем, как стало известно [54], формула Фламана обладает парадоксальной особенно­ стью: при значительном отходе от нагрузки граница полу­ плоскости не только оседает, а наоборот, деформируется вверх, причем эти деформации возрастают до бесконечности при бес­ конечном отходе от нагрузки. Таким образом, решение Фла­ мана полностью противоречит поведению грунта в натуре, где его осадка быстро затухает даже вблизи от конструкций. Кро­ ме того, для удовлетворения граничных условий контактных задач перемещения границы полуплоскости, согласно этому решению, должны быть затухающими на бесконечности. Не­ смотря на эти серьезные недостатки, решение Фламана дол­ гое время широко использовалось при составлении контакт­ ных условий в теории расчета конструкций на упругом основа­ нии.

§ 2. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба балки переменной жесткости с переменным коэффициентом жесткости грунтового основания

Пусть балка переменного по длине поперечного сечения, лежащая на упругом основании, песет поперечную нагрузку интенсивностью q(x), сосредоточенные силы N \ , а также пары сил с моментами т\ , действующие в вертикальной пло­ скости симметрии балки (рис. II. 1). Изгпбная жесткость бал-

Е3(х)

ки будет характеризоваться функцией EJ(x), которая может быть как непрерывной по всей длине балки, так и кусочнонепрерывной, сохраняющей постоянное значение в пределах определенных участков балки.

34

Для большей общности будем полагать, что балка, кроме этого, еще сжимается по концам центрально приложенными силами Р. Рассматриваемая балка может быть и полосой, выделенной из балочной плиты, работающей в условиях пло­ ской деформации. В этом случае изгибная жесткость полосы будет характеризоваться цилиндрической её жесткостью

делять согласно методу местных упругих деформаций. Коэф­ фициент жесткости грунтового основания (коэффициент по­ стели) будем принимать также переменным, любым образом изменяющимся по длине балки. Будем, кроме того, считать, что высота сечения балки достаточно мала по сравнению с длиной балки, чем создаются условия для применения гипо­ тезы плоских сечений. Обозначая через М0 — изгибающий мо­ мент от внешних поперечных нагрузок, согласно принятых на рис. II. 1 осям координат, изгибающий момент в любом сече­ нии балки на расстоянии я от ее левого конца определится выражением

X

М (х) = Mq + J к (х) Т) (x — l ) d l + P (у—Уо)

О

Перерезывающая сила и интенсивность нагрузки, соответст­ венно, определятся выражениями

35

Полученное выражение представляет собой дифференциаль­ ное уравнение продольно-поперечного изгиба балки на сплош­ ном упругом основании, подчиняющимся модели местпых упругих деформаций. В частном случае, когда балка под­ вержена только деформации поперечного изгиба, уравнение (II. 5) принимает вид:

Полученные уравнения продольно-поперечного и попереч­ ного изгиба балки относятся к обыкновенным однородным ли­ нейным дифференциальным уравнениям с переменными коэф­ фициентами EJ (х ) и к (х), которые в общем случае могут быть как непрерывными, так и ступенчато-прерывными функ­ циями, в зависимости от характера изменения жесткости бал­ ки по её длине, а также коэффициента упругой сопротивляе­ мости грунта оснований.

Интегрирование уравнений (II. 5) и (II.6) в квадратурах невозможно, так как их общие решения не получаются выра­ женными через элементарные функции. Поэтому для решения указанных уравнений возможно применить только различные приближенные методы.

Одним из наиболее часто применяемых методов интегриро­ вания дифференциальных уравнений подобного типа является метод разложения искомого решения в бесконечные ряды. В

случая постоянной по длине опоры жесткости и изменения с глубиной по непрерывному закону коэффициента упругой со­ противляемости грунта. В этом методе искомая функция пред­ ставляется в виде бесконечного ряда по строке Маклорена или Тейлора. При этом нулевые значения искомых функции и их производные определяются на основании рекуррентных со­ отношений с использованием начальных условий рассматри­ ваемых задач.

Кроме указанного метода, для интегрирования уравнений (II. 5) и (II. 6) могут быть использованы вариационные мето­ ды, к числу которых следует, прежде всего, отнести методы Лагранжа-Ритца и Бубнова-Галеркина [58]. Для решения по­ лученных уравнений могут быть применены также численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, среди которых следует отметить метод Адамса-Штермера, который был широко развит и применен А. Н. Крыловым для построе­ ния общего решения ряда инженерных задач [59, 60, 61].

3G

Весьма оригинальный метод для построения общего реше­ ния уравнении (II. 5) и (II. 6) разработан И. А. Симвулидн [31, 62, 63]. Для получения более простого и удобного реше­ ния общих формул в этом методе поставлено условие, чтобы упругая линия изогнутой оси конструкции и просевшая под ней поверхность грунта приблизительно совпадали. Поэтому реактивное давление грунта представляется автором четырех­ членным степенным рядом с четырьмя неизвестными параме­ трами, значения которых определяются из условий контактно­ сти конструкций с основанием. Кроме этих условий, исполь­ зуются также два условия равновесия и два граничных усло­ вия.

В отличие от вышеупомянутых методов для приближен­ ного интегрирования уравнений некоторых краевых стати­ ческих и динамических задач строительной механики, опи­ сываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, нами в рабо­ те [64] разработан эффективный метод, который в дальней­ шем был развит в работе наших аспирантов [65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75].

Ниже излагается сущность указанного метода расчета.

§ 3. Метод последовательного приближения для построения общего решения дифференциальных уравнений продольно-поперечного и поперечного изгиба балки на сплошном упругом основании

Исходя из метода, изложенного в работе [64], займемся решением уравнения продольно-поперечного изгиба балки. Решение же поперечного изгиба балки получим как частный случай из построенного решения задачи о продольно-попереч­ ном изгибе.

Примем следующие известные краевые условия:

Произведя интегрирование этого уравнения в пределах от 0 до х, получим в общем виде выражение для перерезываю­ щей силы:

37

X

Для определения изгибающего момента последнее уравне­ ние еще раз интегрируем в тех же пределах:

X XX

EJ(х ) — ^ 1*- = —М(х) -— J Q (х) dx = J J q (х) dxdx —

ооо

XX

к (х) у (х) dxdx — Р | у (х) — г/0]—QqX—М0

Разделив обе части последнего выражения на EJ (х), бу­ дем иметь:

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0 до х, получим выражение для угла поворота сечения балки в виде:

38

Упругая линия балки при этом определится выражением:

Уравнение деформированной оси сваи представим в виде:

У (х) = 1/0 (х)

0о, М0 и Qo, характеризующих краевые условия рассматривае­ мых задач. Два из этих четырех параметров всегда равны нулю. Так, например, для балок со свободным левым концом

деляются из условия на правом конечном сечении балки.

39