книги из ГПНТБ / Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие

Рис. IV. 17

Принимая справедливой гипотезу плоских сечений, выве­ дем дифференциальное уравнение рассматриваемой балки на сплошном упругом основании.

Известно, что между перемещениями от изгиба у„ (х) и изгибающими моментами М(х) существует обычное соотно­ шение:

Полное перемещение стены определится суммой:

У(а ) =--- Ум (а') + Уо (а )

Последовательно дифференцируя последнее выражение по переменной х дважды и подставляя в него значения уы( а ), ycj (’х) из (IV. 23) и (IV. 24), получаем:

Используя метод местных упругих деформаций, можно со­ ставить равенство:

где q(X)—произвольная внешняя нагрузка, действующая на балку; к(х)—переменный коэффициент жесткости грунта ос­ нования.

Последовательно интегрируя (IV. 26) в пределах от 0 до х и подставляя полученные значения М(х) и Q(x) в (IV. 25), получаем:

EJ(х)у"(х)= I I [q(х)—к(х)у(х)\dxdx—

о о

X

- Е 1 (х) J q(x)—K(x)y(x)dx GF(а )

Продифференцируя дважды последнее выражение по пере­ менной х, будем иметь:

\EJ(x)y"(x)]" = </(а ) — к(х)у(х) -

]' (у(х) - к(х)у(х) dx

о__________________

GF(x)

Откуда для поперечного изгиба стены в окончательном виде получим следующее интегро-днфференциальное уравнение:

141

Полученное уравнение поперечного изгиба стены относит­ ся к обыкновенным однородным •линейным дифференциаль­ ным уравнениям с переменными коэффициентами. Очевидно, что коэффициенты этого уравнения EJ(x), GF(x) и к(х) в за­ висимости от характера изменения жесткости стены, а также 'от коэффициента жесткости упругого основания здания в об: щем случае могут быть как прерывными, так и кусочно-непре­ рывными функциями.

Построить замкнутое решение уравнения (IV. 27) невоз­ можно, т. к. его общее решение не получается выраженным через элементарные функции. Поэтому для решения указан­ ного уравнения возможно применить только различные при­ ближенные методы. Можно также применить и вариационные методы, к числу которых следует прежде всего отнести методы Лагранжа-Ритца и Бубнова-Галеркина.

В более упрощенной постановке с использованием прямого

Методом начальных параметров решение задачи получено также Крыловым А. Н. [125] п Уманским А. А. 11261 для слу­ чая постоянной равномерно-распределенной нагрузки и сосре­

142

Для случая загружения балки с жесткостью EJ равномер­ но распределенной нагрузкой, применив принцип минимума потенциальной энергии и задаваясь кривой изгиба в виде ква­ дратной параболы, Д. Д. Сергеев [129] получил достаточно простое решение уравнения (IV. 27) в первом приближении.

Используя метод сил и заменяя сплошное основание пере­ менной жесткости системой упруго оседающих опор, В. И. Лпшак [92] в наиболее простом виде получил решение этой за­ дачи.

Задача расчета стен на упругом основании переменной жесткости рассматривалась также П. П. Шагнным [94].

Ниже на основании разработанного метода последователь­ ных приближений дается решение задачи изгиба крупнопа­ нельных зданий на просадочных грунтах в наиболее общей постановке.

§ 5. Построение общего решения рассматриваемой задачи

Решим уравнение (IV. 27) методом последовательного приближения. Для этой цели указанное уравнение предста­ вим в виде:

—K(x)y(x)+q(x)

Произведя интегрирование последнего уравнения в пределах

ние изгибающего момента в виде:

143

\[q{x)—K(x)y(x)]dx

E J ( x ) ^ p - = M { x ) = - E J ( x )

— | | /v (-v)у (x) dxdx~\~ j'j q (x'j clxdx-\-i\\q~\-CIqX oo oo

Разделив обе части последнего выражения на EJ(x), бу­ дем иметь:

Уравнение изогнутой оси балки представится в виде:

144

Так как стена здания будет представляться как балка со свободными концами, то в дальнейшем всегда будем иметь /Vi0= Q 0= 0 . Поэтому уравнение изогнутой оси рассматривае­ мой балки будет иметь вид:

целью в качестве аппроксимирующей функции для изогнутой

dx

k(x)yQ(x)dx

GF(x)

оо

Заменяя далее в (IV. 28) у ( х ) — у\(х) и поступая так даль­

145

dx

| k(x)yn i{x)dx

GF(x)

h

Очевидно, построенный таким способом ряд не зависит от функций 1/о(х) и потому предел у(х) функций у п (х) также не

будет зависеть от функции Уо(х), с которой мы начали строить приближение.

Но, однако, быстрота сходимости построенного приближе­ ния в каждом конкретном случае будет зависеть от формы

функции уо(х) и может быть оценена в зависимости от харак­ тера функций EJ(x), GF(x) и к(х) известными способами высшей математики.

Составляя в развернутом виде п-ое приближение и вынося со­

от изгибной и сдвиговой жесткости, a F ^ ,Q(x) от совместного влияния как изгибной, так и сдвиговой жесткостей и опреде­ ляются следующими выражениями:

П—I

146

f f ’Q(x)= - V | ( - l ) " [П2ср(л-)А(л)]-'П2?(л:)/г(А-)Х jked

П•—1

ХП|'1>(*)<7(л )+[П,-Ь(л')£(*)п- 1П,'})(л')/г(^)1Т2?(л')7(а )|

Р? ( х ) ^ ( - \ у ^ > ( х Щ х ) } п ;

П1

Формулы угла поворота, изгибающих моментов, перерезы­ вающих сил и реактивного давления грунта основания имеют

147

Откуда имеем:

В'"(1) ■C"(l) — В"(1)-С"'(1)

А'"(1) • B v(l) — А"(1) ■В'"(1)

(IV.35)

А"(1) • С'"(1) — А"\1) • С"(()

A"'(l)- B"(l)-A"(l)-B,"(l) )

§ 6. Решения для некоторых частных случаев

На основании полученного общего решения рассмотрим ре­ шения некоторых встречаемых в практике частных случаев.

1. Сдвиговая жесткость изгибаемой стены по всей дли здания бесконечно велика, т. е. GF(x)= со.

При GF(x)= со в уравнении (IV. 30) функций F f'Q(.v)

и FiQ(a-) обращаются в нуль, а функции А(х), В(х) и С(х) определяются выражениями:

14S

2.Изгибная жесткость изгибаемой стены бесконечно вели­

"3. Изгибная и сдвиговая жестки. ть стены по всей ее длине постоянные, равные приведенной. Интенсивность внешней на­ грузки также постоянная, т. е.:

EJ(x) = [Л7] =const, GF(x) = [GF] =const,

Решение последнего уравнения получим из построенного об­ щего решения (IV. 29), как частный случай, в виде:

Здесь функции А(х), В(х) и С(х) определяются из общего

выражения (IV. 30), где функции Л" (л), FfbQ (х) и FiQ(x)

имеют вид:

149