книги из ГПНТБ / Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие

Полученное выражение (III. 9) представляет собой инте­ гральное уравнение первого рода относительно искомой функ­ ции р(х). Если рассматриваемая конструкция представляет собой балку постоянной жесткости EJ0, то интегральное урав­ нение задачи примет вид:

XXXX

XXX X

0 0 0 0

Таким образом, задача сводится к решению интегрального уравнения (III. 9) или (III. 10), удовлетворяющему двум урав­ нениям равновесия статики (III. 7) и (III. 8).

Если к полосе (или балке) приложена симметричная отно­ сительно её середины внешняя нагрузка, то распределение реактивного давления также должно быть симметричным и поэтому первое уравнение равновесия (III. 7) должно превра­ щаться в тождество.

Если же внешняя нагрузка обратно симметрична, т. е. справа и слева от середины балки одинакова по величине, но обратна по знаку, то она, очевидно, приведется к паре сил М0. В этом случае распределение реактивного давления грунта получится также обратно симметричным и поэтому второе уравнение равновесия (III. 8) должно превращаться в тожде­ ство.

Таким образом, искомая функция р(х), помимо интеграль­ ного уравнения задачи, должна удовлетворять одному или же обоим уравнениям равновесия статики.

§3. Решение интегрального уравнения задачи

встепенных рядах

100

X dxdx -ь ... = у0(л') -I- ф(л-)

Объединяя члены с одинаковыми неизвестными коэффициен­ тами, получим:

dxdx

/„(*, = < j V - i . -<|Л + Л ^ dxdx ;

EJ(x)

Как видно из (III. 13), вычисление функций f\ (х) для каж­ дого случая расчета не представляет никакого принципиаль­

ного затруднения, т. к. функции <f(x) и Е1(х) — заранее из­ вестные интегрируемые функции.

Из равенства (III. 12) мы можем придти к бесконечной алгебраической системе двумя несущественно отличающими­ ся способами.

Разбивая всю длину полосы на бесконечно малые части, определяемые значениями х к, и в каждой точке вычисляя значения функций

102

мы получаем бесконечную систему алгебраических линейных уравнений, в которых неизвестными величинами являются искомые коэффициенты аэ, аь а2 и т. д.

Или в развернутом виде:

aufo2 ~Ь Я,/,о + Я2/ 21 -f- ...= у02 + Ф2.

Практически можно вместо бесконечного ряда (III. 11) при­ нять для функции р(х) выражение в виде полинома из п чле­ нов:

Тогда для решения задачи и определения п неизвестных ко­ эффициентов fli , кроме двух уравнений равновесия (III.7) и (III. 8), следует, придавая величине х ряд фиксированных зна­ чений хи х2,..., хп- 2, составить (п—2 ) уравнений типа:

Решая полученную систему (III. 16) из (п—2) уравнений, находим неизвестные коэффициенты Я1 :

/о, 11- 2/ 1, п-2 . .. / |-1, п—2(У0, п-2+ Фп-г)/н-1, П-2. ../п-2. п-2

103

д =.

!, n 2

Подставляя найденные значения коэффициентов в (III. 15), получаем искомое решение задачи. Такой способ решения за­ дачи, следуя В. А. Флорину [89, 90], называем способом «при­ равнивания прогибов».

Поэтому в каждом случае расчета неизвестные коэффи­ циенты а| будут зависеть только от двух начальных пара­ метров. Следовательно, к системе (III. 16) мы должны присое­ динить еще два уравнения равновесия (III. 7) и (III. 8). Не­ известные начальные параметры всегда представляется воз­ можным определить из двух уравнений равновесия статики.

Решение рассматриваемой задачи возможно также осуще­ ствить по несколько иному варианту [76, 89]. Разлагая в ин­ тегральном уравнении неизвестную функцию р(х) в степенные ряды п сравнивая в полученном при этом уравнении коэффи­ циенты с одинаковыми степенями cpf.v), можно получить бес­ конечную систему уравнений относительно неизвестных коэф­ фициентов .

Присоединяя к этой системе уравнение равновесия и огра­ ничиваясь решением некоторой усеченной системы уравнений, можно определить все неизвестные коэффициенты а\ , следо­ вательно, и закон распределения реактивного давления р(х).

§ 4. Выражение грузового члена канонических уравнений для каждого вида внешней нагрузки

Канонические уравнения излагаемого метода расчета (III. 16) содержат в себе грузовые члены вида:

104

Вид функции Ф (х), значения которой в фиксированных точ­ ках хк ( к = 0 , 1, 2,...) входят в правую часть канонических уравнений для определения неизвестных коэффициентов, за­ висит от характера действующей на полосу внешней нагрузки. Поэтому для определения неизвестных коэффициентов необ­ ходимо иметь выражение функции (III. 17) для каждого слу­ чая действующей на полосу нагрузки.

Рассмотрим наиболее часто встречаемые в практике ра­ счетов случаи нагрузки. Для простоты цилиндрическую жест­ кость полосы примем постоянной.

И

Рис. II 1.3

двухстороннего прерывателя Н. М. Герсеванова указанную прерывную нагрузку можно представить в виде [60]:

105

< 7 (х ) — Г о

Тогда выражение грузового члена примет вид:

EJ0

С помощью формулы многократного интегрирования односто­ ронних прерывателей (ф-ла II. 28]) выражение функции Ф(Х) примет вид:

Ф(л-) = — |Г > 0(л' - аУ - Гь ди(х — ЬУ\ 24EJо

В силу свойства одностороннего прерывателя имеем [80]:

3.Нагрузка состоит из двух местных равномерно расп

деленных неравных нагрузок q\ и q2 (рис. III. 4). В этом

И

Рис. III.4

случае функция нагрузки с помощью двухсторонних прерыва­ телей представится в виде:

106

? (а ) = Га)?, + Га.^2

Выражение грузового члена примет вид:

Раскрывая последние четырехкратные интегралы над двухсто­ ронними прерывателями, для функции Ф (х) получим следую­ щее выражение:

9 ( x ) = V r i ,M

1=1

Выражение грузового члена с помощью мгновенного прерыва­

теля первого порядка примет вид:

ХХХХ п

Ф(а) — V r ;aj N\^vi dxdxdxdx E h Jо о о о 11

107

Рис. 111.5

Выполняя четырехкратное интегрирование с учетом свойств функций ГЯр получаем следующую функцию:

5. Нагрузка состоит из нескольких сосредоточенных мом тов Mi (рис. III. 6).

Функция нагрузки с помощью мгновенного прерывателя второго порядка представится в виде:

П

-7(A) = V г ; Ж, . i-i

108