книги из ГПНТБ / Мустафаев, А. А. Вопросы расчета зданий и сооружений на просадочных грунтах учебное пособие

дам интегрирования, наиболее распространенными из кото­ рых являются метод линеаризации и метод малого параметра. Идея линеаризации в рассматриваемой задаче может быть реализована следующим образом. Известно, что при расчете основании фундаментных балок по второму предельному со­ стоянию величина передаваемого на грунт давления должна быть не больше нормативного сопротивления грунта основа­ ния (R" ). Пусть осадка основания при этой нагрузке опреде­ лена равной s0 (рнс. II. 4). Тогда нелинейная связь между пе-

Рис. II.4

педаваемым в грунт давлением и его деформацией с опреде­ ленным приближением может быть заменена линейной функ­ цией, т. е.

Р"

— У s0

Тогда уравнение (II. 48) заменяется линейным уравнением вида:

последнее уравнение можно представить в виде:

diy

(11.49)

d -rf

90

Общее решение линейного неоднородного уравнения (11.49) с помощью фундаментальных функций А. Н. Крылова у\ (ц) можно записать в виде [79]:

+ ~ j у«(*1-*Ж*)<#.

о

УК'4) = chvjcosv] ;

УзЫ = -^-slr/]SiiiYj ;

yi(yj) = — (chTjsinv; — sh'/jcosTj) ; 4

Возможность применения метода малого параметра покажем для случая нелинейного однородного уравнения:

При следующих краевых условиях:

Известно, что во всех случаях проектирования жесткость грунта оснований по сравнению с жесткостью фундаментов бывает ничтожно малой.

Поэтому отношение X=K0/EJ0b (1150), представляющее ма­ лую величину, примем в качестве малого параметра. Тогда представляется возможным решение уравнения (II. 50) пред­ ставить в виде ряда по степеням этого малого параметра, т. е.

Подставляя ряд (II. 51) в уравнение (II. 50) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, для определения неизвестных функций U\ (х) получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

91

а д _ 0 ,

Ул'1

U*{x)\> ;

dx'

‘- а д ;

d x 4

Решение первого уравнения, удовлетворяющее принятым крае­ вым условиям, будет иметь вид:

Решение второго уравнения, удовлетворяющее нулевым крае­ вым условиям, определится выражением:

Раскрыть последнее четырехкратное интегрирование при про­ извольных значениях показателя (3, в элементарных функциях, не представляется возможным. Поэтому для установления вида функции U\(х) следует обратиться к приближенным приемам.

Так, например, подынтегральная функция может быть за­ менена линейной функцией вида А-\-Вх. Неизвестные коэф­ фициенты А и В в этой замене можно определить методом наименьших квадратов:

Решая последнюю систему, получаем:

92

Тогда приближенное выражение функции U\(x) примет вид;

U{(x) — — JJJJ (A 4- B x f dxdxdxdx

Откуда после четырехкратного интегрирования получим:

+ С2-х2 + С3х -)- С4 .

Очевидно, функция U\(x) должна удовлетворять однородным граничным условиям, т. е.

U^o) = U[(o) = U\(o) = Ui (о) = О

Откуда получаем значения произвольных постоянных интегри­ рования

представится возможным ограничиться двумя последователь­ ными членами разложения (II. 51).

93

Поэтому приближенное решение рассматриваемой нели. нейной задачи можно представить в виде:

задачи. Здесь также два из этих параметров заранее извест­ ны, а оставшиеся неизвестные параметры определяются из условия на нравом конечном сечении балки. Полученное .ре­ шение (II. 52) может быть использовано при деформационных расчетах свай на горизонтальную нагрузку.

Применение рассматриваемой модели и некоторые прие­ мы решения нелинейных задач изгиба балки на сплошном упругом основании даны в кандидатской диссертации моего аспиранта Б. Г. Исмайлова.

94

Г л а в а I I I

РАСЧЕТ БАЛОК НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ПО МЕТОДУ «УБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ»

§ 1 .0 методе убывающей функции

Первая попытка усовершенствования метода местных упругих деформаций (модель Фусса-Винклера), по-видимому, сделана К.Впгхартом [131], предложившим экспоненциаль­ ную зависимость изгибаемой балки. Этим приемом был устра­ нен основной недостаток модели Фусса-Винклера, заключаю­ щийся в абсолютном отсутствии распределительной способно­ сти грунта основания изгибаемой балки. Основная идея гипо­ тезы К. Вигхарта заключалась в том, что деформация балки в произвольном ее сечении определяется не только реактивным давлением грунта в этом сечении, как это вытекает из модели Фусса-Винклера, цо также и действием всех соседних реакций, распределенных по всей длине балки. Другими словами, по этому методу принимается, что на прогиб балки S(x) в сече­ нии х или же на осадку грунта в этой точке влияет не только реакция q(x), но также и все соседние нагрузки, распределен­ ные по всей длине подошвы балки (рис. III. 1).

Рис. III.1

Тогда, очевидно, осадка грунта на расстоянии х от нагруз­ ки Я(т]), приложенной на расстоянии т), будет зависеть от рас­ стояния между точкой приложения ее и точкой, в которой оп­ ределяется величина осадки, т. е. от расстояния (х—т]). Ина­ че говоря, осадка грунта основания йа расстоянии х от на­ грузки р(г|) будет функцией от расстояния (х—г|), т. е.:

S(x) = p (t})-F(x—4\),

где F обозначает функциональную зависимость между S(x) и

(Х-Г)).

95

В случае действия распределенной нагрузки осадка осно­ вания балки на расстоянии х от груза р(ц)с1 ц будет равна:

S(x) =р(г\) Р(х—ц) йц.

Если же нагрузка распределена по всей длине балки, то бу­ дем иметь выражение:

Последняя зависимость была получена без каких-либо допу­ щений о деформационных свойствах основания, полагая лишь допустимым применение принципа наложения или независи­ мости действия сил. В случае, когда работа основания пред­ ставляется в виде линейно-деформируемой среды, то вид функ- ■циональной зависимости F принимается из соответствующего решения плоской задачи теории упругости. Так, например, со­ гласно решению Фламана, имеем:

Согласно же гипотезе К- Вигхарта, функциональная зави­ симость между S(x) и (х—I]) определяется убывающей функ­ цией вида:

Здесь с и т — постоянные параметры, определяющие интен­ сивность влияния и зависящие от упругих свойств материала балки и грунтов оснований. Значения этих постоянных могут быть определены путем проведения в натурных условиях со­ ответствующих испытаний гибких (железобетонных) балок; аналогично опытам Л. И. Манвелова, Э. С. Бартошевича [46]. Расчетные формулы для определения значений постоянных с и т по результатам опытных замеров могут быть установлены следующим образом. В процессе испытания в двух точках — на расстоянии ci\ и а2 от левого конца опытной балки, загру­ женной посредине сосредоточенной нагрузкой, веде.тся изме­ рение осадки грунта S fa J и S(a2). На расстояниях же Ь\ и Ь2 от левого конца измеряются р(Ь\) и р(Ь2). Тогда согласно основной зависимости метода убывающей функции:

р[Ь) = — етIа “ь 1

с

по найденным из опыта значениям s(a\), s(a2) и р(Ь\), р(Ь2) для определения неизвестных постоянных с и т можно со­ ставить следующую систему уравнений:

96

p(b\) — —~— em1a'_b’1 ; c

p (b2 ) = ^ l^ m |« a-b,| .

C

Решая последнюю систему, для определения значений по­ стоянных т и с, получаем следующие расчетные формулы:

Вернемся к анализу зависимости (III. 2). Очевидно, в точ­ ке приложения нагрузки, т. е. при Л'=т], так же, как и в мо­ дели Фусса-Впнклера, мы получим прямую пропорциональ­ ность между давлением и деформацией балки, т. е.:

р(х) = — S{x)

с

Таким образом, согласно модели К. Вигхарта, деформация балки, а, следовательно, и осадка её основания, будет иметь место не только в пределах балки, но и вне её. Согласно экспериментам, как известно, деформация основания также получается в виде плавной непрерывной кривой, простираю­ щейся за пределы балки, ординаты которой по мере удаления от неё монотонно затухают.

Основным, и пожалуй, принципиальным недостатком ши­ роко распространенной модели линейно-деформируемой сре­ ды (теории упругости), как было выявлено М. И. Горбуно- вым-Посадовым [54], является несоответствие ее реальной картине деформируемости природных грунтов оснований. По­ следняя модель не только сильно преувеличивает распредели­ тельную способность грунтов основания, но дает совершенно противоречивую картину осадки поверхности загруженного грунтового основания, т. к. при значительном отходе от на­ грузки осадки становятся отрицательными и возрастают до бесконечности.

Другими словами, согласно модели линейно-деформируе­ мой полуплоскости, нагрузка не только вызывает перемеще-

97

ния соседних, ненагруженных точек, но эти перемещения ста­ новятся тем больше, чем дальше находится рассматриваемая точка поверхности грунта.

Итак, принимая за основу расчета метод убывающей функ ции, согласно (III. I) и (III. 2) для осадки основания балки получим следующее выражение:

I

S(x) — с J р(у\)е_т 1к~г>1d-q \)

Несмотря на простоту и физическую обоснованность, метод убывающих функции не нашел до сих пор применения в тео­ рии расчета конструкций на упругом основании. Сам же автор этого метода решил до конца только два предельных случая: для абсолютно гибкой балки, подверженной по всей длине действию равномерно распределенной нагрузки, п для абсо­ лютно жесткой балки.

Ниже излагаются основы разработанной теории расчета балок на упругом основании по методу убывающих функций.

§ 2. Сведение задачи к интегральному уравнению

Расчет, как в обычно применяемых теориях, сводится к оп­ ределению закона распределения реактивного давления грун­ та по подошве изгибаемой балки. Будем рассматривать по­ лосу шириной Ь, работающей под действием сосредоточенных

В основу рассматриваемой теории расчета кладутся два основных уравнения. Первое из них — дифференциальное уравнение изгиба полосы, имеющее вид:

Второе представляет собой уравнение осадки поверхности грунта при передаваемой полосой нагрузке, равной по абсо­ лютной величине реактивному давлению грунта на полосу:

I

S(x) = с J p(-q)e~mI x-7i1d-q (III.5)

о

Рассматриваемая контактная задача сводится к определению закона распределения реактивного давления р(х), удовлетво­ ряющего следующим двум основным условиям:

98

1. Прогибы полосы всюду по ее подошве должны совпа­ дать с осадкой поверхности грунта под полосой, т. е.

2. Реактивные давления и внешняя нагрузка на полосу должны вместе удовлетворять следующим двум условиям рав­ новесия статики:

где Rn и Л/о обозначают сумму вертикальньЛс сил и сумму мо­ ментов всех внешних нагрузок относительно левого начально­ го сечения балки.

Решение уравнения (III. 4), выраженное через начальные параметры задачи, представляет собой функцию:

где

Е =

b( 1 — ро)

Из условия непрерывного прилипания подошвы полосы к поверхности грунта, т. е. (III. 6), имеем:

99