книги из ГПНТБ / Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие

этого уравнения оказывается больше -Ь 1 и меньше —1, существо вать не могут, а энергии, отвечающие этим значениям аа, для элек­ трона запрещены. Границы допустимых значений аа соответствуют для k величинам hn/a. На рис. 30 приведена зависимость Е до k. Л£У. Л£0" ••• и т. д.—запрещенные зоны энергии.

Рис. 30. Изменение энергии электрона о г волнового числа /г; энергетический спектр электрона

Если Р мало, то запрещенные области исчезают. Если Р * оо, то разрешенные интервалы значений аа вырождаются в точки

пк (п = ± 1, ±2...). Энергетический спектр становится дискретным, и 722

собственные значения энергии Е = g тд2 будут относиться к элек­

трону в потенциальном ящике длиной а. Внутри первой полосы разрешенных энергий cos ka меняется от +1 до —1. Этому соот­ ветствует изменение ka в пределах от 0 до ± я , или изменение k в

Последнее выражение определяет область простирания первой энергетической зоны, или, как уже было сказано, зоны Бриллюэна. Внутри второй энергетической зоны cos ka изменяется от —1 до + 1,

Внутри зоны Бриллюэна энергия квазинепрерывна, на границах зо­ ны энергия может иметь разрывы. Здесь не случайно говорится о квазинепрерывности, а не о непрерывности энергии в зоне, посколь­ ку имеется в виду обязательное наличие в задаче граничных усло­ вий. Таким образом, энергетический спектр электрона в периоди­ ческом поле в общему случае распадается на разрешенные и запре­ щенные полосы энергии или зоны.

71

§ 3. Превращение атомных уравней в энергетические зоны при образовании кристалла

Как было выяснено, внутри зоны волновое число k меняется от —^-до--*—^- • Наложение периодических краевых условий ограни­

чивает к следующими значениями:

где L—длина атомной цепочки. Из формулы (IV—15) видно, что

число независимых значений k равно— . Так как А—длина цепоч

ки, а—расстояние между атомами, то-^ = N —числу атомов в це- •

энергии должна состоять из N уровней, где N—число атомов в це­ почке. Ход образования разрешенной и запрещенной энергетических зон полезно ироследйть также и с иной точки зрения. Будем исхо­ дить из состояния, в котором имеется совокупность удаленных друг от друга нейтральных атомов, каждый из которых обладает соб­ ственной системой энергетических уровней, и проследим, что будет происходить с энергетическими уровнями по мере сближения ато­ мов и перекрытия их электронных оболочек в процессе образова­ ния из этой совокупности атомов упорядоченной структуры метал­ лического кристалла.

В результате взаимодействия с соседними атомами уровни рас­ щепляются в энергетическую зону, в пределах которой энергия электронов периодически зависит от k. Подобное расширение явля­ ется следствием волновых свойств электронов и непосредственно связано с уменьшением степени локализации их в кристалле по сравнению с изолированными атомами. В кристалле все электроны приобретают способность переходить от одного атома к другому. Этот переход осуществляется путем туннельного просачивания сквозь разделяющий потенциальный барьер. Наличие таких переходов уменьшает степень локализаций электронов и приводит к брльшей или меньшей неопределенности в значении их энергий, т. е. к размытию уровней энергии и превращению их в полосы или зоны. Вычисления показываюі, что время пребывания электрона около определенного атома составляет т=10~15 сек, т. е. нет смысла говорить о принадлежности электронов определенным атомам.

72

нов, имеющий в изолированном атоме ширину «10. 7 эв, превра­ щается в кристалле в энергетическую зону шириною порядка еди­ ниц электроновольт. Электроны внутренних оболочек атомов име­ ют т-= 1020 лет, т. е. энергетические уровни этих электронов в кри­ сталле такие же узкие, как и в отдельно взятой атоме. По мере пе­ рехода к более внешним оболочкам высота и ширина потен­ циального барьера уменьшаются, вероятность туннельного перехода электронов увеличивается, вследствие чего растет ширина энерге­ тических зон. На рис. 31 показано изменение энергетических уров-

ней атомов натрия по мере их сближения. Справа приведены уров­ ни изолированного атома натрия, слева—образование зон, обуслов­ ленное расширением уровней при уменьшении расстояний г между атомами, d — межатомное расстояние в кристалле натрия.

Явление перекрытия соседних энергетических зон наблюдается у многих твердых тел и играет большую роль в определении их электрических свойств.

§ 4. Зонная структура металлов, диэлектриков и полупровод­

ников

Рассмотрим более подробно верхние энергетические зоны. Зо­ ны, которые расположены над энергетическими уровнями внутрен­ них электронов, можно разделить на две группы: на валентные зо­ ны и зоны проводимости. Зоны проводимости во всех кристалличе­ ских телах лежат над валентными зонами. В некоторых случаях они могут -взаимно перекрываться. Свободные электроны, т. е. элек­ троны проводимости, имеют энергетические уровни, лежащие в пределах зоны проводимости. Уровни валентных электронов нахо­ дятся в пределах валентной зоны. Промежутки, расположенные между валентными зонами и зонами проводимости, называются за­ прещенными зонами. Зонная теория еще не является строгой теори­

73

ей, на базе которой можно вести точные количественные расчеты. Несмотря на это, с помощью зонной теории оказалось возможным выяснить некоторые основные вопросы, в частности, объяснить раз­ личие между металлами, изоляторами и полупроводниками. Приме­ нение зонной теории позволяет получить правильную, единую и до­ статочно общую картину электропроводности твердых тел. С точки зрения этой теории электропроводность определяется степенью за­ полнения электронами зон разрешенных энергий. Если разрешенная зона заполнена полностью, то электроны, уровни которых лежат в пределах этой зоны, не могут принимать участия в электропровод­ ности. В самом деле, электроны, участвующие в механизме проводи­

для поднятия электрона на вышележащую свободную зону, то в этом случае не появляется направленного движения электрона, а, следовательно, нет и электрического тока. Такие тела относятся к изоляторам. В частично заполненных зонах имеется большое число свободных состояний, энергия которых очень мало отличается от энергии занятых уровней этой зоны. Поэтому уже слабое электри­ ческое поле способно сообщить электронам добавочный импульс, чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни. В теле по­ является преимущественное движение электронов против поля, обуславливающее возникновение электрического тока. Такие тела являются, очевидно, проводниками. Зонную структуру металла и изолятора можно представить рис. 32.

Рис. 32. Энергетическая структура зон дЛя металлов (а), диэлектриков (б), полупроводников (в).

У полупроводников так же, как и у изоляторов, валентная зона отделена от зоны проводимости запрещенной зоной, однако шири­ на запрещенной зоны различна. Так, для алмаза, являющегося изо­ лятором, ширина запрещенной зоны равна примерно 7 эв, для гер­ мания и кремния—соответственно 0,72 и 1,12 эв. Принято считать

74

изоляторами вещества, для которых ДЕ>3 эв, а полупроводника­ ми — вещества,.для которых ЛЕ = 0,1-:-3 эв. При АЕ<0,1 эв веще­ ства называют переходными металлами.

§ 5. Эффективная масса электрона

Электрон, находящийся в кристалле, испытывает действие дру­ гих частиц, и его движение уже нельзя рассматривать как движение свободной частицы.

Учитывая действие периодического потенциала кристалличе­ ской решетки, можно определить поведение электрона при воздей­ ствии на него внешнего электрического поля. Для этого предста­ вим электрон, как волновой пакет, который движется под действием

пульс электрона.

Так как на электрон действуют периодические силы притяжения и отталкивания атомов решетки, то характер его движения не мо­ жет быть описан теми же соотношениями, что и движение свободной частицы в потенциальном ящике.

В этом случае, кроме внешнего поля, необходимо учесть влияние внутреннего поля, создаваемое всеми атомами решетки. При конеч­ ном решении задачи следовало бы учесть и изменение внутреннего периодичного потенциала под действием внешнего поля, что приве­ ло бы к смещению электронов в атомах, т. е. поляризации атомов.

действующей на частицу так, что в оредйем за время dt изменение собственного значения энергии электрона Е равно элементарной ра­ боте внешней силы dE, то дифференцируя по времени энергию вол­ нового пакета, будем иметь

Из полученного соотношения вытекает очень важный вывод: в кри-

есть уравнение закона Ньютона, где импульс заменен квазиимпуль­ сом.

75

физический смысл массы. Таким образом, в кристалле электрон ус­ коряется под действием внешней силы так же, как и классическая

частица в вакууме с массой т* --- d2E , называемой эффектив-

dk2

ной массой электрона.

Приписывая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла, массу ш*, мы можем считать этот электрон свободным и описывать его движение во внешнем поле так, как мы описываем движение обычного электрона. Однако для электрона, находящего­ ся в периодическом, поле, по мере увеличения его энергии и перемещения от дна зоны к ее вершине эффективная масса ме­ няется не только по величине, но и по знаку. Это указывает на то, что поведение во внешнем поле электронов, находящихся на раз­ ных энергетических1уровнях зон, может быть весьма различным и сильно отличаться от поведения свободных электронов. Введение понятия эффективной массы является лишь удобным спо­ собом описания движения электрона, находящегося в периодиче­ ском поле кристалла, под действием внешней силы. Сама же эффек­ тивная масса не есть масса в обычном смысле слова. Ома не определяет ни запаса энергии, пи инерционных, ни гравитационных свойств электрона.

§ 6. Понятие о дырках

Понятие «дырка» является одним из важнейших для объяснения электрических свойств полупроводниковых кристаллов. В идеальном полупроводнике при абсолютном нуле все энергетические состояния

'в зоне проводимости свободны. Под действием термического воз­ буждения из заполненной валентной зоны электроны способны пе­ реходить в зону проводимости, оставляя вместо себя незаполнен­ ный энергетический уровень. Этот уровень может быть заполнен другим оторвавшимся электроном. Число электронов в зоне прово­ димости и число вакантных уровней одинаково. Состояние незапол­ ненного уровня в валентной зоне эквивалентно положительному за­ ряду, равному по величине заряду электрона. Полный заряд объ­ ема вещества, очевидно, остается равным нулю. Плотность тока, возникающая при наложении электрического поля Е, пропорцио­ нальна скорости электрона в зоне проводимости и совпадает с ней по направлению /0 = еѵ , для п—свободных электронов jn=envn.

76

\

Однако в валентной зоне вакантный уровень энергии может за­ полняться электроном, который перемещается против поля. Таким образом, совокупность электронов в валентной зоне также участву­ ет в образовании проводимости полупроводника. При этом плот­ ность этого тока зависит от числа вакантных уровней.

Если обозначить число вакантных уровней через N, то

]N -evN N.

Следовательно, в полупроводнике существуют два вида носите­ лей заряда' — свободные электроны в зоне проводимости и связан­ ные электроны в валентной зоне. Общая плотность тока будет рав­ на

j -”jn + jjv е \п ■n + evN ■N.

Перемещение электронов в валентной зоне равноценно переме­ щению вакантных уровней (или вакантности) по полю, т. е. поло­ жительного заряда е+. Однако забывать не следует, что движение положительного заряда происходит не ів результате действия на него сил электрического' поля, а в результате перемещения элек­ трона под действием этого поля.

Вакансия в .кристалле получила название дырки, а механизм проводимости посредством связанных электронов (или дырок) пополучил название дырочной проводимости. Если обозначить число дырок через р, их скорость через пр, то общая плотность тока бу­

Глава V. СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

§ 1. Статистика электронов и дырок в собственных полупро­ водниках

Для определения электропроводности полупроводников необхо­ димо знать концентрацию и подвижность носителей заряда. Со­ гласно зонной теории электропроводность полупроводников обус­ ловлена свободными электронами в зоне проводимости и дырками в

77

валентной зоне. Если валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости свободна, то электропроводность такого твердого те­ ла равна нулю. Однако при тепловом возбуждении полупроводни­ ка степень заполнения свободной зоны возрастает.

На рис. 33 показана энергетическая схема собственного полу­ проводника (химически чистый полупроводник называется соб­ ственным полупроводником, а его электропроводность—собствен­ ной проводимостью).

Рас. 33. Схема энергетической зоны собственного полупроводника.

Нас будет интересовать число свободных электронов в зон^ про­ водимости и число дырок в валентной зоне.

Обозначим через ДД0 ширину запрещенной зоны.

Концентрацию электронов в зоне проводимости—через п, а кон­ центрацию дырок в валентной зоне—через р.

Начало отсчета энергии поместим на дно зоны проводимости. Выделим у дна зоны проводимости узкий интервал энергии dE, за­ ключенной между Е и E + dE, тогда для электронов с энергиями в

где ц — уровень Ферми,

dn — число электронов, энергия которых заключается в интер­ вале от Е до E+dE.

78

Функция Ферми-Дирака определяет вероятность заполнения электронами квантовых состояний с энергией Е. Число квантовых состояний в зоне проводимости значительно превышает число элек­ тронов в этой зоне, поэтому можно считать, что <0, т. е. доля за­ нятых электронами состояний с энергией очень мала.

&£

Отсюда следует, что е кТ ;) 1 или —jpjr- > 0.

Так как мы выбрали энергетический интервал у дна зоны прово­ димости, т. е. близко к нулевому уровню, то Е = 0, и тогда

JLkT. » 0 .

А это означает, что само р, есть величина отрицательная. Следо­ вательно, уровень Ферми в собственных полупроводниках распола­ гается ниже дна зоны проводимости. Точнее его положение можно

определить из следующих рассуждений. Условие е~£Т у, j приводит

Проинтегрировав (V—2) по всем энергетическим состояниям от 0 до со , получим общее число электронов в зоне проводимости

о

После определения интеграла получим

Аналогичный расчет для дырок в валентной зоне приводит к ре­ зультату

Здесь /пр* — эффективная масса дырок, р' — расстояние от уровня Ферми до верхней границы валентной зоны.

В собственном полупроводнике п = р, тогда из V—3 и V—4 полу­ чим

Отсюда находим

79