книги из ГПНТБ / Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие

е " - 1

Таким же соотношением описывается и число фотонов. Это со­ отношение называется распределением Планка.

§ 5. Теория теплоемкости кристаллов

Классическая теория теплоемкости твердых тел

'Закон Дюлснга-Пти

Вклассической теории теплоемкости однородное твердое тело рассматривается как совокупность совершенно независимых друг от друга частиц, совершающих колебания с одной и той же часто­

ческой энергии, где ft=l,38 • ІО16 эрг/град—постоянная Больцмана. Рассмотрим гармонический осциллятор, находящийся в тепловом равновесии со средой при температуре Т. Средняя кинетическая энергия этого оциллятора равна его средней потенциальной энер­ гии. На самом деле, координата х, определяющая отклонение осцил­ лятора от положения равновесия, зависит, от времени по гармони­ ческому закону

X А sin (wt фа).

Ранее было показано (§ 8, гл. I), что кинетическая и потенци­ альная энергии соответственно равны:

Plan " Kn0T - - - niw2A 2.

Отсюда следует, что в классической статистике средняя полная

лено суперпозицией 3N нормальных колебаний. Так как каждое

60

нормальное колебание представляет собой с механической точки зрения гармонический осциллятор, то полая внутренняя энергия кристалла при температуре Т равна

E = 3Nk0T.

Теплоемкость твердого тела при постоянном объеме равна сѵ—

- - - \>т=З.Мк0. Пели рассматриваемая область кристалла содержит

один грамм-моль вещества, то /Ѵ= ,¥0 = 6,023-ІО23 г - моль-1 число Авогадро. Таким образом, грамм-молекулярная теплоемкость всех кристаллов при высоких температурах равна

Этот закон был установлен экспериментально в 1819 году Дюлонгом и Пти. В таблице приведены атомные теплоемкости ряда веществ при обычных температурах.

Табличные результаты говорят о том, что для большинства эле­ ментов закон Дюлонга и Пти выполняется. Отступление наблюдает-

Рис. 2С. Зависимость теплоемкости от температуры.

61

ся у бора (В) и алмаза. Однако, при исследовании температурной зависимости теплоемкости в широком температурном диапазоне обнаружилось несоответствие с законом Дюлонга и Пти в области низких температур для всех веществ (рис. 26). Она резко уменьша­ ется при низких температурах, согласно же классической теории теплоемкость не должна зависеть от температуры.

Такое расхождение обусловлено тем, что атомы в твердом теле колеблются не независимо друг от друга, а обладают широким спек­ тром собственных частот колебаний. Кроме того, колеблющиеся атомы в кристалле уподобляются не классическому, а квантовому осциллятору, имеющему дискретный набор энергий. Поэтому для нормальных колебаний кристалла мы должны приписать им, со­

гласно (1—57) энергию Е = (гі-\- -у-^/іѵ.

Динамические модели решетки Эйнштейна и Дебая

Основные положения теории Эйнштейна заключались в следую­ щем:

а) как и в классической теории, атомы в кристалле совершают независимые упругие колебания;

б) энергия колеблющегося атома может быть представлена в форме энергии квантового осциллятора, средняя величина которой может быть вычислена по формуле

62

Тогда получим E = 3NkT, c = 3Nk = 3R0-

Отсюда следует, что теория Эйнштейна дает хорошее совпаде­ ние с классическим законом Дюлонга и Пти в этой области темпе­ ратур.

Таким образом, теория Эйнштейна отражает качественно пра­ вильную картину, но количественное расхождение, особенно, в об­ ласти низких температур, осталось, Дебай усовершенствовал тео­ рию Эйнштейна.

Предположение Эйнштейна о том, что все атомы колеблются с одной частотой, являются сильно упрощённым. Между атомами существует такая сильная связь, что весь кристалл можно пред­ ставить, как упругий континуум. Дебай пренебрег атомной струк­ турой твердого тела и считал, что число частот колебаний такого тела бесконечно. Частоты можно определить, если известны: плот­ ность вещества, его упругость и геометрические размеры, т. е. как и в случае упругой струны. В результате мы получим собственные частоты колебаний тела, имеющего основную частоту и бесконеч­ ное число обертонов.

В изотропном теле объемом V число собственных частот коле­

где і>і — скорость распространения поперечных колебаний. ѵ2 — скорость продольных колебаний.

Если принять, что кристалл состоит из N атомов, каждый из них имеет 3 степени свободы, то число собственных частот колебаний будет не более 3N.

63

Дебай предположил, что для каждого тела существует макси­ мальная частота, выше которой уравнение (III —17) несправедливо. Максимальную частоту для кристалла можно определить из

• III —17);

-ЗѲ

Анализ выражения (III—20) показал, что в области низких температур ГСѲ, с стремится к пределу ßP (ß—постоянная для каждого твердбго тела). В области высоких температур формула Дебая приводит к закону Дюлонпа и Пти.

64

Гл а в а IV. ЗОННАЯ ТЕО РИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§1. Модель свободных электронов

Основываясь на модели свободных электронов, можно' объяс­ нить ряд важных физических свойств металлов и в особенности простых одновалентных. Согласно этой модели валентные электро­ ны атомов металла могут почти свободно перемещаться в пределах объема образца. Положительный заряд, компенсирующий заряд электронов, распределен в металле с равномерной плотностью и создает поле с постоянным положительным потенциалом Ѵ0. У по­ верхности потенциал резко падает от Ѵ0до 0, а потенциальная энер­ гия электрона увеличивается с U0 = —еѴ0 до 0. (Рис. 27). Это позво­ ляет рассматривать движение электронов в потенциальном ящике конечной величины, ограниченном поверхностью кристалла, при­ чем потенциал внутри ящика всюду постоянен. Тогда энергия лю­ бого электрона системы, находящегося в поле остальных электронов кристалла, будет одной и той же функцией координат ■для всех электронов. В таком случае движение каждого электрона можно считать независимым от остальных. Такая модель, впервые была предложена "Зоммерфельдом. Во многих задачах этот потенциал полагается равным нулю, и свободные электроны наделяются лишь кинетической энергией. В этом случае движение электрона описывается уравнением Шредингера.

Так как электрон не может свободно покидать металл, . то волно­ вая функция на его границах (в точке х = 0 и x = L) должна обра­ щаться в нуль. Поэтому краевыми условиями задачи являются

мировки. Энергия Еп, соответствующая состоянию, описываемому волновой функцией фп, дается выражением

Совокупность значений Еп представляет собой спектр разре­ шенных уравней энергии системы. Спектр энергии получился

дискретным, однако, поскольку L — большая величина по сравне­ нию с атомными размерами, то уровни энергии расположены очень близко друг к другу, и во многих приложениях допустимо считать, что они образуют континуум (непрерывную совокупность) состоя­ ний.

обойти эту трудность. Для этой цели обычно вводят так называемые периодические гра­ ничные условия. При этом предполагается, что мы имеем дело с твердым телом бесконечных размеров, характеристики которого, рассматриваемые как функции координат, периодичны с периодом L. Волновая функция, соответствующая бесконечному твердому те­ лу, имеет вид

фк = И ехр[ІІгх]

Щ

и должна удовлетворять условию периодичности

ф (х -j- L) = ф (л) (IV —6)

. ли Aeikix+L) = A ëkx. Отсюда находим ë-k t = l. Это уравнение удов­ летворяется лишь при следующих значениях k:

k„ = n ^ - , П= 0, ± 1, ± 2...

66

Значение энергии будет определяться выражением Еп = п 2 2 т/Т-

Таким образом, периодические граничные условия приводят также к дискретному энергетическому спектру свободных электронов в металле.

Несмотря на то, что теория свободных электронов Зоммерфельда дала ряд новых результатов, освещающих, в частности, важ­ ный вопрос о движении электронов в металлах, вскоре была дока­ зана ее недостаточность. Она не учитывает структуры твердого те­ ла, заменяя реальные силы взаимодействия электронов с узлами решетки идеальном полем с постоянным потенциалом.

§ 2. Движение электронов в периодическом поле кристалла

Одним из основных недостатков теории Зоммерфельда являет­ ся то, что она не учитывает периодичности электрического поля внутри кристаллической решетки. Идеальный кристалл представ­ ляет собой периодическую структуру, характеризуемую простран­ ственной решеткой, в узлах которой расположены атомы. Рассмот­ ренное выше предположение о том, что потенциал постоянен и ра­ вен усредненному значению поля атомов, применительно к кристал­ лу представляет собой весьма грубое приближение. Более пра­ вильно считать, что для идеального кристалла потенциал имеет пе­ риодический характер. При движении в кристалле электрон будет притягиваться ядрами и отталкиваться другими электронами. Будем считать, что все электроны в кристалле находятся под воздействи­ ем одного и того же потенциала Ѵ(г). Основной особенностью этого потенциала является свойство симметрии, обусловленное симметри­ ей самого кристалла. В частности, потенциал Ѵ(г) должен сохра­ нять инвариантность при любой операции трансляции. Поэтому можно написать

V(r) = V(r+ d),

где d—любой вектор простой решетки вида d = «іаП + M2a2j + Оз^зк3, П\, п2, п3— любые целые числа, аь а2, а3— постоянные элементарней решетки,

j, i, k — единичные векторы по осям х, у, г.

Модель Кронига-Пенни. Эта модель весьма искусственна, но она дает возможность определить энергетические состояния элек­ тронов в кристалле.

Рассмотрим сначала одномерный периодический потенциал V (х) с периодом d, (рис. 28) V (х) = V(x + rd), где г—любое целое число.

Каждый атом представлен прямоугольной потенциальной ямой шириной а. На протяжении всей ямы потенциальная энергия элект­ рона Uо^О.*

5* 67

*

Атомы разделены потенциальным барьером высотой V и шири­ ной Ь. Амплитудное1уравнение Шредингера, описывающее движе­ ние электрона в таком поле, запишется как

d2ii

выше кинетической энергии электрона), уравнение (IV—ІО) имеет решение

Поста; иные Л, В, С, D выбираются так, чтобы функция и и ее

68

требования периодичности значение функции и(х) при х = а было равно ее значению при х ——Ь, т. е. u\ (0 ) = « 2 (0) и и^(а) = и2(а). Для определения А, В, С, D мы имеем, таким образом, систему из четырех линейных и однородных уравнений:

лишь в том случае, если детерминант, составленный из коэффици­ ентов при неизвестных, равен нулю.

Из этих же уравнений можно установить связь .между и и вол­ новым числом k. Если ввести упрощающее допущение, что ширина барьера b—*0 в то время, как высота V ->сг так, что произведение [>2Ь остается конечной величиной, т. е. ѴЬ — постоянны, то эта связь будет выражаться следующим уравнением

разделяющего ямы; при b—"0 расстояние а равно параметру решет­ ки. На рис. 29 приведен график величины, стоящей в левой части (IV—13), как функции аа для произвольно выбранного значения

Р =-|-- Поскольку cos ka, стоящий в правой части (IV—13), мо­

жет принимать значения только в интервале от +1 до —1, то аа может принимать только те значения, для которых левая часть (IV—13) не выходит из указанных пределов. Эти возможные значе­ ния аа показаны на рис. 29 жирными линиями.

В соответствии с соотношением а = (— ) они дают дополни­

тельные значения энергии Е. Из приведенного рисунка видно, что с увеличением аа длина отрезков А увеличивается. Это означает, что чем выше расположена энергетическая зона, тем она шире. Зо­ ны разрешенных энергий отделены друг от друга полосами запре­ щенных энергий. Эти полосы соответствуют областям аа, в кото­ рых левая часть уравнения (IV—13) больше +1 и меньше —1. Вследствие того, что ни при каких вещественных значениях k cos ka, стоящий в правой части уравнения (IV—13), не может быть больше +1 и меньше —1, то значения аа, при которых левая часть

69