книги из ГПНТБ / Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие

Эта сила короткодействующая, т. к. она обратно пропорцио­ нальна седьмой степени расстояния. Особенностью сил Ван-дер- Ваальса является то, что они возникают между электрически ней­ тральными атомами. В большинстве органических кристаллов си­ лы связи между мелекуламп имеют такой характер.

2. КОННАЯ СВЯЗЬ

Ионная связь хорошо проявляется в кристаллах щелочно-гал- лоидных соединений. В ионных кристаллах электроны переходят от атомов одного типа к атомам другого типа, так что кристалл состо­ ит из положительных и отрицательных ионов. Рассмотрим для при­ мера такое вещество, как NaCl. Внешняя оболочка каждого-атома Na содержит всего один электрон, тогда как в каждом атоме С/ число таких электронов равно семи. При сближении атомов натрия и хлора у одиночного валентного электрона натрия появляется рез­ ко выраженная тенденция к переходу на атом СІ, после чего у по­ следнего образуется замкнутая оболочка из восьми электронов. В результате такого перехода возникают положительные ионы Na+ и отрицательные ионы СИ, между которыми действуют силы взаим­ ного притяжения обычной электростатической природы (кулонов­ ские силы). Ионы в кристалле располагаются так, что кулоновское притяжение между ионами противоположного знака сильней, чем кулоновское отталкивание между ионами одного знака. Таким об­ разом, ионная связь — это связь, обусловленная в основном элек­ тростатическим взаимодействием противоположно заряженных ионов. Характерными ионными кристаллами являются хлористый натрий и хлористый цезий.

3. ГОМЕОПОЛЯРНАЯ (КОВАЛЕНТНАЯ) СВЯЗЬ

Для ионных кристаллов, типа НСІ, молекулы которых состоят из разноименных заряженных ионов, природа сил связи достаточно ясна. Менее очевидной является причина существования устойчи­ вых молекул типа /Д, образованных из нейтральных атомов.

Силы Ван-дер-Ваальса могут быть лишь поправкой к тем силам связи, которые возникают в молекулах # 2, О2 ; гравитационные силы для микрочастиц не имеют значения, вследствие их малости. Таким образом, в этих молекулах действуют особые силы, которые получили название ковалентных или гомеополярных сил связи. Ко­ валентная связь образуется за счет взаимодействия неспарецных электронов с противоположной ориентацией спинов, заполнякндңе одну молекулярную орбиту. Такая связь будет иметь место в тгом случае, если электронные оболочки двух атомов заполнены частич­ но, тогда при сближении атомов орбиты могут объединяться общи­ ми электронами от каждого из взаимодействующих атомов, обра-

50

зуя пары электронов с антипараллельными спинами. Физическая сущность ковалентной силы связи, наиболее понятна при рассмот­ рении простейшей молекулы Н2. Для того, чтобы учесть взаимодей­ ствие двух нейтральных частиц, необходимо принять во внимание квантовомеханический характер этого взаимодействия.

В силу неразличимости электронов, можно сказать, что если электрон 1 характеризуется волновой функцией ф , а электрон 2— волновой функцией фР2 , то одновременное существование электро­ на 1 в состоянии и и электрона 2 в состоянии ß соответствует про­ изведению их вероятностных функций, т. е.

Фаі(32 ^ СФаі Ф[32*

В то же время равновероятно, что электрон 2 может быть най­

существование этих состояний а и р , определяется линейной комби­ нацией фаір2 и фа23і, т. е.

В равной же степени существует вероятность нахождения двух электронов вблизи другого ядра, что отвечает ионной паре Я+Я- . Таким образом, в среднем существует полная симметрия электрон­ ного облака. Теория Гайтлера-Лондона приводит при образовании

стояния между ними, носящей неклассический характер. Описанная картина усложняется тем, что между самими элек­

тронами существуют силы взаимного отталкивания. Для многих по­ лупроводниковых кристаллов основным видом химической связи является ковалентная связь, доля ионной связи не превышает в них 25%. А для Ge и Si химическая связь является чисто ковалентной.

§ 2. Несовершенства и дефекты кристаллической решетки

Помимо того, что кристаллы с совершенно идеальной решеткой практически невозможно получить, они были бы непригодны для большинства исследовательских целей и технических применений.

4* 51

Например, большинство полупроводников обладает электропровод­ ностью только благодаря присутствующим в них примесям. Эти примеси являются примером того, что мы подразумеваем под не­ совершенствами решетки.

а

чием в ней:

элементарных точечных дефектов, к которым относятся внутрен-. ние атомы, решеточные вакансии;

линейных дефектов, таких как дислокации; дефектов более сложного типа, которые образуются в результа­

те взаимодействия элементарных дефектов.

52

Точечные дефекты в кристаллах

Вкристалле некоторая доля ионов может оставить свои места

изанять положение между атомами. Такие смещенные атомы на­ зываются межузельными, а освобожденные места—вакансией. Со­ вокупность межузельного атома и близко расположенной вакансии определяется как дефект Френкеля (рис. 21а). На рис. показано смещение атома А в межузельное положение.

Вакансии без межузельного ütqmü получили название дефектов Шоттки. Образование дефектов Шоттки возможно во всех кристал­ лических Структурах, в то время как образование дефектов Френ­ келя затруднено, особенно в плотно упакованных структурах. То­ чечные дефекты образуются под действием теплового возбуждения, а также при росте кристалла. Изучение поведения дефектов и их знание позволяет предсказать свойства кристаллов, т. к.;

а) дефекты могут являться источником носителей тока, б) дефекты участвуют в рассеянии носителей тока,

в) дефекты оказывают влияние на оптические, механические, магнитные и другие свойства кристалла.

Дислокации

Рассмотренные дефекты решетки относятся либо к точке крис­ талла, либо группируются в резко локализованной области, обра­ зуя короткие цепочки. Однако помимо этого имеют место такие на­ рушения структуры решетки, которые охватывают значительные об­ ласти кристалла. Такие дефекты решетки называют дислокациями

(рис. 22).

Образование дислокаций происходит в результате действия на кристалл внешней силы (растяжение, сжатие или сдвиг), которая создает упругую или пластическую деформацию. При больших на­ пряжениях кристалл деформируется пластически по механизму скольжения. Скольжение одной области кристалла разделяется границей от той области, в которой сдвиг еще не происходит, это и является причиной возникновения дислокации. Дислокации игра­ ют решающую роль в механической прочности кристалла, в его ро­ сте.

§ 3. Равновесное состояние кристаллической решетки

Тепловые возбуждения в кристалле приводят атомы в колеба­ тельное движение относительно положений равновесия. С ростом температуры амплитуда колебаний возрастает. По мере удаления атома от положения равновесия силы притяжения начинают преоб­ ладать над силами отталкивания и, наоборот, при сближении силы притяжения уменьшаются, а силы отталкивания возрастают.

Если обозначить равновесное расстояние между атомами"через ао, то при удалении атома на расстояние a>aQ, силы притяже­

53

ния начинают преобладать над силами отталкивания и, если а < а 0, то имеет место обратное соотношение. Для а-^со силы связи стремятся к нулю, а при а—^0 силы отталкивания возрастают до бесконечности. Однако при некотором значении «а» суммарные си­ лы притяжения и отталкивания, действующие на каждый атом, уравновешивают друг друга и возникает равновесное состояние системы, определяющее устойчивую структуру кристалла. Энергия решетки в этом случае имеет минимальное значение. Формирование кристаллической структуры происходит при сохранении условия минимума энергии относительно других возможных структур. За­ дача по определению условий минимума энергии для кристалличе­ ских структур вызывает большие трудности.

§ 4. Нормальные колебания решетки

Под влиянием какого-либо воздействия атом выходит из своего равновесного состояния и совершает колебательное движение. А так как в кристалле атомы связаны друг с другом упругими сила­ ми, то колебания одного атома приводят к колебанию соседнего. Таким образом, по всему телу распространяются упругие волны, ох­ ватывающие все частицы кристалла. Такие колебания получили на­ звание нормальных колебаний. Для рассмотрения нормальных ко­ лебаний атомов в кристаллической решетке полезно решить весьма простую задачу. Возьмем однородную упругую струну и будем счи­ тать, что движение каждого из элементов струны может происхо­ дит!.. лишь в направлении ее длины. Очевидно, что в этой струне возникают продольные волны; образование поперечных волн рас­ сматривать пока не будем. Расположим ось х вдоль струны и вы­ берем элементарный участок ее длины Ах; смещение этого элемента из положения равновесия обозначим через и. Тогда величина силы

струне с линейной плотностью ро и упругой постоянной с. Для это­ го определим силу, действующую на элемент струны Ах; на одном

'Po

54

Решение уравнения III—I можно представить видом е,(ѣикх),

Колебания линейной цепочки из одинаковых атомов

Рассмотрим цепочку одинаковых атомов, расположенных на одном и том же расстоянии а друг от друга. Здесь а имеет смысл постоянной решетки (рис. 23). Если длина волны продольных коле­ баний гораздо больше постоянной решетки, то распространение упругих волн вдоль цепочки подобно распространению вдоль одно­ родной упругой струны. При достаточно высоких температурах дви- • жение атомов в кристалле можно описать законами классической механики.

Пусть «„ означает смещение n-го атома из его положения рав­ новесия. Будем учитывать в одномерном случае взаимодействие только ближайших (соседних) атомов, тогда сила Fn, действующая па п-й атом, будет равна

При малых отклонениях атомов от положения равновесия (|ы„|Са) силы взаимодействия будут пропорциональны изменению расстояния между атомами. Такие силы называются квазиупруги­ ми, a ß — коэффициент квазиупругой силы.

Линейную плотность такой цепочки выразим через массу атома

М

и число атомов на единицу длины р = —- , упругая постоянная

c=ßö. Это соотношение легко получается из следующих соображе­ ний. Сила, растягивающая п-атом со стороны (п—1) атома, рав-

на F„, „_і ,= —ß (u„ —un_i) = —ßaf, а из определения с = -^- полу­

55

чаем c=ßa. Однако между распространением волн в непрерывной струне и в дискретной цепочке атомов существуют некоторые осо­ бенности. Одна из них состоит в том, что абсолютная величина волнового вектора k в струне может принимать непрерывные зна­ чения от 0 досо , кроме того, для частоты w значения также не ог­ раничены.

Запишем уравнение III—2 в виде

Отсюда вытекает вывод, что решение III—4 удовлетворяет урав­ нению III—3 для любого п, если частота w связана с волновым чис­ лом k соотношениями дисперсии (III 5). Это первое существенное расхождение с волновым процессом в непрерывной струне, где w линейно зависит от k. Зави­ симость w от k для положи­

ла

тельного sin — показана на

рис. 24.

Максимальная частота, которую могут иметь волны, распространяющиеся в одно­ мерном кристалле, равна

5 6

Эту область знаксний k называют первой зоной Бриллюэна.

Для частот, равных wm решение III—4 будет описывать не бе­ гущую, а стоячую волну: ип - Аеш еіп" =-Aeiwt cos tin.

При малых значениях k, т. е. для длинных волн, можно sin (-^г~)за-

ka

менить через—— и

•“ ( - If - T - '- ß - F * - * * - (П|- 6>

В этом случае частота распространения волн в дискретной це­ почке совпадает с w для однородной струны.

Когда же имеет место дисперсия волн, т. е. частота w зависит от волнового числа k, надо различать фазовую скорость Ѵф, с кото­ рой распространяется фаза волны, и групповую скорость ѵгр, с ко­

ковые волны представляют очень малую долю спектра колебаний в твердом теле.

Колебания и волны в одномерном кристалле, состоящего из атомов двух сортов

Наиболее общим случаем является линейная цепочка атомов, расположенных на одном и том же расстоянии «а» друг от друга, как и прежде, но с двумя чередующимися различными массами М и т. Примером таких решеток могут быть кристаллы Si и Ge, а так­ же ионные кристаллы.

Пусть атомы массы М находятся, в нечетных’узлах решетки, т. е. в узлах с номерами 2п—1, 2n-f 1, и т. д., а атомы массы т — в чет­ ных узлах, т. е. с номерами 2п, 2п + 2... и т. д. Учитывая, как в прежней задаче, взаимодействие лишь ближайших соседей, полу­ чим уравнение движения в виде

mÜ2n --ß (U2n+1 0-2П—1—2U2n)

(H I- 7 )

М W2n+1— ß (u2n+2 “Ь u 2n —2Мг/г+1)

5 7

Решения этих уравнений можно искать в виде колебаний с оди­ наковой частотой и длиной волны, но с разной амплитудой.

Подставляя (III—8) в (III—7), получим два уравнения

— w2mA = ßß {eika+ e~ika) —2ßА

Мы получили систему однородных уравнений относительно не­ известных амплитуд А и В. Очевидно, что она имеет нетривиальное решение лишь в том случае, если детерминант, составленный из ко­ эффициентов при неизвестных А и В, равен нулю:

АО

и при разложении корня (III—1Іа).в ряд получим

Как и в случае одноатомной цепочки имеем для второго корня w пропорциональную зависимость от волнового числа k. Такие ко­ лебания получили название акустических, т. к. они аналогичны длинноволновым колебаниям однородной цепочки. Однако суще­ ствует еще одна ветвь, описываемаяпервым корнем w.(. Как видно из рисунка, она значительно удалена от акустической. При больших значениях k частоты этих ветвей стремятся сблизиться. Соответ­ ствующие колебания называются оптическими. Оптические колеба­ ния можно возбудить излучением, волновые векторы которого малы

по сравнению с предельной величиной , (обычно инфракрасная

область спектра), т. е. чтобы волны, возбуждающие колебания, имели близкие к световым волновые части. Оптическая ветвь ко лебаний может возникнуть и в случае, когда массы атомов одина­ ковы, но расстояние между ними различно.

§ 5. Фононы

Как было ранее отмечено, кристаллическая решетка находится в постоянном движений. Элементарные энергетические возбужде-

58

u>

Рис. 25. Оптическая и акустическая ветви кривой зависимости частоты от волнового числа для линейной цепочки, состоящей из атомов двух сортов.

ния %w нормальных колебаний решетки называются фононами.

При движении электронов проводимости происходит взаимодей­ ствие их с колебаниями решетки и при таких взаимодействиях энер­ гия электрона может изменяться только на величину ±Г>w, а его импульс на величину bk, где k волновой вектор. Следует отметить, что взаимодействовать с электронами и друг с другом могут толь­ ко те нормальные колебания решетки кристалла, которые возбуж­ дены выше ее нулевого энергетического состояния (только эти воз­ буждения и состояния вблизи абсолютного пуля называются фоно­ нами). Представляется естественным рассматривать фононы как квазичастицы, которые могут поглощаться и испускаться при вза­ имодействии с электронами и обладают энергией Е =bw и квази­ импульсом bk. Характер поведения фононов отличен от поведения обычных частиц, поэтому их и называют квазичастицами. Отличие заключается в том, что при взаимодействии с электронами или с друг с другом фононы возникают и исчезают; причем, среднее чис­ ло фононов (их концентрация) зависит от температуры. Для газа обычных частиц (атомов, электронов) V (объем), Т (температура) и N (число частиц) являются независимыми. Так как фононы не обладают спином, то они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, согласно которой в состоянии статистического равновесия в одном квантовом состоянии (в ячейке фазового пространства объемом

59