книги из ГПНТБ / Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие

нения фазовых ячеек тем выше, чем меньшим энергиям эти ячейки соответствуют.

§ 4. Квантовая статистика

Классическая статистика Максвелла-Больцмана имеет дело с частицами, движение которых строго подчиняется законам класси­ ческой механики. Состояние любой такой частицы однозначно оп­ ределяется заданием ее координат х, у, z и составляющих импуль­ са рх, Ру, pz- Как координаты, так и импульсы могут меняться не­ прерывно. Поэтому возможны состояния бесконечно мало отлича­ ющиеся друг от друга координатами, энергиями, импульсами. Эти состояния классическая статистика считает различными.

Свободные электроны, образующие в металлах электронный газ, по своим свойствам отличны от молекул обычного газа. Поэтому и законы статистического распределения этих частиц оказываются также различными. Электронный газ подчиняется квантовой ста­ тистике Ферми-Дирака.

Электроны обладают волновыми свойствами, и их движение описы­ вается волновым уравнением Шредингера. Энерг ия и другие характе­ ристики движения электрона в твердом теле становятся квантованны­ ми. Наличие у электрона волновых свойств исключает возможность

< /i3 (II—3). Так как произведение dxdydzdPxdPydPz представляет собой элемент шестимерного фазового пространства dr, то из соот­ ношения (11—3) следует, что различным элементам фазового про­

что их потенциальная энергия одинакова во всех точках металла, вследствие чего распределение в объеме V является равномерным. В этом случае вместо шестимерного фазового пространства х, у, z, Рх, Ру, Pz пользуются 3-х мерным пространством импульсов Рх, Ру,

Pz И разбивают его на элементарные ячейки размером d x = ~ .

Каждой такой ячейке соответствует отдельное' квантовое состоя­ ние, отличимое от других-состояний. Таким образом, первое отличие квантовой статистики от статистики Максвелла-Больцмана состоит в методе деления фазового пространства на элементарные ячейки.

Второе отличие заключается в том, что в классической статисти­ ке частицы различаются, т. е. перестановка местами частиц, нахо­ дящихся в различных состояниях, дает новое микросостояние си­

стемы; в квантовой статистике существует положение неразличи­ мости частиц.

40

Если уравнению Шредингера удовлетворяет волновая функция

Мяи Я2, Чз — Цn)>

то этому же уравнению будет удовлетворять и функция ф (ф2, Ц\, <7з---

... qy), в которой изменен порядок частиц, т. е. при взаимной пере­ мене координат отдельных частиц не приводит к новому микросо­ стоянию.

Для электронов в статистике Ферми-Дирака необходимо учиты­ вать принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом со­ стоянии не может быть двух электронов в одном и том же состоя­ нии.

§ 5. Функция распределения Ферми-Дирака.

После описанных выше особенностей электронного газа мы мо­ жем приступить к описанию функции распределения электронов по энергиям.

Представим себе кусок металла объемом V, в котором находит­ ся N свободных электронов, образующих электронный газ. Постро­ им пространство импульсов с осями координат Рх, Ру, Рг. Разобъ-

ем это пространство на элементарные ячейки объемом у — . Каж­

дой такой ячейке соответствует определенное квантовое состояние с энергией Е. Функция распределения выражает плотность заполне­ ния этих ячеек электронами. Так, ячейки, для которых )ф = ''І2, за­ полнены в среднем наполовину; ячейки, для которых /ф=1 заполне­ ны целиком. Функция распределения показывает, какую долю об­ щего числа частиц в системе составляют частицы с заданной энер­ гией Е.

Статистический расчет, основанный на учете указанных выше свойств частиц электронного газа, приводит к следующему выраже­

Здесь Е — энергия, соответствующая заполняемой ячейке, k — постоянная Больцмана,

Т— абсолютная температура,

ц— химический потенциал, отнесенный к отдельной частице.

Химический потенциал выражает работу, которая затрачивается

при данных условиях на увеличение числа частиц системы на еди­ ницу и определяется выражением

и _ TS 4- р ѵ

l’- -------J T — ’

где U — внутренняя энергия системы, S — энтропия,

V — объем системы, Р — давление,

N — число частиц в системе:

41

I

При равенстве химических потенциалов какого-либо вещества, находящегося в двух соприкасающихся фазах, устанавливается равновесие, при котором не происходит направленного переноса частиц из одной фазы в другую. ІЗ частности, при равенстве хими­ ческих потенциалов двух соприкасающихся электронных проводни­ ков между ними устанавливается равновесие, при котором потокѵі электронов, идущце от одного проводника в другой, оказываются одинаковыми; р — называют также энергией Ферми.

При Е = р; /ф= ѴгСледовательно, энергии Ферми соответствует квантойые состояния, вероятность заполнения которых равна поло­ вине.

График функции Ферми-Дирака изображен на рис’. 17.

Рис. 17. График функции распределения ФермиДирака для абсолютного нуля и для какой-то достаточно низкой температуры.

§ 6. Понятие о вырождении электронного газа

Рассмотрим функцию распределения Максвелла-Больцмана, ко­ торую можно представить следующим выражением

/ - ’М - Е Н Т - ,1 « " " -

Как видно из этого соотношения, функция распределения f должна непрерывно возрастать с уменьшением Т, при этом следует учесть, что средняя энергия молекулы пропорциональна абсолют­

ной температуре Т ■И | kT .

Это означает, что с понижением температуры скорость и импуль­ сы молекул уменьшаются и фазовые точки, выражающие состояния молекул, стягиваются к началу координат. При абсолютном нуле импульсы молекул обращаются в нуль и фазовые точки сосредота­ чиваются в бесконечно малом объеме, сливающимся с началом ко­ ординат.

42

Для свободных электронов в металле распределение Максвел­ ла-Больцмана заменяется распределением Ферми-Дирака

полностью, и /ф= 1; для £ > р о —/ф = 0, т. е. вероятность заполнения уровней, энергия которых выше ц0, равна нулю (уровни свободны).

С повышением температуры энергия частиц растет и распределе­ ние изменяется — часть состояний с энергией £-<ро оказывается свободной, а с энергией £ > Р о — занятой.

Значение энергии Е, равной энергии Ферми ро, определяет ту максимальную энергию, которую могут иметь свободные элёктроны при абсолютном нуле.

Можно показать, что средняя величина этой энергии равна

£ = 9- ІО-19 дж=ЬДэв. ' '

В классической статистике такой энергией может обладать иде­ альный газ при температуре в несколько десятков тысяч градусов. Столь резкое расхождение в свойствах электронного газа в метал­ лах и идеального молекулярного газа приводит к понятию вырож­ дения электронного газа (не подчиняется классической статистике). При абсолютном нуле электронный газ полностью вырожден. Од­ нако при определенных условиях газ может переходить из вырож­ денного состояния в невырожденное.

Эти условия вытекают из соотношения (II—4), когда экспонен-

43

E —l'O

циалыіый член е kT , стоящий в знаменателе, будет значительно больше 1, тогда распределение Ферми-Дирака переходит в распре­ деление Максвелла-Больцмана и гцз подчиняется классической статистике, как обычный молекулярный газ.

можно определить. Для этого необходимо определить число электро­ нов в единице объема металла, энергия которых лежит в интервале от Е до Е + dE.

Построим в пространстве импульсов две концентрические сфе­ ры с радиусами р и p + dp. Этим сферам соответствуют энергии Е

Поделив правую и левую части этого выражения на объем ме­ талла V, определим число квантовых состояний (число ячеек) в

единице металла, приходящихся на интервал от Е до E + dE: з_ і_

2,т (2m)2 Ег dE

Zo h'i

Число электронов в единице объема металла, энергия которых ле­ жит в интервале от Е до E + dE, получим, умножив число ячеек на

Эта формула выражает закон распределения электронов по энерги­ ям. Таким образом

4 4

Интегрируя последнее выражение по энергиям в пределах от 0 де ос, получим число электронов в единице объема

з_ м *

электронный газ будет вырожденным и применять к нему стати­ стику Максвелла-Больцмана нельзя.

Как видно из соотношение II—9, вырождение в газе наступит тем раньше, чем меньше масса его частиц т, больше концентрация п и ниже температура Т.

Оценим выражения II—8, II—9, для этого примем т = 9-10"31 кг.,

45

дя из этого, можно определить понятие выраждения следующим образом: состояние свободных электронов называется вырожден­ ным, если их энергия не зависит от температуры (или какого-либо другого параметра) и вырождение снимается, если энергия начи­ нает зависеть от температуры (или другого параметра).

§ 7. Распределение для вырожденного газа бозонов

( р а с п р е д е л е н и е Б о з е-Э й и ш т е и н а )

В природе кроме систем частиц электронов, протонов, нейтро­ нов, имеющих полуцелый шин, существуют еще и системы частиц (фононы, фотоны и др.) с целым или нулевым спином.

Первые из них, как известно, описываются распределением Ферми-Дирака, поэтому такие частицы названы фермионами. Для вторых частиц применима статистика Бозе-Энштейна/В статистике Бозе-Эйнштейна частицы считаются неразличимыми и имеют дис­ кретные значения энергии. Функция распределения имеет вид

штейна, называются бозонами; а системы таких частиц можно рас­ сматривать как газ бозонов или бозе-газ.

В отличие от фермионов, бозоны не подчиняются принципу Пау­ ли. Так например, в одном состоянии может быть сколько угодно совершенно одинаковых фотонов. Если фотоны это — квант поля электромагнитного излучения, то фонон это—квант поля колебаний кристаллической решетки. Возбужденное состояние решетки пред­

шая школа», 1969.

I

46

ОСНОВЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава III. ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ И СИЛЫ СВЯЗИ

Все материалы (металлы, полупроводники), с которыми нам придется иметь дело, относятся к кристаллическим телам. Известны и некоторые так называемые аморфные полупроводники (например, сажа и черный селен), которые видимо, обладают известной сте­ пенью «кристалличности», по крайней мере, в атомном масштабе.

t

§ 1. Кристаллическая решетка и силы связи в кристаллах

Кристалл может быть определен как вещество с периодической структурой, обладающей свойствами симметрии. Опишем строение ^ кристалла, 'воспользовавшись понятием о пространственной решет­ ке.

Для этого воспользуемся тремя векторами ах, а2, аз (не лежащи­ ми в одной плоскости), исходящих из одной точки А. Построим век­ тор Т= «!аі -fn2a2 + n3a3, где п\, п2, п3 принимают все положитель­ ные и отрицательные целочисленные значения, тогда создается бе­ сконечная система точек, образующих пространственную решетку, получившей название решетки Бравэ (рис. 19). На этом рисунке показана плоская решетка, определяемая двумя векторами а.\ и а2. Полученная решетка будет обладать периодичностью по трем на­ правлениям. Параллелепипед, построенный на векторах аь а2, а3, называется элементарной или примитивной ячейкой. Для описания кристалла достаточно знать элементарную ячейку, т. е. модули векторов аі, а2, а3 и углы между ними. Путем переноса или повторе­ нием элементарной ячейки можно получить модель всей кристалли­ ческой структуры. Эту операцию перемещения кристалла парал­ лельно самому себе, описываемую вектором 1 = П\&\ + п2а2 + п3аз, бу- дем называть трансляцией.

Элементарная ячейка может иметь различные формы — форму прямоугольного или косоугольного параллелепипеда, куба или приз­ мы. Размер ребра элементарной ячейки вдоль одной из осей назы­ вают постоянной решетки. В общем случае постоянные решетки в различных направлениях будут разными.

47

Рис. 20. Плобкая сложная решетка.

фия. Различные экспериментальные исследования показали, что одноатомный кристалл имеет структуру простой решетки, в узлах которой расположены однородные атомы; двухатомные, трехатом­ ные и четырехатомные кристаллы имеют сложную решетку, состоя­ щую соответственно из двух, трех или четырех вдвинутых друг в друга простых решеток.

Чтобы понять, как атомы удерживаются в кристалле, рассмот­ рим упрощенную картину межатомных сил. При сближении атомов настолько, что происходит взаимное перекрытие электронных обо­ лочек, становятся существенными силы притяжения. Если атомы сближать еще на более близкие расстояния, то начинают преобла­ дать силы отталкивания. Природа этих сил может быть различной.

48

1. Силы Ван-дер-Ваальса

Впервые силы Ван-дер-Ваальса были введены при описании состояния реальных газов путем внесения соответствующих попра­ вок в уравнение Клапейрона для идеального газа PV=RT.

Вуравнении Клапейрона не учитывались силы, действующие между газовыми молекулами, а также их собственный объем Ѵі.

Всвязи с тем, что газы могут конденсироваться в жидкости и в твердом теле, то между молекулами должны действовать силы при­ тяжения. Этот факт был отмечен введением внутреннего давления Рі. Таким образом, учитывая собственный объем молекул и вводя

поправку к внешнему давлению Рі Ван-дер-Ваальс получил урав­ нение для реальных газов

(P + PJ • (V - V J ^ R T o .

В этом соотношении сила притяжения между молекулами вы­ ражена (величиной Р;.

Природа возникновения этих сил следующая. Даже в тех атомах и молекулах, электрический дипольный момент которых в среднем равен нулю, существует некоторый флюктурующий дипольный мо­ мент, связанный с мгновенным положением электрона в атоме При сближении атомов происходит их. поляризация, т. к. внешние электроны сближающихся атомов стремятся отдалиться друг от друга. Согласованное движение электронов приводит к возникнове­ нию силы связи между образовавшимися диполями. Силы такого происхождения имеют чисто квантовый характер и называются дис­ персионными.

Пусть атом 1, обладающий моментом диполя Мь индуцирует в атоме 2, момент М2 = аЕь где Еі — индуцирующая напряженность

диполя Мі, величина которой равна Еі = — ? '3- ,

г — расстояние между атомами, ' а — коэффициент пропорциональности (электронная поляризуе­ мость) .

Энергия взаимодействия для двух диполей, образующих цепоч­

Для беспорядочно ориентированных диполей, получим среднюю

. Как видно, энергия связи пропорциональна среднеквадратично­ му дипольному моменту; обратно пропорциональна шестой степени межатомного расстояния. Указанная зависимость находится в удов­ летворительном соответствии с опытными данными. Силу взаимо- ■действия найдем как первую производную от U