книги из ГПНТБ / Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие

Формула (1—57) показывает, что энергия квантового вибратора меняется прерывно. Энергетический спектр такого вибратора пока­ зан на рис. 11.

§ 9. Атом водорода

Уравнение Шредингера позволяет успешно решить целый ряд важнейших задач, относящихся не только к отдельным микроча­ стицам, но и к строению атомов, а также к теории твердого тела. С помощью этого уравнения рассмотрим вопрос об электронной обо­ лочке атомов.

Начнем с простейшего случая — с атома водорода. Атом водо­ рода состоит из ядра-протона с зарядом Zq = + q и одного электро­ на с зарядом —q. Если принять ядро за центр координатной систе­ мы, то электрическое ноле будет определяться потенциалом U, рав­ ным

U , (1 -5 8 )

где Z — номер элемента в периодической таблице.

Зависимость потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром показана на рис. 12.

30

.Некоторое занимаемое электроном квантовое состояние харак­ теризуется как волновой функцией, так и энергией электрона Е. Значение волновой функции и уровень энергии, соответствующие различным квантовым состоянием, можно найти, решая волновое уравнение Шредингера. Решения этого уравнения удовлетворяют заданным граничным условиям только в том случае, если энергия имеет одно из вполне определенных значений. Это значение Е на­ зывают собственным значением энергии волнового уравнения; вол­ новую функцию, соответствующую такому выбору Е, называют собственным .значением волновой функции.

Таким образом, каждое квантовое состояние электрона харак­ теризуется определенным собственным значением энергии и опреде­ ленным собственным значением волновой функции. Для нахожде­ ния ф и Ь из уравнения (1—59) целесообразно использовать сфери­ ческую систему координат г, Ѳ и q>, т. к. в него входит г.

Для того, чтобы применить метод разделения переменных, при­ мем

При преобразовании (1—59) воспользуемся известным выраже­ нием для V2 в случае сферической системы координат:

В последнем уравнении переменные Ѵ=Ѵ(г) и У—К(Ѳ, ф) раз­ делены. Для того, чтобы (1—64) выполнялось при любых значе­ ниях г, Ö и ф, необходимо, чтобы правая и левая части равнялись некоторой постоянной к —1(1+ 1). Тогда (1—64) распадается на два уравнения

Решение уравнения (1—66) имеет физический смысл только з том случае, если 1—0, 1. 2, ... Поэтому в (1—65) и (1—66) будем полагать, что / принимает указанные значения. Не останавливаясь подробно на уравнении (1—66), отметим лишь, что его решение может быть представлено как

31

Y(Ѳ, ф) = P f 1(cos Ѳ) e*m*.

Вэтом соотношении Ре \пі\— присоединенная функция Лежанд­ ра порядка I и степени т. Величина т может равняться положи­ тельному или отрицательному целому числу со значениями от —I до +1, а также нулю. Перейдем к уравнению (1—65). Рассмотрим случай, когда / = 0, тогда

Для того, чтобы уравнение (1—69) удовлетворялось при любых значениях г, необходимо оба выражения, стоящие в скобках, при­ равнять нулю:

а2 + ^ - Е = 0,

(1 -7 0 )

а mZg2

ѣ2

Подставляя найденное значение а в первое соотношение (1— 70), будем иметь:

Если величина а и Е удовлетворяют соотношениям (1—70), то V(г) является решением исходного уравнения (1—59).

То обстоятельство, что Е выражено через т -q и Ь говорит о том, что энергия имеет фиксированное дискретное значение. Под­ ставляя в (1—71) значения постоянных, получим, что

Из экспериментальных данных, относящихся к. спектроскопии, известно, что для атома водорода энергия £=13,5 эв является энер­ гией ионизации, т. е. энергией, необходимой для отделения невоз­ бужденного электрона от ядра. Уровень энергии, соответствующий

32

невозбужденному состоянию электрона, является основным уров­ нем.

Следовательно, полученное решение V(г) =е~аг, для значений Е и а, найденных из соотношения (1—70), характеризует основное состояние атома водорода.

Определим теперь величину а. Подставляя в (1—70) значения

постоянных, найдем, что— =0,53 • 10~8 см. Наибольшая вероят­

ность нахождения электрона на данном расстоянии от ядра опре­ деляется условием т= ~ . Таким образом, величину-^ =0,53-10~8 см

можно принять за радиус электронной орбиты певозбужденного электрона. Экспериментальные данные находятся в удовлетвори­ тельном соответствии с теорётическим значением. Величину а на­ зывают радиусом первой Боровской орбиты.

Очевидно, что среди решений, обладающих сферической симмет­ рией, т. е. зависящих от г, найденное решение V(г) = е~аі не явля­ ется единственным.

Так например, можно убедиться в том, что решение

пй может принимать значения от нуля до п—1; число т — целое'

ипринимает значения от —/ до -Т/. Спиновое число s принимает

значение либо + -І-, либо — В квантовой системе согласно

принципу запрета Паули не может быть двух электронов, одновре­ менно находящихся в одинаковых квантовых состояниях. Поэтому, если числа п, I, т совпадают, то электроны различаются числом s.

Различные энергетические состояния электрона принято клас­ сифицировать по значению момента количества движения (/).

/ — определяет подуровни, на которые расщепляются энергетиче­ ские уровни атома водорода. Как указывалось, / = 0 соответствует s — состояние. Состояния с моментом количества движения, отлич­ ным от нуля (I ф 0), обозначают следующим образом:

р — состояние для 1= 1; d — состояние для / = 2; / — состояние для 1 = 3.

Энергетические уровни атома водорода зависят только от глав­ ного квантового числа п и не зависят от I и т. Поэтому в общем случае может быть несколько квантовых состояний, соответствую­ щих одному и тому же уровню энергии. Такие состояния, как было уже показано, называются вырожденными.

Кратность вырождения 2 можно определить следующим обра-

лт = *1

З т ч т * О

J /77> -/

1 нч*1

1 т с о

■j т - і

Гис. 13. Вырождение электронных ур.т. и і'і.

Рис. 14. Электронные облака, соответствующие состояниям

S(a), 2Я(в).

Рассмотренная выше формула,Ц—74) для водорода соответствует случаю / = 0 и носит название фврмулы Бальмера.

На рис. 14 наказана типичная волновая функция состояний во­ дородоподобных атомов.

3* 35

ковые твердые схемы», изд-во «Советское радио», 1965.

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§ і. Некоторые понятия о статистике, статистическом методе и термодинамике. Функция распределения

Статистическая физика исследует поведение систем, состоящих из очень большого числа частиц: молекул, атомов, ионов. Рассмот­ рим какую-либо физическую систему, например, некоторое количе­ ство N молекул или ионов газа, заключенных в объеме V. Допус­ тим, что все молекулы или ионы будут находиться в небольшой части всего объема АѴ. Это состояние наблюдается в самый пер­ вый момент, когда газ впускается через небольшое отверстие в од­ ной из стенок. Но через некоторое время молекулы распределятся равномерно по всему объему. Не исключена возможность, что они опять могут «случайно» собраться в этом объеме АѴ, однако при большом числе молекул (N) вероятность (ы) такого «случая» бу­ дет чрезвычайно мала:

ность равномерного распределения по всему объему будет практи­ чески равна единице.

То же самое относится и к распределению моле-кул или ионов газа по скоростям.

Физические закономерности таких систем имеют вероятностный статистический характер. Таким образом, статистическая физика ^имеет дело со статистическими распределениями, определяющими, с какой вероятностью частицы системы имеют тот или иной набор значений параметров, характеризующих их состояние. Методы ста­ тистической физики применяются к исследованию систем, состоя­ щих из огромного числа однотипных частиц. Примером такой сис­ темы является газ, содержащий большое число практически сво­ бодных молекул.

С термоднпам ;чоекой точки зрения состояние газа определяется тремя параметрами — температурой Т, давлением Р, объемом V. Эти параметры связаны между робой, уравнениями состояния. Для идеального газа таким уравнением является уравнение Менделе­ ева-Клапейрона.

36

С микроскопической точки зрения состояние системы известно, если известны положение и движёния всех частиц, входящих в сис­ тему. Зная положения, т. е. набор координат и скоростей gi и Iх; (или составляющих импульса рі) каждой отдельной частицы,в дан­ ный момент, по законам механики можно определить их дальней­ шее движение. Для системы, состоящей из N молекул, необходимо задать 3N координат и 3N составляющих импульса. Таким образом, мы сможем не только определить состояние системы, называемое микросостоянием, но и проследить за изменением этого состояния со временем. Термодинамическое состояние, задаваемое посредст­ вом параметров Т, Р, V, называется макросостоянием системы. Од­ ному макросостоянию системы соответствует огромное число микро­ состояний. Причем микросостояния системы непрерывно меняются, а макросостояние остается практически неизменным. Число микро­ состояний, которым может быть реализовано данное макросостоя­ ние системы, называется термодинамической вероятностью.

Задача физической статистики в первую очередь состоит в опи­ сании равновесного (наивероятнейшего) распределения частиц по скоростям (по импульсам), по энергиям и т. д.

Математически эта задача сводится к нахождению функций рас­ пределения f(p), 1(E) и т. д.; смысл их следующий: произве­ дение f(p) dp выражает число частиц системы, имеющих импульсы

т. д.

Зная функцию распределения, можно вычислить среднее значе­ ние любой физической величины р, относящейся ко всей макроско­ пической системе, например, ее кинетическую энергию, давление, теплопроводность, по формуле

~р = I Р(Р, Я) f (Р< Я) dpdq.

Если величина f(p, q) не зависит явно от времени, то система бу­ дет находиться в статистическом термодинамическом равновесии. Построение функции распределения определяется той моделью сис­ темы, которая принимается для описания того или иного физиче­ ского явления. Так, для идеального газа можно применить распре­ деление Максвелла-Больцмана, для электронного газа в металлах

— распределение Ферми-Дирака и т. д.

§ 2. Функция распределения для невырожденного газа (распределение Максвелла-Больцмана)

В. основе классической статистики идеальногр одноатомного газа, созданной Максвеллом, Больцманом, Гиббсом и др., лежат следующие положения:

1. Идеальный газ состоит из невзаимодействующих между со­ бой частиц (молекул), движущихся по законам классической меха-

37

ники. Энергия этих частиц может меняться непрерывно и прини­ мать любые значения от нуля до оо .

2.Допускается, что все микросостояния системы (все способы распределения) равновероятны.

3.Молекулы различаются, т. е. обладают индивидуальностью.

Например: молекула № 1 в состоянии «а», молекула № 2 в состоя­ нии і«б» определяют микросостояние; молекула № 1 в состоянии «б», молекула № 2 в состоянии «а» определяют второе микросос­ тояние.

Однако и первому и второму микросостоянию соответствует од­ но и то же макросостояние газа.

Рассмотрим молекулярный газ, занимающий при температуре I и давлении Р объем V и содержащий N молекул. Допустим, что этот газ находится в силовом поле (например, в поле сил тяжести).

Полная энергия Е каждой молекулы газа складывается из ки­ нетической энергии W, определяющейся скоростью движения и по­ тенциальной энергии U, зависящей от координат молекулы в про­ странстве.

Построим в точке с координатами х, у, г, взятой внутри объема

где k — постоянная Больцмана,

dN —число частиц, для которых координаты и составляющие им­ пульсов заключены в интервалах.

от X до x + dx, от у до yEdy, от г до z-\-dz, от рх до f)x+ dpx, от ру

до py+dpy, от pz до Pz+ dpz.

38

Отношение dN к величине интервала dx dy dz dpx dpv dpz опре­ деляет плотность заполнения интервала молекулами. Обозначив эту плотность через /, получим из II—1 следующую формулу

-Ж

f= A e

Это и есть распределение Максвелла-Больцмана.

§ 3. Понятие о фазовом пространстве

*

Представления о фазовом пространстве служат отправным пунк­ том для построения классической статистической физики. Под фа­ зовым пространством в статистической физике понимается простран­ ство всех обобщенных импульсов Я, и обобщенных координат qt рассматриваемой системы, определяющих состояние (фазу) систе­ мы. Состояние системы в некоторый момент времени изображается в виде точки в этом пространстве. Если представить себе'мысленно шестимерное пространство с осями координат х, у, г, рх, ру, pz, то произведение dx dy dz dpx dpy dpz будем изображать в этом про­

составляющими импульсами рх, ру, pz называется фазовой точкой. Обозначим элемент фазового пространства через

dN (х, у, z, рх, ру, pz) выражает число фазовых точек, заполня­ ющих элемент фазового пространства dx. Поделив dN на dx, полу­ чим следующее выражение для плотности заполнения фазового пространства точками