книги из ГПНТБ / Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие

ких наиболее низких уровней энергии микрочастицы. Состояние с наименьшей энергией называется основным, все остальные — воз­ бужденными. Расстояние между соседними уровнями равно

3, 4. Из этих рисунков,-видно, что вероятность пребывания микро­ частицы в разных местах отрезка о неодинакова.

Я~- 3

А Д А

Ң 2

Рис. 5. Изменение функции и et зерляі. ,ети |ф |2на длине отрезка «а» при различных значениях п.

С увеличением п число максимумов на кривой распределения вероятностей растет и при большом значении п становится настоль­ ко велико, что вероятность нахождения микрочастицы во всех об­ ластях отрезка и оказывается практически одной и той же, как для классической частицы.

а) Вырожд ение .

Результаты, полученные при решении одномерной задачи, мож­ но обобщить на случай движения микрочастицы в трехмерной пря­ моугольной потенциальной яме, называемой обычно «потенциаль­ ным ящиком».

Формула для энергии частицы и выражение для собственных функций приобретают в этом случае следующий вид:

где аи а2, а3 — размеры «потенциального ящика» в направлениях

\координатных осей;

пI, «2, «з — целые числа.

Для потенциального ящика кубической формы а\--=а2=-аъ = а и формула для энергии будет

Соотношение (1—41) показывает, что данное значение энергии может быть получено прл помощи комбинации различных целых чи­ сел П], п2, п3. Так как каждой тройке таких чисел соответствует оп­ ределенное состояние микрочастицы, описываемое волновой функ­ цией ф и J* „2, „3, то это означает, что одной и той же энергии может

отвечать несколько квантовых состояний с разными волновыми функциями ф П[, П2, пз. Такие состояния называются вырожденными,

а число состояний Z, отвечающее данному уровню энергии, назы­ вается кратностью вырождения.

Следовательно, данному уровню энергии отвечают три различ­ ных состояния, описываемые волновыми функциями фгп, фігь фтыКратность вырождения данного уровня равна трем.

§ 7. Прохождение электрона сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший одномерный случай движения частицы в двух постоянных потенциальных полях, граничащих друг с дру­ гом по лидши х — а, где силовое поле меняется скачком (рис. 6).

В области I, простирающейся от —оо до а, потенциальная энер-

2 і

2A, I

Рис. '6. Положение микрочабтицы виоле 1, граничащим с полем II по х = а (высокий барьер Ц >Е).

Рис. 7. Положение микрочастицы в поле I, разграниченным с

полем II по х —а (низкий барьер U.<E).

. В каждом из полей частица движется как свободная и ее дви­ жение описывается уравнением Шредингера с постоянным для каждого поля значением параметра k. На границе ступени значе­ ние k меняется скачком, что приводит к изменению волновой функ-

22

ции ф(х). Напишем уравнения движения для обоих полей. Для об­ ласти I (рис. 6)

или

Общие решения уравнений (1—42) и (1—44) имеют следующий вид:

пяющейся в области I в направлении оси X.

А і — амплитуда этой волны; слагаемое В (е~1к1Х — соответству­ ет волне, идущей в области I в обратном направлении. Это волна, отраженная от барьера; В t — амплитуда отраженной волны.

Условия непрерывности волновой функции и ее производной

фі (а) =ф* (а) и фф (а) (а)

накладывают ограничения на коэффициенты Л,- п Вг. Эти коэффи­ циенты удовлетворяют соотношениям:

Так как вероятность нахождения электрона в том или ином месте пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля, а в случае комплексных амплитуд — пропорциональна квадрату их модулей, то отношение

представляет собой коэффициент отражения электрона от барьера. Слагаемое А2е ікіХ соответствует волне, распространяющейся в области II в направлении оси X, квадрат амплитуды этой волны

выражает вероятность проникновения микрочастицы в область II. Найдем выражение коэффициента прозрачности для потока час­

тиц, идущего нормально к поверхности раздела.

23

Пусть t)| и t)2 — скорости частиц в средах I и II соответственно; рі и р2 — плотности потоков в обоих средах.

Так как плотности потоков пропорциональны квадратам ампли­ туд волновых функций, то коэффициент прозрачности для воли де Бройля будет

Слагаемое В2-еікіХ в выражении (1—47) должно выражать отраженную волну, распространяющуюся во второй области. Так как такой волны нет, то В2 следует положить равным нулю.

Сумма R + D —1, т. е. она выражает тот факт, что частица, по­ дошедшая к барьеру, либо отразится от него, либо пройдет во вто­ рую область.

Рассмотрим случай, когда E>U (рис. 7).

Волновые числа частиц, в полях I и II соответственно равны

к1 = ^ - У 2 т Щ k2= Ѵ Ъ Ц Ё ^ П ) .

Волновые функции имеют вид:

фі —Äxeik^x-f B\e-ik'x

фг = А 2еікіХ,

и представляют бегущие волны.

Прохождение частицы через ступень сопровождается изменени­ ем длины волны.

Условия непрерывности функции ф(х) и ее производной на гра­ нице ступени дают два уравнения для амплитуд:

24

25

Наличие этой вероятности делает возможным прохождение (просачивание) микрочастицы сквозь барьер конечной толщины. Такое просачивание получило название туннельного эффекта.

В соответствии с (1—52) коэффициент прозрачности такого ба­ рьера должен быть равен:

Таблица 2

Из данной таблицы следует, что барьеры атомных толщин име­ ют достаточно высокую прозрачность.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ЯЩИК КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ

Рассмотрим случай движения электрона в областях I, II и III (рис. 8), когда E>U (слабая связь), т. е. уадбарьерное движение электронов.

Рис. 8. Потенциальный ящик конечной высоты (слабая связь).

Волновые числа частицы имеют следующие значения: для об ластн I, III х ^ О и х > а, 1

V 2т ( £ = 77);

26

до области II

О < X < а,

k . ^ - ^ V 2mË.

Решение задач для потенциальной ямы в случае слабой связи и низкого барьера аналогичны.

В случае E<cU — сильной связи (рис. 9), волновые числа име-

'ют следующие значения: для области I, III

оа

Рис. 9. Потенциальный ящик конечной высоты (сильная связь).

В отличие от случая высокого барьера, для глубокой потенциаль­ ной ямы волновая функция изображается бегущими волнами толь­ ко в области II, тогда как в областях I и III волновая функция изображается экспоненциальными функциями:

ф2 ^ Azeik2x+ B2e -ik2X\ ty3= B se -kx.

§ 8. Линейный гармонический вибратор (осциллятор). Классический вибратор

Атомы в молекулах и кристаллах находятся в связанном состоя­ нии. При смещении атомов из положения равновесия на них дейст­ вуют силы, стремящиеся вернуть их в это положение. При неболь­ ших смещениях х возвращающую силу F можно считать пропор­ циональной смещению:

F (х) = —fx,

27

где / — коэффициент возвращающей силы.

Потенциальная энергия квазиупругого вибратора и==-г>і’х': из­ меняется по параболическому закону (рис. 10).

I, Е 'U

Рис. 10. Энергетический спек і р классическое вибратора.

Рассматриваемая задача является задачей о движении частицы г параболической потенциальной яме. Классическая частица совер­ шает в этом случае гармонические колебания:

28

Подставляя новую переменную в (1—54) и вводя обозначения (1— 55), получим:

Подстановка показывает, что решение этого уравнения можно представить о виде

если U {%) в свою очередь удовлетворяет следующему уравнению

т р - * т г + ( і - 1) £' - ° -

Введем обозначения:-^— 1= 2 п, тогда

U"—21,11' -\-2nU =0.

Е U

Рис. !1. Энергетический спектр квантового гар­ монического вибратора.

29