книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

Опишем подробнее процедуру отыскания периодического реше­ ния ур-иия (3.2). Чтобы избежать громоздких, но несущественных деталей, будем вначале считать, что ур-ния (3.1) и (3.2) —• ска­ лярные и г(р) и А(р) — скалярные функции от р.

Выбрав значения А, и у из соображений, которые будут приве­ дены ниже, вычисляем А(р) по ф-ле (3.17). Очевидно, что А(р) будеть иметь вид:

П

уa-kе—kip

mXp

m—Q

Подставляем (3.21) в (3.2) и после приведения к общему зна­ менателю, получаем

Уравнение (3.22), как указывалось выше, обладает свойством конвергенции, поэтому периодический режим не зависит от началь­ ных условий и последние можно выбрать произвольно. Положим i'(t)= 0 при f< 0 . Точно также будем считать, что u(t) = 0 при /< 0 . Тогда, полагая в (3.22) t = 0, получим

т= 1

Вуравнении (3.23) ф(0) и и(0) — известные величины, таким образом, получено алгебраическое или трансцендентное уравнение. Решая его, находим i'(0). Уравнение (3.23) всегда имеет единст­

Для того чтобы подготовить переход к уравнениям цепей, содер­ жащих несколько нелинейных элементов, рассмотрим внимательнее связь коэффициентов а0 и Ь0 в (3.23) и (3.24) с функцией z(p). На

основе ф-лы (3.17) и выражения (3.21) легко найти, что — = z(l);

ь0

61

ao= M(l); b0 = N(l), где М(р) и N(p) — полиномы числителя и зна­ менателя z(p). Так как мы предполагаем, что z(p) — положитель­

ная вещественная функция, то z ( l ) > 0 , а потому и - ^ > 0 . Кроме

£>о

того, Ь0¥=0, так как z(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости. Таким образом, поделив обе части ур-ний (3.23) и (3.24) на Ьо,

получим соответственно:

z (1) Г (0) + ф[£' (0)] = С0, z (1) V (к) + «р (£' (1)1 = Сь

Здесь С0 и Ci — известные величины.

Переходя к цепи, содержащей несколько нелинейностей, так что ур-ния (3.1) и (3.2) будут уже матричными, совершенно аналогич­

£'(0), i'(k) — неизвестные вектор-функции, ф[£'(0)] и ф[|1'(^)] — нелинейные вектор-функции; С0 и Ct — известные вектор-функции.

Последние выражения представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений, которую можно решить, например, ме­ тодом Ньютона—Рафсона [53]. В нашем случае, когда рассматри­ ваются в основном конвергентные цепи, решение этих уравнений всегда существует, является единственным и метод Ньютона—Раф­ сона сходится к решению при любых начальных условиях итера­ ции. В самом деле, если, например, линейная часть цепи состоит из элементов R, L, С и описывается матрицей z(p), то z(l) можно трактовать как матрицу, описывающую линейную цепь, полученную из исходной заменой каждой индуктивности Li резистором, сопро­ тивление которого численно равно L,-, и каждой емкости Ск — ре­

зистором с сопротивлением — . Тогда z(l) — матрица сопротив-

Ck

лений резистивной цепи и потому обладает свойством положитель­ ной определенности. Так как нелинейные вектор-функции удовлет­ воряют условию (3.6), то это, вместе с положительной определен­ ностью матрицы z(l), обеспечивает во всех случаях сходимость ме­ тода Ньютона—Рафсона к решению [17, 63,. 72].

Если длительность переходного процесса значительно превыша­ ет период внешнего воздействия, го объем вычислений резко воз­ растает, как и в случае применения метода Рунге—'Кутта. Способ ускорения расчета, который заключается в том, что переходный процесс рассчитывают с большим шагом, а затем, вблизи устано­ вившегося режима, шаг резко уменьшают, не может быть применен при использовании методов Рунге—Кутта, так как при большом шаге процесс расчета становится численно неустойчивым [32]. Из­

62

лагаемый метод свободен от этого недостатка и остается устойчи­

Поэтому расчет даже с большим шагом приводит к периодическо­ му решению, которое не очень сильно отличается от точного. Это решение может быть принято в качестве начального для оконча­ тельного расчета с малым шагом. Можно, например, рекомендо­ вать начать расчет при X —0,1 и найти 10 точек периодического ре­ шения. Затем применяя, скажем, линейную интерполяцию, найти между каждой парой исходных точек еще по одной точке с интер­ валом 0,050 и перейти к расчету с 1=0,050, используя полученные 20 точек в качестве значений i'(t—kX) в (3.22) (k= l, 2,..., 20). Если значения i'(t), найденные при А,=0,1 и Л,=0,05, отличаются друг от друга не более чем на заданную величину, то значения i'(t) при л = 0,05 принимаются как окончательные. В противном случае вновь находят линейной интерполяцией еще 20 промежуточных точек и повторяют расчет при /0=0,025 и т. д., пока значения i'(t), найден­ ные при двух последовательных значениях Л,, не будут совпадать с заданной точностью. Тогда окончательными принимаются значения

найденные при наименьшем значении X.

Оценка времени переходного процесса

Так как установившийся режим в излагаемом методе находит­ ся через переходный процесс, то целесообразно оценить время пе­ реходного процесса, а точнее, сравнить его с временем переходного процесса в исходном ур-нии (3.1). Для этого, как показывают тео­ ремы 2.7 и 2.8, достаточно оценить расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней нуля функции А(р). Нули А(р) определяются нулями z(p) на основе преобразования (3.20). Перепишем это пре­ образование в виде

часть (3.25) должна быть по модулю близкой к единице. Это, оче­

3) некоторые .нули функции z(p) имеют по модулю порядок у, однако их вещественные части малы.

63

Рассмотрим эти случаи 'Подробнее.

Таким образом, здесь расстояние нуля от мнимой оси примерно сохраняется тори переводе от г.(р) к А(р).

вещественное число, то z3 будет мало и z2 расположено близко к мнимой оси (напомним, что преобразование (3.25) переводит ле­ вую полуплоскость в левую полуплоскость, поэтому все нули А(р) будут лежать в левой полуплоскости, если этим свойством обла­ дают нули z>(p)). Однако в действительности требуется очень боль­ шое значение z u чтобы удлинение переходного процесса было су­

т=10, что в 10 раз превышает период установившегося режима. Так как на самом деле X обычно имеет еще меньшее значение, чем 0,1, то заметное удлинение .переходного процесса наблюдается лишь в тех редких случаях, когда z(p) имеет нуль, превышающий по модулю в десятки тысяч раз к<нормалыные» значения. При этом «нормальными» будем считать такие значения Z \ , когда мнимая часть Z[ сравнима ПО' абсолютной величине с частотой внешнего

Так как величина — имеет порядок единицы, то Rez2 и Rez. Y

величины одного порядка.

'Все сказанное позволяет сделать вывод о соизмеримости в большинстве случаев времени переходных процессов в ур-ниях (3.1) и (3.2). Поэтому о длительности переходного процесса в ур-нии (3.2) можно судить по расположению нулей г(р).

64

(pifii) и фгО'з.) — вольтамперные характеристики нелинейных, резисторов; ih(t) и uz(t) — эквивалентные источники напряжения, включенные последовательно со­ ответственно с первым и вторым нелинейными резисторами, напряжение источни­ ков определяется по теореме об эквивалентном генераторе:

Так как вольтамперные характеристики нелинейных резисторов являются мо­ нотонно возрастающими, то для того, чтобы рассматриваемая цепь была дисси­ пативной и конвергентной, достаточно покачать, что матрица z(ico )= zT(—ico) яв­ ляется положительно определенной.

Если расчет при численных значениях параметров цепи подтвердил наличие этого свойства, то для нахождения периодического решения ур-ния (3.27) можно применить метод, описанный выше.

П Р И М Е Р 3.3.

Для увеличения запаса устойчивости в схемах усилителей с глубокой обрат­ ной связью применяют нелинейные корректирующие цепи [41].

Одна из схем нелинейного корректора приведена на рис. 3.3а, а на рис. 3.36 изображена вольтамперная характеристика нелинейного элемента.

Далее определяем напряжение ио(1) в точках присоединения нелинейного эле­ мента при обрыве последнего с гем, чтобы свести цепь к двухполюсной по тео­ реме Тевенена: uo(t) =6sin 2л

66

знаменателю и переходим к алгебраическому уравнению с запаздывающим аргу­ ментом:

(0,39у2+ 5,5 у + 25) i(t) + (50—0,78у2)£(/—Я) + + (0,39у2—б,5у+25)£(/—2Х) -Ь(0,78у2+ у +

+50) ф[£(/) ]+■( 100-1,56у2)ф[£ (/—Л)]+

+ (0,78у2—у + 50) ср[/((—2Х)] = (0,78у2+ у +

-h50)6 sin 2лг+ (100— l,56y2)6 sin 2л (/—д) +

+ (0,78у2—у + 50) Gsin 2m(t—2Х).

Из получившегося уравнения, полагая Х=0,1; у =19,336, находим последова­ тельно i(0), i (0, 1), /(0,2),... в соответствии с алгоритмом, описанным в данном параграфе.

Расчеты показали, что удовлетворительная точность получается при Л.=0,025. Значения установившегося тока в различные моменты времени приведены в табл. 3.2.

Связь излагаемого метода с некоторыми численными методами решения уравнений, записанных в форме Коши

Как уже отмечалось выше, метод, излагаемый в данном шараграфе, обладает, в отличие от методов Рунге—Кутта, численной устойчивостью .при любом шаге. Можно обнаружить тесную связь этого метода с друпими 'численными методами, если применить ме-

Таким образом, даже на основной 'гармонике оба выражения отличаются от i2n. Тем самым можно сделать вывод, что при рас­ чете вынужденных периодических режимов из трех рассматривае­ мых методов наибольшую точность дает при одном и том же шаге расчета описанный /в данном параграфе.

■В заключение отметим, что метод аппроксимации линейных операторов позволяет получить бесконечную серию все более точ­ ных, численно устойчивых формул численного интегрирования, -при­ чем две указанные выше формулы из работы {69] будут двумя на­ чальными шагами серии.

Для того чтобы показать это, обозначим

Подставл'яя р = i со, замечаем, что R e^i(i со) =к\ sin2- y ; Re/l2(i со) =

■Четность степеней синусов обеспечивает неотрицательность Rej4i (i со) и Re/l2'(i со), что является необходимым условием чис­ ленной устойчивости методов.. Напрашивающееся обобщение со­ стоит в том, чтобы построить такие операторы Ап(р) (п>2), для

6 cos 2tao + cos ЗХсо).

Отсюда Л3 (р) = — (Ю — 15е Хр + 6е 2Хр-^ е ЗХр).

Полагая А, = 0,1 и р = \2л, лолучи1м Л3(12я) =0,0466+ i 6,82. От­ сюда .видно, что Л3(i 2л) лучше приближается к i 2я, чем вычис­ ленное р.анее значение Л+ i 2л).

Формула численного интегрирования, соответствующая Л3(р), имеет вид

*л+1 = 1>5хп- • 0,6хп_1 "Т 0’l*n-2 "Ь 0.6Я.ДС,п+Г

69