книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

1) упрощается численный расчет вынужденного установивше­ гося режима, так как не нужно задавать область допустимых на­

чальных условий; 2) спроектировав цепь с требуемым вынужденным режимом,

инженер может быть уверен, что именно этот режим установится в- цепи независимо от начальных условий и момента подключения

этой цепи к источнику; 3) цепи, обладающие указанным свойством, более надежны в

эксплуатации, так как не подвержены влиянию возможных кратко­ временных изменений параметров, а также всплесков токов или

напряжений.

Возникает вопрос, существуют ли нелинейные цепи, обладаю­ щие указанным свойством, и если да, то насколько широк класс этих цепей? Во всяком случае желательно, чтобы этим свойством обладали такие устройства, как усилители, функциональные преоб­ разователи, нелинейные корректоры и т. д. В данном параграфе дается ответ на этот вопрос применительно к цепям с нелинейной резистивной частью.

Пусть вновь нелинейная цепь описывается ур-нием (2.1) и пусть i'(i) — вектор-функция токов в цепи при некоторых начальных условиях, заданных в произвольный момент t=to. Если i"(t) — век­ тор-функция токов в той же цепи, но при других начальных усло­ виях при t —to, то указанное выше свойство выражается в том, чтонезависимо от начальных условий и значения to

Следует отметить, что часто в литературе [22, 44] конвергентны­ ми называют цепи, содержащие периодические источники с одина­ ковым периодом, обладающие периодическим режимом и удовлет­ воряющие условию (2.25). Такое определение исключает из рас­ смотрения широкий класс цепей с непериодическими источниками и требует установления факта существования периодического режи­ ма. Эти дополнительные требования не представляются естествен­ ными, если строго следовать смыслу слова конвергентный (сходя­ щийся в одной точке). Кроме того, как будет показано ниже, все конвергентные цепи, изучаемые в данной главе, обладают свойст­ вом конвергенции и в смысле [22, 44].

Критерии конвергентности

Вначале сформулируем и дадим обоснование критериям кон­ вергентности в возможно более общем виде, а затем рассмотрим частные случаи, представляющие практический интерес.

Теорема 2.6.

Пусть исследуемая цепь описывается ур-нием (2.1), в котором: 1) г(р) — матрица п Х п сопротивлений пассивного линейно

многополюсника.

40

Доказательство.

Пусть x(t) = (X[(t), Xz(t),..., xn(t))T — решение ур-ния (2.1) при некоторых начальных условиях при £=0, a y(t) — (y\.(t), yz(t),..., ,..., г/п(0)т — решение того же уравнения при том же внешнем воз­ действии, но при других начальных условиях. Подставив в ур-ние (2.1) вместо i(t) сначала x(t), а затем y(t) и вычтя из первого по­ лучившегося тождества второе, получим

торой внешние источники отсутствуют, линейная часть описывает­

В силу условия четвертого теоремы квадратичная форма (2.28) яв­ ляется положительной. Линейный многополюсник по условию пас­ сивный, поэтому энергия в цепи, описываемой ур-нием (2.27), мо­ жет только рассеиваться. Отсюда уже можно сделать вывод, что все токи стремятся к нулю, т. е. ||x(t)—y(t) ||->0 при £-*-оо. Однако это рассуждение, представляющее типичный пример использования энергетических соображений, нуждается в более строгом обосно­ вании.

Так как x(t) и y(t) — вполне определенные функции времени,

то функции 'Fftifai, х%..., хп, Уи yz,-, У п ) ( к ■£= 1, 2,..., п) также опре-

41

делены в любой момент времени 0. Заменим эти функции в вы­ ражении (2.26) ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями на отрезке времени так, чтобы разность между исходны­ ми и ступенчатыми функциями не превышала по абсолютной вели­ чине е. Если теперь выражение (2.26), но со ступенчатыми функ­ циями, подставить вместо f(x, у) в (2.27), то, в силу непрерывной зависимости решений уравнений от изменения параметров [45], но­ вое решение измененного ур-ния (2.27) будет отличаться от старого (по норме) не более чем на 6(e), причем 6->-0 при е->-0.

Пусть (tij, t2j) — некоторый j-й интервал времени, в течение которого все ступенчатые функции сохраняют постоянные значе­ ния (7=1, 2,...,). Тогда в течение этого времени цепь можно рас­ сматривать как линейную, представляющую соединение многопо­ люсника с матрицей z(p) и линейного безынерционного многопо­ люсника с некоторой матрицей сопротивлений zRy При достаточна малом е zRj, в силу условия 4, является положительно определен­ ной матрицей. Токи в такой цепи вызваны освободившейся энерги­ ей в реактивных элементах многополюсника z(p), накопленной в момент t=tij. Поэтому, если ie (t) — вектор-функция искомых то­ ков, то согласно теореме Тевенена

жений на разомкнутых клеммах многополюсника z(p). В выраже­ нии (2.29), как известно из теории линейных цепей, полюса состав­ ляющих вектор функции L[ie (t)] находятся среди полюсов элемен­ тов матрицы (z(p)+zRj). Так как матрица z(ico)+zT(—ito) — по­ ложительно полуопределенная, a zRi — положительно определен­ ная матрица, то матрица z(ico)+zT(—ico)+2zRi — также положи­ тельно определенная и все элементы матрицы (z(p) + -fZflj)-1 имеют полюса, расположенные строго в левой полуплос­ кости. Элементы матрицы zRj ограничены, в силу условия 3 тео­ ремы, поэтому полюса элементов матрицы (z(p) +zRj)~l отделимы от мнимой оси. Иными словами, расстояние от ближайшего к

остается показать, что коэффициенты числителей дробно-рацио­ нальных функций, являющихся элементами L(ie (t)), не могут не­ ограниченно возрастать, когда / пробегает значения 1, 2,...

Но это действительно так, поскольку коэффициенты элементов матрицы z(p) вообще не зависят от j, элементы матрицы zRj огра­ ничены константами, не зависящими от j, а элементы числителей дробно-рациональных функций матрицы L[ujxx(t)] линейно зависят от начальных условий при t=ti. Запасы же энергии в реактивных

42

элементах цепи при t=<tij не превосходят этих запасов при t = О, по­ этому коэффициенты элементов матрицы L[UjXx(t)] также ограниче­ ны константами, не зависящими от /. Тем самым (2.30) действи­ тельно имеет место. Устремляя е к нулю, получаем требуемое ут­ верждение теоремы.

Из доказанной теоремы вытекают следующие важные следст­ вия.

Следствие 1.

Любая электрическая цепь, состоящая из линейных элементов

.R, L, С, М и и нелинейных резистивных двухполюсников с неубы­ вающими вольтамперными характеристиками uh = fh(iu) (k —\, 2,..., п), при условии, что

является конвергентной. Этот факт установили независимо друг от друга Л. А. Синицкий и Р. Даффин [54, 62].

Из теоремы 2.6 это утверждение вытекает, если учесть, что вы­ ражение (2.26) в рассматриваемом случае принимает вид: fh(Xh) —

—hi(iJh) = (xk—yk) xYh(Xh, iju), RhisC'Yh^Ria, /е=4, 2,..., п

П Р И М Е Р 2.3.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения линейного R, L, С-двухполюсника с сопротивлением г(р), произвольного источника напря­ жения и нелинейного резистора с неубывающей вольтамперной характеристикой. Если условие (2.31) не выполняется, т. е. вольтамперная характеристика содер-

Рис. 2.10. Цепь, содержащая вентиль с идеальной ха­ рактеристикой

.жит вертикальные или горизонтальные участки, то цепь может быть неконвер-

•гектной. Простой пример такой цепи приведен на рис. 2.10а, а на рис. 2.106 изо­ бражена вольтамперная характеристика идеального диода.

причем строгая положительность указанных функций имеет место при всех час­ тотах ш, включая бесконечную точку, то цепь останется конвергентной, даже если допустить наличие вертикальных или горизонтальных участков у нелинейной вольтамперной характеристики. Чтобы показать это, достаточно произвести пре­ образования цепи так, как показано на рис. 2.2.

43

П Р И М Е Р 2.4.

На рис. 2.11 изображена структурная схема нелинейной системы автоматиче­ ского управления при внешнем воздействии f(t). Покажем, как из полученных выше результатов можно вывести критерий абсолютной устойчивости системы, совпадающий с критерием Б. Н. Наумова и Я. 3. Цыпкина [43].

Будем считать, что f(t) — ограниченная функция и что нелинейная функция Е(ст) является дифференцируемой и удовлетворяет следующим неравенствам:

,df(a)

П+е^ —--- <г2—е,

dа

е> 0 — произвольно малое, фиксированное число, r i> 0 . Уравнение системы можно записать в виде

W (р) ° (^ + F (<l) = W (р) f (<)'

Обозначим

F(a) =riO+Fi[a).

В силу приведенного выше неравенства для F(a) имеем

Введем замену переменных

Ft (ст) =(Ti, o=(p(O i).

Очевидно, что ф (cti) — монотонно возрастающая функция и, кроме того.

<7l

Ф (Oi) > ч - т 1 - е

В новых переменных уравнение системы примет вид

плоскости. Тогда, в силу ограниченности функции f(t), будет также ограниченной

1

Ф(CTi) = ------- CTi+<pii(CT,).

r2 — rl

44

W(p)/[l+riW(p)] в левой полуплоскости, позволяет сделать вывод, что функция W ( p W + r tW ( p ) W I ( r * —гО является положительной и вещественной. Но тогда последнее уравнение системы можно трактовать как уравнение цепи, состоящей из последовательного соединения пассивного двухполюсника, нелинейного резис­ тора со строго возрастающей вольтамперной характеристикой и ограниченного источника напряжения. В силу следствия 1 из теоремы 2.6, такая цепь является конвергентной, а в силу теоремы 2.1 и комментариев к ней — также и диссипа­ тивной. Отсюда немедленно следует вывод об абсолютной устойчивости рассмат­ риваемой системы.

Отметим, что аналогичные рассуждения позволяют получить из теорем 2.6 и 1.1 также и критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова для положения равновесия автономных систем {9, 46]. Однако в данной книге, посвященной в первую очередь иссле­ дованию вынужденных режимов, нет возможности подробнее оста­ новиться на этом вопросе.

Следствие 2.

Любой пассивный многополюсник, содержащий элементы R, L, С и зависимые источники и нагруженный на нелинейные резистив­ ные двухполюсники с характеристиками, удовлетворяющими усло­ вию (2.31), является конвергентным при произвольных независи­ мых источниках напряжения и тока, включенных соответственно в произвольные ветви и между произвольными узлами.

Оценка времени переходного процесса в конвергентных цепях

В линейных R, L, С-цепях, как известно, время переходного' процесса можно оценить, если известны комплексные частоты соб­ ственных колебаний цепи. Если рт = —cxm+ia>m — ближайшая к мнимой оси частота собственных колебаний цепи, а т > 0 , то часто в качестве постоянной времени т переходного процесса принимают величину X—lJoLm.

Для нелинейных цепей, в общем случае, получение априорных оценок времени 'переходного процесса представляет собой весьма трудную задачу. Однако для конвергентных цепей можно дать оценки, подобные соответствующим оценкам в линейных цепях. При этом постоянной времени т переходного процесса в нелиней­ ной -конвергентной цепи будем называть такое число, что ||ii(7)—

—te(t) II убывает .не медленнее, чем ехр (—t/т), где iy(t) — реакция цепи при одних, a iz(t) — при других начальных условиях.

45

Внимательное рассмотрение доказательства теоремы 2.6 пока­ зывает, что оно позволяет непосредственно получить требуемые оценки. Поэтому соответствующие теоремы формулируются ниже без доказательства.

Теорема 2.7.

Пусть в цепи, состоящей из последовательного соединения ли­ нейного пассивного двухполюсника z(p), нелинейного резистора и источника напряжения, вольтамперная характеристика нелинейного резистора обладает следующим свойством. При любых х и у

мени т переходного процесса тока в цепи оценивается из выраже­

ния — , где а — расстояние от мнимой оси до ближайшего к

а

мнимой оси нуля функции z(p)+R, когда R пробегает все значения от Ri до Ro.

П Р И М Е Р 2.5.

На рис. 2.12а изображена цепь, содержащая нелинейный резистор с вольтамперной характеристикой, показанной на рис. 2.126. Сопротивление линейной части цепи

Рис. 2.12. Цепь, исследуемая в примере 2.5, и вольтампер­ ная характеристика нелинейного элемента

Корни уравнения z ( p + R ) = 0 равны:

46

Общая теорема для произвольного числа нелинейных резисто­ ров формулируется аналогично.

Теорема 2.8.

Пусть электрическая цепь удовлетворяет всем условиям теоре­ мы 2.6. Тогда, если переходный процесс в цепи рассматривается от­ носительно токов, протекающих в ветвях, соединяющих линейную н нелинейную части цепи, то постоянная времени т переходного

процесса оценивается из выражения: т = — , где а — расстояние

от мнимой оси до ближайшего к ней полюса функций, являющихся элементами матрицы (z(p) +R)~l, причем элементы Rik матрицы R пробегают все допустимые значения Wik (i, k= \, 2,..., п).

2.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В КОНВЕРГЕНТНЫХ ЦЕПЯХ

Существование периодических режимов

В этом параграф^ мы всюду будем считать, что все независи­ мые источники напряжения и тока являются периодическими функ­ циями времени с периодом Т (кратко Т — периодические функции).

Рассмотрим конвергентную цепь, удовлетворяющую всем усло­ виям теоремы 2.6. Пусть, кроме того, линейная часть цепи удов­ летворяет условию 4 теоремы 2.2. Тогда рассматриваемая цепь не только конвергентна, но и диссипативна. В самом деле, из условий 3 и 4 теоремы 2.6 следует, что вектор-функция, описывающая нели­ нейную часть цепи, равномерно аппроксимируется вектор-функция­ ми, описывающими систему кусочно-линейных резистивных много­ полюсников (см. § 1.3). А тогда, в силу теоремы 2.2, цепь диссипа­ тивна.

Теперь из теоремы 2.5 мемедленно следует, что-чз исследуемой це­ пи существует, по крайней мере, один периодический режим. На самом деле, как показано ниже, для диссипативной и конвергент­ ной цепи можно получить значительно более содержательную ин­ формацию о периодических режимах.

Основные свойства периодических режимов в конвергентных цепях

Теорема 2.9.

Пусть конвергентная цепь с Г-периодическими независимыми источниками удовлетворяет всем условиям теоремы 2.6 и, кроме того, ее линейная часть удовлетворяет условию 4 теоремы 2.2.

Тогда:

1)В цепи существует, и притом единственный, периодический режим.

2)Этот режим асимптотически устойчив в целом и его период равен Т.

47

Г ЛАВА Т Р Е Т Ь Я

Расчет вынужденных режимов нелинейных цепей

3.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Вданной главе основное внимание уделяется исследованию пе­ риодических режимов в нелинейных цепях при периодических внешних воздействиях. При этом предполагается, что периодичес­ кий режим в цепи существует, является единственным и асимпто­ тически устойчивым в целом и имеет период, соизмеримый с перио­ дом внешнего воздействия. Таким образом, исследуются в основ­ ном конвергентные цепи, что позволяет применять подходы, исполь­ зование которых в общем случае представляется проблематичным.

Все существующие методы расчета периодических режимов в нелинейных цепях можно разделить на две группы. В первую вхо­ дят методы, основанные на расчете переходного процесса в цепи вплоть до установившегося режима. Достоинством этих методов являются достаточно хорошо отработанные к настоящему времени программы расчета на ЦВМ [32, 53]. Однако часто время переход­ ного процесса в цепях может в десятки и сотни раз превышать дли­ ну периода установившегося режима. В этом случае, если по ус­ ловиям задачи представляет интерес только периодический режим, машинное время используется чрезвычайно нерационально. Други­ ми недостатками методов первой группы являются заметное воз­ растание сложности расчета при увеличении порядка цепи, необхо­ димость представления уравнений цепи в форме Коши и численная неустойчивость при большом шаге расчета.

Ко второй группе относятся методы, позволяющие рассчитать периодический режим, минуя расчет переходного процесса [34, 48, 60]. Не останавливаясь подробно на сравнительной оценке сущест­ вующих методов второй группы, отметим лишь, что эти методы так­ же имеют свои отрицательные стороны. Например, трудно назвать метод, который был бы свободен хотя бы от одного или нескольких из следующих недостатков: не всегда достаточная точность прибли­ женного решения; трудность оценки погрешности; неопределенная или слишком узкая область применения; громоздкость расчетных формул и т. д. Уже сам факт наличия многих методов зачастую является недостатком, так как заставляет инженера решать не­ легкую задачу сравнительной оценки методов. Этой трудности

49