книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

Здесь для квадратных скобок в предпоследнем неравенстве исполь­ зовалось неравенство Буняковского:

Обозначая A=DB2mq; 2а — а и учитывая, что крайнее правое выра­ жение в (2.1,1) в квадратных скобках содержит WLc, получаем из (2.11) неравенство вида (2.5). Нужно только учесть, что ^ ( t ) отно­ сится снова к классу функций у (t), но с удвоенным показателем т. Тем самым лемма полностью доказана.

Доказательство утверждения 1 теоремы

Представив ср(7) в виде (2.3), будем считать, что в цепи содер­ жится нелинейный резистор с кусочно-линейной характеристикой R>(i), а напряжение источника равно u(t) —y(i) (по условиям 2 и 3 теоремы амплитуда этого источника ограничена). Если ток i в цепи известен, то известны и моменты времени tu 12,... перехода ра­ бочей точки с одного линейного участка вольтамперной характери­ стики R(i) на другой. Зафиксировав моменты времени ti, tz,—, бу­ дем рассматривать нашу цепь как линейную с переменным пара­ метром и покажем, что энергия в такой цепи ограничена констан­ той, не зависящей от начальных условий при любых режимах, в том числе и в случае протекания рассматриваемого тока /.

Каждый линейный участок tR(i) опишем с помощью выражения

Т — константа, точное значение которой будет определено ниже. Наконец, рассмотрим третью цепь, описываемую уравнением, являющимся разностью между уравнением первой цепи и уравне­ нием второй цепи. Иными словами, третья цепь отличается от ис­ ходной лишь тем, что имеет нулевые начальные условия и источ­ ник напряжения uz(t) — ui(t)—uz(t). Покажем, что цепь с источни­ ком u-z(t) диссипативна по отношению к энергии, накопленной в ре­

активных элементах.

Так как uz(t)=0 при (2k—[ ) T ^ t ^ 2 k T , k= \, 2,..., то при этих значениях t, в силу леммы 3, полная энергия Wlc(0 удовлетворяет неравенству

WLC(t)^ W LC[(2k— \)T]Ay[t — (2k— 1)Г]е-а ['~ <2*-1)7-]. . (2.12)

30

При этом следует только иметь в виду, что величины Л, у и а зависят от сопротивления R(t) линейного резистора и поэтому предполагается, что в (2Л2) уже выбраны фиксированные зна­ чения Л, у и а, соответствующие наибольшей правой части (2Л2).

Если 2k T ^ . t ^ . (2k+ 1) 7 (£ = 0, 1,...) то, в силу леммы 1,

Отсюда

IElc(2kT) < 4Wlc [(2k — 2) 7] А у (7) e^ 7 4- a,TA у (7) e~aT.

Выберем T настолько большим, чтобы выполнялись неравенства

WLC(2kT) <iR, где Я не зависит от TFi,c(0)_. В силу леммы 1, отсюда

следует, что при любом t lim WLC(t) ^ R , где R снова не зависит

/—►со

от начальных условий.

Совершенно аналогично доказывается диссипативность по от­ ношению к энергии в реактивных элементах и для третьей цепи с источником u3(t). Тем самым обе эти цепи диссипативны и по от­ ношению к напряжениям на емкостях и токам в индуктивностях. Но так как в исходной цепи с источником u\(t) напряжения и токи представляют собой суммы соответствующих напряжений и токов второй и третьей цепей, то исходная цепь также диссипативна по отношению к напряжению на емкостях и токам в индуктивностях и утверждение первой теоремы доказано.

Доказательство утверждения 2 теоремы

В любой момент времени t j < t < t j+l цепь с источником ui(t) можно рассматривать как линейную с постоянными параметрами. Ток i(t) в этой цепи складывается из реакции ii(t) цепи на нену­ левые условия при t=tj и реакции h(i) на напряжение источника

•Щ(0- Первое слагаемое при достаточно большом / не зависит от WLC(0) в силу того, что запасы энергии во всех реактивных эле-

ЗИ

ментах при достаточно большом t ограничены числом, не завися­ щим от W'.lc(O). Второе слагаемое в операторной форме равно

h{p) = U1(p) — —■- ■ ; R = R(()> 0 при t j < t < t

z (р) R

Отсюда

i

U(t) — J iii(t — x) h (т) о! т; h (т)— импульсная характеристика цепи,

о

Так как все полюса функции---- — лежат строго в левой полупло-

z(p)+R

скости, то интеграл в (2.17) ограничен. Теорема полностью дока­ зана.

Рассмотрим теперь общий случай, когда к линейному многопо­ люснику, описываемому матрицей z(p), присоединены нелинейные резистивные многополюсники.

Теорема 2.2.

Пусть в ур-нии (2.1):

1) z(p) — матрица пХп сопротивлений пассивного линейного многополюсника, содержащего элементы R, L, С и зависимые источ­ ники, причем матрица z(ico) + zT(—ico) — строго положительно определенная при всех со, включая бесконечную точку.

2)Вектор-функция ср(7) может быть представлена в виде

ф(0 = R (0 + v (О,

гдeR(i) — вектор-функция, описывающая вольтамперную характе­ ристику системы пассивных кусочно-линейных резистивных много­ полюсников (см. § 1.3);

4) Линейный многополюсник, описываемый матрицей z(p), об­ ладает тем свойством, что при размыкании (закорачивании) всех его внешних клемм сопротивление (проводимость) полученной це­ пи относительно точек присоединения (обрыва) ветви, содержащей любую из емкостей (индуктивностей), не имеет полюсов на мни­ мой оси.

Тогда 1) Полная энергия, накопленная во всех емкостях и индуктив­

ностях цепи, удовлетворяет неравенству lim W(t)<zWo, где Wo —

/-*■оо

константа, не зависящая ни от начальных условий при t = t o , ни от /0. ___

2) limlliCO 11<7о, где /0 — константа, также не зависящая ни От to, ни от начальных условий.

32

Как уже отмечалось выше, доказательство этой теоремы отли­ чается от доказательства теоремы 2.1 лишь усложнением в деталях и поэтому здесь не приводится.

ПРИМЕР 2.1

1) На рис. 2.3 изображена цепь, которая не является диссипативной по от ношению к энергии, накопленной в реактивных элементах, так как в последова­ тельно включенных колебательных контурах могут иметь место незатухающие

LtC, L2Cz

синусоидальные колебания с произвольной амплитудой, находящиеся в проти­

удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2, кроме условия вещественной части, сформулированного в п. 1 теоремы. В данном случае, так как матрица z(p) сим­ метрична, это условие сводится к требованию, чтобы матрица, составленная из вещественных частей элементов матрицы z(ico), была строго положительно оп­ ределенной. Нетрудно проверить, что это условие не выполняется при и-э-оо, где указанная матрица становится положительно полуопределенной. Однако, как следует из доказательства теоремы 2.1, требование строгой полг .сительностн указанной матрицы необходимо лишь в том случае, если ломаная л дня, аппрок­ симирующая вольтамперную характеристику нелинейного элемента, имеет гори-

зонтальные или вертикальные участки. Так как в нашем случае таких участков нет, то заключаем, что цепь, изображенная на рис. 2.5, является диссипативнои.

На рис. 2.6а приведена цепь, содержащая транзисторы, работающие в нели­ нейном режиме, а на рис. 2.66 — та же цепь с заменой транзисторов нелинейной моделью Эберса—Молла [53].

Рис. 2.6. Цепь с нелинейными транзисторами и ее экви­ валентная схема

Для исследования диссипативности такой цепи можно отнести зависимые ис­ точники к линейной части цепи и рассматривать всю цепь состоящей из диодов и линейного многополюсника, отмеченного иа рис. 2.66 пунктирным прямоугольни­ ком. Так как диоды имеют возрастающие характеристики, то для анализа дис­ сипативности достаточно проверить, удовлетворяет ли матрица z(p) указанного линейного многополюсника условиям теоремы 2.2.

Оценка амплитуды колебаний в диссипативных цепях

Доказательство теоремы 2.1 носит конструктивный характер и позволяет получить конкретные оценки для амплитуды энергии, на­ пряжений на емкостях и токов в индуктивностях исследуемой це­ пи. Конечно, эти оценки могут в несколько раз отличаться от истин­ ных значений, однако часто бывает важным получить предвари­ тельную информацию хотя бы о порядке величин. Например, при

34

fy;

Рис. 2.5. Иллюстрация к определению входных и передаточных функций в цепи рис. 2.7

Теорема 2.3.

Пусть для цепи, изображенной на рис. 2.7, имеют место следую­ щие условия:

1) Полюса zCj(p) при Rj= оо и полюса Уы(р) при Rj=Q лежат

где |v(7) | ^ U i , Ui не зависит от i, a R(i) — кусочно-линейная, мо­ нотонно возрастающая, непрерывная функция с конечным числом п линейных звеньев, описываемых выражением

Доказательство

Предположим, как и при доказательстве теоремы 2.1, что нели­

напряжения и нового резистора, причем напряжение источника и сопротивление резистора являются ступенчатыми функциями вре­ мени и принимают соответственно значения, ui, uz,..., ип, Ru Rz. -: Rn. Объединяя все источники в один, получим, что амплитуда результирующего источника удовлетворяет неравенству тах |и (7)—

—v(i)—Ujl^Ui+Uz+U, где 17=maxUj. i

Для получившейся цепи из доказательства леммы 1 теоремы 2.1 следует, что коэффициент ai равен

ах = (Ux +U, + иг p]=minR,.

Р" /

Будем считать, что в цепях рис. 2.8 величина Rj совпадает с одной из величин Rh (&=1, 2,..., п) в (2.20).

Находя в общем виде оригиналы выражений в (2.18), получаем выражение для коэффициента Вт в лемме 3 теоремы 2.1:

36

Потребуем, например, выполнения неравенства <7<0Д Тогда, в си­

один нелинейный резистор и произвольное число реактивных эле­ ментов, внешний вид оценки (2.21) сохранится. Разница будет лишь в определении коэффициентов а и В-m, так как число и поря­ док функций вида (2.18) увеличатся.

Так как полученные оценки не зависят от формы внешнего воз­ действия, а зависят лишь от амплитуды, то они могут быть, в част­ ности, применены при расчете уровня шумов в нелинейных систе­ мах.

Если ограничиться более узким классом рассматриваемых це­ пей и интересоваться лишь амплитудой тока через нелинейный ре­ зистор, то можно получить значительно более простые оценки. Так, например, имеет место следующая теорема.

Теорема 2.4.

Пусть для цепи, состоящей из последовательного соединения произвольного R, L, С-двухполюсника с сопротивлением z(p), ис­

где h(t) = L~l ^ ^ j, L-1— обратный оператор Лапласа.

Таким образом, для оценки тока i(t) необходимо иметь инфор­ мацию об импульсной характеристике линейной цепи.

Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что функ­ ция z(p)+<R имеет все нули строго в левой полуплоскости (см. до-

37

казательство леммы 2 теоремы 2.1), поэтому h(t) убывает не мед­ леннее экспоненты и интеграл в (2.24) сходится.

Доказательство

Будем рассматривать цепь как линейную, состоящую из после­

нули строго в левой полуплоскости, то при t-*-оо ток в цепи не за­ висит от начальных условий и мы можем считать, что начальные

условия нулевые.

оо

Тогда ток определяется по формуле свертки: i(t)=\о m(t—т) X

Xh(%)d%, где ui(t) =u(t)—v[i(t)], h(t) — импульсная характеристи­

медленно влечет за собой (2.24). Теорема доказана.

Важность доказанной теоремы — не только в простоте оценок. Очень часто характеристики нелинейных резисторов заданы не во всем диапазоне —оо<о'<°о, а на конечном участке, определяемом из физических соображений. При построении моделей цепей ука­ занную характеристику вне пределов участка можно задать про­ извольным образом. Поэтому можно выбрать продолжение харак­ теристики так, чтобы было выполнено условие (2.23). Отсюда вид­ но. что класс цепей, удовлетворяющих условиям теоремы 2.4, весь­ ма широк.

Пример 2.2.

На рис. 2.9а изображена цепь, содержащая нелинейный резистор. Вольтамперная характеристика нелинейного резистора совпадает со сплошной линией на рис. 2.9б.

38

каких-либо дополнительных сведений удалось получить следующую, очень завы­

уменьшению интеграла в (2.24). В результате получается еще более точная оцен­ ка для i, которую вновь можно использовать как исходную и т. д.

В заключение отметим, что теорема, подобная теореме 2.4, мо­ жет быть сформулирована и доказана и для того случая, когда в дели содержится несколько нелинейных резисторов.

О периодических режимах в диссипативных цепях

Свойство диссипативности электрических цепей позволяет полу­ чить определенную информацию о периодических режимах в цепи.

■имеет место хотя бы один периодический режим. Доказательство этой теоремы дано в [44] и здесь не приводится.

Хотя сама по себе теорема 2.5 еще не дает какой-либо инфор­ мации о характере и числе периодических режимов, однако эти сведения можно получить, если наложить на диссипативные цепи некоторые дополнительные условия. Так, в § 2.3 приводятся усло­ вия, позволяющие определить период, а также доказать существо­

вание, единственность и устойчивость периодического режима в цепях.

2.2.КОНВЕРГЕНТНОСТЬ

Определение

Важным свойством линейных R, L, С-цепей является то, что вы­ нужденный режим их работы не зависит от начальных условий. С

инженерной точки зрения это свойство полезно по следующим при­ чинам:

39