книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

то ср(7) можно представить в виде y(i) =R+<pi(i), где cpi(t) остает­ ся вольтамперной характеристикой пассивного двухполюсника. Тогда постоянный резистор с сопротивлением R можно отнести к линейной части цепи, что позволит, как уже говорилось в преды­ дущем параграфе, оценить величину а в (1.27).

Переходя к многомерному случаю, рассмотрим нелинейную часть схемы, изображенной на рис. 1.2. Вольтамперные характе­ ристики заданы ур-ниями (1.10).

Рассматриваемый нелинейный многополюсник будем называть пассивным, если для вектор-функции <p(”i) = ('фь срг,..., фп)т. опреде­ ленной в ( 1.10), имеет место следующее неравенство:

всем своим аргументам ii, iz,—, in, то можно показать, что необхо­ димым условием выполнения (1.42) является положительная полуопределенность при любых t'i, iz,—, in матрицы

(1.44)

i=i k=\

Квадратичная форма в левой части (1.44) будет неотрицательной, если матрица (1.43) является положительно полуопределенной.

Иногда правая (нелинейная) часть схемы внутри правого пря­ моугольника на рис. 1.2 состоит из отдельных подсхем, не связан­ ных между собой. Тогда схему, удовлетворяющую условию (1.42),

целесообразнее называть системой пассивных нелинейных много­ полюсников. В дальнейшем мы иногда будем пользоваться этим

120

термином. Важным является тот случай, когда каждый многопо­ люсник системы вырождается в двухполюсник, так что нелинейная подсхема имеет вид, показанный на рис. 1.4. В этом случае каждая, функция ф/г (ii, In) зависит только от k, т. е. превращается в функцию фk(ik) и необходимым и достаточным условием выпол­ нения неравенства (1.42) будет требование неубывания каждой из-- вольтамперных характеристик q>k(ih) (k —l, 2,..., п).

Как уже говорилось, ряд результатов книги относится к це­ пям, характеристики нелинейной части которых в явном виде зави­ сят от времени. В этом случае определение системы пассивных не­ линейных многополюсников сохраняется, только в левой части не­ равенства (1.42) функции фь должны еще явно зависеть от времени.

Назовем нелинейную резистивную цепь системой кусочно-линей­ ных пассивных многополюсников, если имеет место (1.42) и

фь в левой части (1.42) кусочно-дифференцируемы по всем аргу-

дер*

ментам, а все производные —1— являются кусочно-постоянными. dij

Геометрически последняя часть данного определения означает,, что гиперповерхность, описываемая в /г-мерном пространстве функ­ цией фй (ii, iz,---, in) (k—l, 2,..., n), является многогранником. В од­ номерном случае функция ф(Т) должна быть ломаной линией, не­ содержащей линейных звеньев с отрицательным наклоном.

Некоторые энергетические свойства нелинейных цепей

Энергетические свойства цепей прямо или косвенно использу­ ются на протяжении всей книги. Ниже формулируется и доказы­ вается одно довольно общее свойство, позволяющее оценить вели­ чину энергии, потребляемой нелинейной цепью.

Теорема 1.1.

Пусть имеется цепь, содержащая последовательно соединенны­ ми линейный Я, L, С, М двухполюсник с сопротивлением z(p), не­ линейный резистор с вольтамперной характеристикой ф(i), линей­ ный резистор с сопротивлением Я и источник напряжения u(t)r причем:

1)ф(0) =0; k p (i)^ 0 .

2)z(p) есть положительная вещественная функция.

3)| u(t) | ^ t/=comst.

4)Полная энергия, накопленная во всех реактивных элементах

кмоменту t —0, равна W0.

Тогда энергия W(t), отданная в цепь источником напряжения к произвольному моменту £>i0, удовлетворяет неравенству

Прежде чем доказывать теорему, отметим, что она, в частности, охватывает своими условиями цепи, содержащие нелинейные рези­ сторы с неубывающими характеристиками, т. е. по данному выше

21

определению — пассивные двухполюсники. В самом деле, если ср(i) — такая характеристика, то ее можно представить в виде

Здесь ф!(i) — неубывающая функция, график которой проходит че­ рез начало координат и потому целиком находится в первом и третьем квадрантах. Следовательно, i<pi(i)^0 и функция фДО удовлетворяет условию первой теоремы. Постоянную величину ■ф(0) в (1.46) можно трактовать как величину постоянного напря­ жения источника и объединить этот источник с u(t), что лишь из­ менит константу в условии третьем теоремы. Поэтому все условия теоремы сохраняются.

.Доказательство.

Для рассматриваемой цепи по второму закону Кирхгофа

энергию на клеммах двухполюсника z(p). Так как z ( p ) — положи­ тельная вещественная функция, двухполюсник — пассивный и по­ тому энергия на его клеммах либо положительна, либо если отри­

оо

Применим клевой части (1.51) неравенство Буняковского:

22

Г Л А В А

ВТОР А :я

Качественные вопросы теории нелинейных цепей

2.1. ДИССИПАТИВНОСТЬ

Определение

Пусть электрическая цепь описывается уравнением

■Символом i(t, t0) обозначим вектор-функцию^^, являющуюся ре­

Рассматриваемая цепь называется диссипативной; или обладающей D -свойством, если при любом U и любых начальных условиях су­ ществует число / > 0, не зависящее от t0 и начальных условий, и такое, что [22]

Другими словами, каковы бы ни были начальные условия в цепи,

висящей от to и начальных условий.

Отметим, что данное определение диссипативности требует огра­ ниченности лишь выделенных реакций i(t), в то время как осталь­ ные токи и напряжения в цепи могут и не удовлетворять (2.2). Ha- т.ример, цепь может содержать контуры, составленные лишь из ин­ дуктивностей, где может циркулировать постоянный ток произволь­ ной величины.

Иногда диссипативность определяют по отношению к напряже­ ниям на емкостях и токам индуктивностей. Приводимые ниже тео­ ремы выделяют классы цепей, для которых имеет место диссипативность в том и другом смысле.

Установление D-свойства для возможно более широкого класса цепей полезно, по крайней мере, по трем причинам.

1) При расчете диссипативной цепи с помощью ЦВМ не возни­ кает дополнительных трудностей, связанных с неограниченным ростом амплитуды решения.

2) Доказательство диссипативности часто можно провести эф­ фективно, т. е. получить константу I в (2.2) в явном виде. Тем са­

24

мым мы получаем оценку сверху амплитуды вынужденных коле­ баний, а также информацию о том, в какой области следует зада­ вать начальные условия для численного расчета установившегося-

режима.

3) Наличие D-свойства позволяет в ряде случаев получить ин­ формацию о существовании и количестве периодических режимов, в цепи при периодических воздействиях [44].

Критерии диссипативности

Ниже даются критерии диссипативности, охватывающие элект­ рические цепи весьма общего вида. Для простоты вначале форму­ лируется и доказывается критерий диссипативности цепи, содержа­ щей в своей нелинейной части лишь один резистивный двухполюс­ ник. Затем формулируется теорема для общего случая нелинейного' резистивного многополюсника. Доказательство общего случая, ес­ ли не считать усложнения в деталях, вполне аналогично предыду­ щему и поэтому опускается.

Теорема 2.1.

Пусть в ур-нии (2.1)

1)z(p) — сопротивление линейного R, L, С-двухполюсника;

2)Вольтамперная характеристика ф(i) может быть представ^

лена в виде

клемм сопротивление полученной цепи относительно точек присое­ динения каждой из емкостей цепи не имеет полюсов на мнимой оси;, точно так же, при замыкании внешних клемм линейного двухпо­ люсника, проводимость полученной цепи, вычисленная относитель­

Wo — константа, не зависящая ни от начальных условий, заданных в момент_/ = /0, ни от t0.

2) lim|i(7) | </о, где /0 — константа,, также не зависящая ни o r

СО

to, ни от начальных условий.

25.

Предпошлем доказательству теоремы некоторые комментарии. Условие 2 теоремы предполагает, что вольт-амперная характе­ ристика нелинейного резистора <q>(i) может быть неоднозначной, а также иметь падающие участки. На рис. 2.1а показана допустимая

Рис. 2.1. Вольтамперная характеристика, удовлетворяю­ щая условиям теоремы 2.1 (а) и не удовлетворяющая этим условиям (б)

■форма кривой ср(i) и ее аппроксимация кривой R(i), а на рис. 2.16 — недопустимая форма кривой q(i).

Может показаться, что условия (2.3) и (2.4) исключают из рас­ смотрения функции ср(i). асимптотически приближающиеся к го­ ризонтальной или вертикальной прямой. Однако и эти функции бу­ дут обеспечивать диссипативность цепи, если к z(p) предъявить до­ полнительные требования, а именно:

Kez(ico) 5ег > 0 при всех со, Re— -— > g > О при всех со.

г(i со)

Всамом деле, в этом случае найдутся такие положительные чис­ ла гх и gi, что

^(р) = ri + zt (р); ——- = gi + уI (р),

гс (р)

где у\(р) — положительная вещественная функция. Поэтому двух-

.Рис. 2.2. Преобразование линейного двухполюсника (а); преобразование всей це­ пи с целью исключения горизонтальных и вертикальных участков нелинейной ха­ рактеристики (б)

полюсник z(p) можно представить в виде, показанном на рис. 2.2а, а всю исследуемую цепь подвергнуть преобразованию, приведенно­ му на рис. 2.26. Резистивный двухполюсник, отмеченный на рис.

J26

2.26 пунктиром, будет уже иметь вольтамперную характеристику без горизонтальных и вертикальных участков.

Из условия 4 следует, в частности, что рассматриваемая цепь недолжна содержать контуров, составленных из одних индуктивнос­ тей, и сечений из одних емкостей.

Утверждение первое теоремы влечет за собой диесипативносгь. цепи относительно напряжений на емкостях и токов в индуктивнос­

тях.

Можно показать, что при доказательстве утверждения второготеоремы условие 4 можно отбросить. Невыполнение условия 4 иногда приводит к тому, что в некоторых реактивных элементах может быть накоплена сколь угодно большая энергия. Например,, две последовательные емкости могут быть заряжены до сколь угод­ но больших напряжений противоположного знака (см. также при­ мер 2.1). Однако это не будет влиять на выходные реакции i(t). Строгое доказательство этого факта довольно громоздко и потому не приводится.

Для доказательства теоремы 2.1 потребуется несколько лемм. Доказательство приводится полностью, так как, во-первых, оноиллюстрирует одну из основных идей данной книги — идею теоре­ тико-целевого подхода к решению качественных задач и, во-вторых,., является конструктивным. Последнее обстоятельство дает возмож­ ность получить эффективные оценки для амплитуды колебаний в- диссипативных цепях.

ком напряжения u(t) в произвольный момент времени t> 0, удов­

марная начальная энергия во всех реактивных элементах цепи. Доказательство этой леммы приведено в § 1.3.

Л е м м а 2.

Если линейный двухполюсник, входящий в цепь, нагрузить на" произвольный линейный резистор с сопротивлением то сопро­ тивление цепи, измеренное относительно точек присоединения лю­ бой из емкостей, имеет все полюса строго в левой полуплоскости. Аналогично проводимость цепи, измеренная в точках обрыва любой-

ветви, содержащей индуктивность, также имеет все полюса в левой полуплоскости.

Доказательство.

Рассмотрим линейную часть цепи как четырехполюсник, у кото­ рого входная пара клемм — это точки присоединения какой-либо- емкости цепи Си, а выходная пара клемм — точки присоединения резистора R. Пусть i, k= \, 2 — матрица г этого четырехпо­ люсника. Тогда его входное сопротивление равно:

2вх [Р) — 2 ц (р ) — Zi2 (р) Z21 (р)

г22 (р) + R

2Г

‘Функция zu(p) не имеет полюсов на мнимой оси согласно условию четвертому теоремы, поэтому таких полюсов не имеет и функция ■Zzi(p)- Полюса Z\z(p) сокращаются с полюсами Z2z(p)- Остается по­ казать, что нули функции Zn(p)+R не могут быть мнимыми. Пред­ положим противное и пусть р = 'т0 — нуль функции Zz2.(p)+R- Тог­ да Rez22(ico0) +R = 0. Так как R > 0, то Re^fkoo.)< 0 , что невоз­ можно в силу того, что Z2z(p) — положительная вещественная функция. Доказательство для индуктивностей совершенно анало­ гично.

Л е м м а 3.

Если, как и в лемме 2, рассмотреть отдельно линейный двухпо­ люсник, входящий в цепь, и нагрузить его в момент t = 0 на линей­

; /1> 0, т > 0, а > 0 — константы, не зависящие от

ARl c (O ).

Доказательство.

Пронумеруем все емкости и индуктивности цепи следующим об­ разом: Си С2,..., Ср, JLp+u Ьр+2,..., Lq. Пусть при t — О емкость Ch бы­ ла заряжена до напряжения U0k (k—\, 2,..., р), а через индуктив­

где ucui(t) — напряжение на емкости Си, вызванное разрядом ем­ кости Ci при нулевых начальных условиях в остальных емкостях и индуктивностях; uLuj — напряжение на емкости Си, вызванное осво­ бождением энергии индуктивности Lp+j при нулевых начальных условиях в остальных реактивных элементах.

Аналогично полный ток в индуктивности Lp+i при /> 0 равен

Uckl(t) И Uouj(t).

Найдем величину напряжения Ucuk(t). Очевидно, что изображе­ ние Ucuu(t) по Лапласу равно UCuk(p) = CuU0uZu(p), где zh(p) —

сопротивление цепи относительно точек присоединения емкости Си.

28

Так как в силу леммы 2, zk(p) не имеет полюсов на мнимой оси, то u-chh(t) равно:

y(t) — функция, определенная в условии леммы, причем в данном случае берем т — п.

Аналогично показывается, что оценка вида (2.9) имеет'место и для всех остальных составляющих правых частей (2.6) и (2.7). Разница лишь в том, что если оценивается напряжение или ток с индексом Cklt то в правой части (2.9) вместо CkUон следует напи­ сать CiUoh, а если индекс Lij, то вместо ChUok следует написать Lp+jloj. Кроме'того, коэффициенты В в (2.9) для каждого иСм, ииц, ten, i-uj имеют свое значение. Обозначим через В'т наиболь­ шее значение коэффициентов В во всех оценках напряжений и то­ ков. Тогда получаем следующие оценки для полных напряжений на емкостях и токов в индуктивностях:

р

k b i < 2 K « w I + 2 I‘W ()I'£

/= i

рq - p

(2. 10)

Рq—p

| i (t) | < Bmу (t) e~at ^ CiU<h + Ц V / /o/

i

Отсюда оцениваем энергию

< D B l f ( t ) e - 2atX

(2. 11)

29