книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

полупроводникового усилителя и т. д. Предположим, что этот двухполюсник ра­ ботает в схеме, изображенной на рис. 5.36.

Для того чтобы можно было применить полученные выше результаты, необ­ ходимо изобразить цепь рис. 5.36 в таком виде, чтобы линейная часть цепи пред­ ставляла собой четырехполюсник, у которого существует матрица у. Для этого

можно применить следующий искусственный прием. Представим нелинейную емкость в виде последовательного соединения некоторой постоянной емкости С и оставшейся нелинейной емкости, которая, очевидно, уже будет иметь вольтку-

лоновую характеристику U ic ( q ) = u c (q)——^rq. Тогда цепь рис. 5.36 можно изо­

бразить так, как показано на рис. 5.4, где пунктиром отмечен линейный четырех­ полюсник.

Составим уравнения для цепи рис. 5.4

yn(p)ui(t)+yi2(p)u2(t)+p<p(uO = 0 1

Здесь <f(ui) — функция, являющаяся обращением функции utc(q) (предполага­ ется, что такое обращение существует).

После деления первого из ур-ний (5.11) на р, получим

11

“yn (p )U i(t)+ — yu (p)u i (t)+<p(ul)=Q,

Уравнения (5.12) можно трактовать как уравнения цепи, содержащей два не­ линейных резистора с ампервольтовыми характеристиками (p(Ui) и f(uг) и ли­ нейным четырехполюсником, матрица у' которого равна

—1/п (Р) — "12 (Р)

Построить линейный четырехполюсник с матрицей у' можно, введя зависимые источники тока, тогда полная цепь, описываемая ур-пиями (5.12), будет иметь такой вид, как на рис. 5.5.

120

току). То, что схема рис. 5.5 и 5.6 получена из схемы рис. 5.36 с помощью Е-пре- образования, очевидно. Однако это Е-преобразование не является пассивным, так как нетрудно проверить, что матрица у' не удовлетворяет условиям пасспв-

Интересно отметить, что существует некоторое нелинейное пре­ образование, не являющееся £-лр еобразовани ем, которое перево­ дит цепь рис. 5.3а с параллельно .подключенным источником тока в другую цепь, не содержащую нелинейной емкости. В самом де­ ле, уравнение .цепи рис. 5.3а с параллельно подключенным источ­ ником тока i(t) имеет вид

Предположим, что существует функция a=:/i(<p), являющаяся обращением функции ф(и). Тощи функция f(u) будет некоторой

Ыф) +РФ =г(0-

Это уравнение можно трактовать как уравнение цепи, состоящей из параллельного соединения постоянной емкости С=1, источника тока i(t) и нелинейного резисторд с ампервольтовой характери­ стикой 1= 1/2(а). При этом напряжение на входе такой цепи равно ф((). Этот интересный пример сообщил 'автору С. Н. .Басан. Вмес­ те с тем уже для цепи рис. 5.36, если у\ .содержит .реактивные эле­ менты, .подобное преобразование не имеет места.

П Р И М Е Р 5.3.

В данном примере будет рассмотрена цепь с нелинейной емкостью и нели­ нейным резистором, для которой существует пассивное Е-преобразование. Такая цепь изображена на рис. 5.7.

12)

У' =

РЗр + 1

Р+ 1 Р + I _

“1 + I со

Так же, как и в примере 5.2, матрица у' может быть реализована с помощью за­ висимых источников, и полная цепь, полученная из цепи рис. 5.7 с помощью пас­ сивного £-преобразования, может быть получена в таком виде, как это показано

на рис. 5.8. В этой цепи левый 'нелинейный резистор имеет амлервольтовую ха­ рактеристику, совпадающую с кулонвольтовой характеристикой нелинейной емко­ сти в цепи рис. 5.7, а правый нелинейный резистор без изменения переносится из цепи рис. 5.7.

Наличие пассивного E -преобразования позволяет сделать ряд дополнитель­ ных полезных выводов относительно свойств цепи рис. 5.7. Так, например, если кулонвольтовая и вольтамперная характеристики нелинейной емкости и резисто­ ра в цепи рис. 5.7 являются однозначными, монотонно возрастающими функция­ ми, то таковыми же являются и ампервольтовые характеристики нелинейных резисторов в цепи рис. 5.8. Последнее же наряду с пассивностью матрицы у',

Рис. 5.9. Транзисторная модель цепи, полученной с помощью пассивного £-преобразования из цепи рис. 5.7

Г22

влечет за собой, как это следует из результатов гл. 2, днссипативность и кон-

вергентность цепи рис. 5.8. Но тогда, в силу пассивного ^преобразования, этими же свойствами будет обладать и цепь рис. 5.7. Транзисторная модель цепи рис. 5.8 (с идеальными транзисторами и на переменном токе) приведена на рис. 5.9.

■Все ;прео6ipазоваи-ния, рассмотренные до оих лор в настоящем параграфе, л мели своей 'целью получение цепей, содержащих в своей нелинейной части только нелинейные резисторы. В то же время иногда представляет интерес поставить задачу шире и рас­ смотреть такие преобразования, которые, сохраняя вид нелиней­ ных элементов, изменяют их характеристики. Пассивные ^преоб­ разования позволяют получить некоторые варианты решения та­ кой задачи. Так как данный вопрос лежит несколько в стороне от основного 'направления исследований данной главы, то мы ограни­ чимся лишь примером.

Рассмотрим цепь, линейная часть которой представляет собой четырехполюсник, матрица z которого существует, а нелинейная

Рис. 5.10. Исходная цепь (а), преобразованная цепь с изменен­ ными характеристиками нелинейных элементов (б)

Здесь p(qi) —вольткулоновая характеристика нелинейной емкости;

123

а 'нелинейная часть содержит нелинейный резистор с вольта/мперной характеристикой u= f\(i) и нелинейный конденсатор с вольткулоновой характеристикой u —<p(q), рис. 5.106. Если матрица г' удовлетворяет условиям пассивности, то преобразование цепи рис. 5.10а в цепь рис. 5.106 относится и пассивным Е-преобразо- ваниЯ'М.

.В заключение отметим, что все результаты данного подраздела практически без изменений переносятся на тот (случай, когда в- нелинейной части .содержатся нелинейные резистивные многополюоншои и нелинейные индуктивности, связанные взаимоиндукцией.

Цепи, содержащие одновременно нелинейные емкости и нелинейные индуктивности

Начнем, как обычно, с рассмотрения цепи, .содержащей одну нелинейную емкость и одну нелинейную индуктивность, рис. 5.11а.

Рис. 5.11. Исходная цепь (а), цепь, полученная с помощью пассивного ^-преобразования (б)

■Предполагая, что матрица а линейного четырехполюсника су­

Здесь f(q\) —вольткулон'овая характеристика нелинейной емкости;

ная часть которой представляет .собой четырехполюсник с матри­ цей

■124

кой нелинейного конденсатора, а вольтамперная характеристика

правого резистора — с веберамперной характеристикой нелиней­ ной .HillДуКТИВНОСТИ.

До сих нор мы рассматривали вопросы, связанные е преобразо­ ванием уравнений цепей, независимо от начальных условий. Одна­ ко совпадение уравнений различных цепей еще не дает ответа на

.вопрос, как ,прн заданных начальных условиях для одной цепи

r ^ O l f -

и,р) 1

h ( t )

Рис. 5.12. Цепи, рассматриваемые .в примере 5.4

выбрать соответствующий ей режим работы другой цепи. Этот вопрос тем более важен, что в .цепях, полученных на основе Е-пре­ образования, некоторые физические величины, которые должны численно совпадать, могут иметь различную физическую природу (например, в одной цепи это — ток, а в другой — заряд). Кроме того, преобразуемые цепи .могут иметь различный порядок. Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим частный 'Случай цепей, изображенных на рис. 5.11, однако .приводимые рассуждения но­ сят общий характер и могут быть применены к цепям любого вида.

Итак, пусть для цепи, изображенной на ри!с. 5.11а, заданы на­ чальные условия при t= 0, а именно заряды на нелинейной и ли­ нейных емкостях и потокоецепление нелинейной и линейной индук­ тивностей. .Пусть f(q) и ф(4х) — вольткулоновая и ампервеберная характеристики нелинейной емкости и индуктивности соответст­ венно и <7о и Чхо—начальные значения заряда и потокосцвпления. Напряжение на нелинейной емкости представим в виде

где

<7(0 = J /i V)dt.

о

Обозначим

}{qo + q(t)) — f{q0) = fi{q{t)).

Тогда .равенство (5.20) можно интерпретировать как уравнение цепи, состоящей из последовательного соединения постоянного ис­ точника напряжения p(qo) и нелинейной емкости .с 'нулевыми на­ чальными условиями, имеющей вольтКулаковую характеристику

Ш

fi(q)- Аналогичным образом .nipедеташм ток через нелинейную ин­ дуктивность в виде

где

1

Ч; (t) = I" uL(t)dt.

о

Обозначим

ф (¥ 0 + ¥ (0 ) - ф ( ^ о ) = Ф1(1г(0)-

Тогда (равенство (5.21) .можно интерпретировать. как уравнениецепи, состоящей из параллельного соединения 'источника постоян­ ного тока ф(гРо) « нелинейной индуктивности с ампервеберной характер1иетик|ОЙ cpi(xF) и нулевыми! начальными условиями. Теперь,, на основе теоремы об эквивалентном генераторе, можно перейти к цепи, содержащей лишь два источника напряжения, рис. 5.13.

u(i)

Б этой цепи, реактивные элементы линейной и нелинейной, частей ■имеют нулевые начальные условия, .а в-ольткулоновая и ампервеберная характеристики нелинейной емкости и индуктивности рав­ ны соответственно fi(q) и срДД').

Остается от цепи рис. 5.13 перейти к цепи рис. 5.115. Для это­

го в последней цепи примем u\\(t) =и 12 ((); u'i(t) = j w2X (t)dt^

вольтам,парную характеристику левого нелинейного резистора чис­ ленно равной fi(i); ампервольтовую характеристику правого рези­ стора численно .равной фДа) и начальные условия всех реактив­

ных элементов, полученных после реализации матрицы я', — нуле- t

вы'ми. Тогда ток г'(i) = \iy(t)dt .и ток h(t) равен тому же току в

о

цепи рис. 5.11а.

127

5.3.КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ПАССИВНЫХ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Цепи с нелинейными индуктивностями

Теорема 5.10

Пусть дана цепь с линейной частью, представляющей собой 2я-полюсник, матрица 2 которого существует и обладает следую­ щими свойствами:

а) элементы za(p):(i= 1, 2, . . я), матрицы «е имеют нулей при р = 0;

б) матрица z', получающаяся из матрицы г делением каждого элемента последней на р, удовлетворяет условиям пассивности.

Пусть, далее, к каждой ларе клемм многополюсника присоеди­ нены последовательно источник Т-периодического напряжения и нелинейная индуктивность с однозначной, строго возрастающей веберамперной характеристикой. Тогда рассматриваемая цепь имеет относительно токов через нелинейные индуктивности един­ ственный периодический режим с периодом Т, не зависящий от начальных условий.

Доказательство.

Для простоты рассмотрим цепь с двумя нелинейными .индук­ тивностями. Доказательство общего случая в существенных чер­ тах совершенно аналогично.

Так как линейная часть цепи представляет собой четырехпо­ люсник, то получим два следующих уравнения цепи:

Как обычно, делим оба уравнения на р:

постоянной интегрирования, то установившееся решение ур-яий (5.23) не должно зависеть от постоянных слагаемых в .правых час­ тях (5.23), иначе требуемая единственность решения не будет иметь места. Но такая независимость действительно имеет .место. В самом деле, по условию теоремы 2ц (р) и 22Др) не имеют нулей

при р = 0. Поэтому — 2ц (р) и а22(р) имеют полюс три р = 0, а это

Р

означает, что при реализации линейного четырехполюсника м.ожно .последовательно с первой и второй парой клемм выделить ем-

L28

.кости. Тогда постоянные составляющие напряжений в 'Правых частях ур-ний (5.23) можно отнести к 'начальным условиям в ем­ костях. Но цепь^ описываемая ур-яиями (5.23) по условиям теоре­ мы, является конвергентной (см. теорему 2.6). Поэтому устано­ вившийся режим ,в ней не зависит от начальных условий.

Предположим теперь, что правые части (5.22) являются Г-пе- риодическями 'функциями без постоянных составляющих. Тогда правые части (5.23) также являются Т-периодическими функция­ ми и, в силу теоремы 2.9, ур-ния (5.23), а следовательно, и (5.22) имеют, и .притом единственное, периодическое решение. Это реше­ ние не зависит от начальных условий и его период равен Т.

Если правые части (5.22) имеют постоянные составляющие U0\ и U02 соответственно, то правые части (5.23) уже не будут перио­ дическими функциями и непосредственное применение теоремы 2.9 невозможно-. .В этом случае применим следующий прием. Обо­ значим в ур-ниях (5.22):

Постоянные величины /0i и / Оо выбираются из условий выполнения равенств:

а как числа. Так как по условию теоремы 2И (0) фО и 22г(0) =й=0,

В этих уравнениях правые части уже не содержат постоянных составляющих. Переходя от (5.26) к уравнениям, подобным (5.23), толькосо сдвинутыми на /ш и Iог вольтамперными характеристи­ ками, придем на основе теоремы 2.9 к -выводу о существовании, единственности и независимости от начальных условий Г-лериоди-

ее линейной части удовлетворяет условию а теоремы 5.10, то при- Г-периодических источниках напряжения в цепи существует, и при­ том единственный, Г-периодический режим, не зависящий от на^ чальных условий.

П Р И М Е Р 5.5.

На рис. 5.14 изображена цепь с одним нелинейным элементом. Сопротивле­ ние линейной части цепи

R

г (р) = pL +

1 + R C p ’

129