книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

Г ЛАВА

• ПЯТАЯ

Преобразования нелинейных цепей"

5.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Введение

Результаты .последних трех глав относились, главным образом, к .исследованию цепей, содержащих в своей нелинейной части ре­ зистивные двухполюсники и .многополюсники. В то же время в современной .радиотехнике, электронике и электросвязи находят широкое .применение устройства, содержащие нелинейные реак­ тивные элементы. Кроме того, к схемам, содержащим такие нели­ нейности, приводит учет паразитных .параметров нелинейных при­ боров, например, учет нелинейной емкости туннельных диодов, транзисторов, индуктивностей формирующих щелей мощных им­ пульсных модуляторов и т. д. Возникает вопрос, можно ли при­ менять к таким цепям полученные выше результаты? Очевидно, что это оказалось бы возможным, если бы уравнения, описываю­ щие цепи с нелинейными реактивными элементами, удалось пре­ образовать таким образом, чтобы они имели тот же вид, что и рассматриваемые ,в гл. 2—4 уравнения цепей с нелинейными ре­ зисторами. Подобного рода .преобразования и являются основным объектом рассмотрения в данной главе. Как 'показано ниже, такие преобразования, кроме расширения области применения результа­ тов гл. 2—4, обладают еще рядом других достоинств.

Определение ^-преобразования

■Рассмотрим две цепи, каждая из которых содержит по т не­ зависимых источников напряжения и тока. Обозначим эти источ­

что в первой и второй цепях «ас интересует одно и то же число реакций п. Этими реакциями могут быть токи, напряжения, заря­ ды, потокосцепления и т. д. Обозначим реакции в первой и вто­

111

О п р е д е л е н и е 5.1.

Будем говорить, что одна из цепей .получена из другой с по­ мощью ^-преобразования, если уравнения одной цепи .можно, с точностью до обозначений, свести к уравнениям другой цепи после-

•применения к источникам и .выделенным реакциям одного из сле­ дующих трех преобразований:

— для источников

Рdt

/ои, k2i и k3i— константы; i= • > 2, . . . , т\

— для реакций

Из этого определения, прежде всего, следует, что £-преобразо- вание включает в себя, как частный случай, эквивалентные и ду­ альные .преобразования. Действительно, эти преобразования учте­ ны в (5.1) и (5.2), когда кц= 1, ?4j= 'l; t= 1, 2, ..., т\}= 1, 2, .. ., п.

Однако для нас наиболее важным является то обстоятельство, что ^-преобразования позволяют, как будет показано ниже, полу­ чать из уравнений цепей с нелинейными .реактивными элементами уравнения цепей с нелинейными резисторами и наоборот. Вот са­ мый простой пример. Рассмотрим цепь, содержащую .последова­ тельное соединение источника напряжения u(t), линейного рези­ стора R и нелинейной индуктивности с заданной веберамперной характеристикой \F(i). Уравнение цепи имеет вид

Поделим это уравнение формально на р и введем замену пере­

менных— u=\U.

Р

Это уравнение уже можно трактовать как уравнение цепи, содер­ жащей последовательное соединение источника напряжения U(t),

линейной емкости С= — и нелинейного резистора с вольтампер-

R

ной характеристикой Y (i). Такая цепь .получена из исходной с по-

112

определенные классы цепей с нелинейными реактивными элемен­ тами.

3.Расширение возможностей .моделирования цепей. Если свой­ ства исследуемой цепи анализируются с помощью модели, то .пас­ сивные Е-преобразования, .позволяя .строить по данному уравне­ нию различные цепи, дают возможность выбрать для модели .цепь, наиболее приемлемую с той или иной точки зрения.

4.Очевидно, что эти же соображения могут быть полезными и при синтезе цепей. Например, три .построении низкочастотной мо­ дели из двух цепей, описываемых у р-ниями (5.3) и (5.4), целесо­ образно выбрать ту, которая соответствует у.р-нию (5.4), так как EC-цепь на .низких частотах легче реализуема, чем PL-цепь.

Необходимо отметить, что в отличие от Е-преобразований вооб­ ще пассивные Е-прбобразевания, как правило, обеспечивают фи­ зическую реализуемость цепей. В самом деле, если, например, матрица z или у нелинейного многополюсника является симмет­ ричной, то условие пассивности этой матрицы является не только, необходимым, но и достаточным условием ее физической реали­ зуемости пассивными R, L, С, М элементами [32].

5.2. ТЕОРЕМЫ О ПАССИВНЫХ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

Цепи с нелинейными индуктивностями

Теорема 5.1.

Пусть дана цепь, у которой нелинейная часть содержит только нелинейные индуктивности, а матрица z линейной части обладает следующими свойствами:

а) матрица z существует и удовлетворяет 'условиям .пассив­ ности;

б) матрица Z\, получающаяся делением каждого элемента мат­ рицы z на р, также удовлетворяет условиям пассивности. Тогда существует пассивное Е-цреобразевание, с помощью которого из данной цепи может быть получена другая цепь, содержащая в своей .нелинейной части только нелинейные резистивные двухпо­ люсники.

Доказательство.

Составим уравнение рассматриваемой .цепи относительно токов, текущих через нелинейные .индуктивности:

— .вектор-'функция !пото1ко.ацеилений нелинейных индуктивностей; u(t) = (u1(t), u2(t), . . ., u„{t))\

114

Рис. 5.1. Цепь, рассматриваемая в примере 5.1

J m z(ico )^ 0 . Поэтому —-— является положительной вещественной функцией.

Цепь, полученная из цепи рис. 5.1а с помощью пассивного Е-пребразовання, изо­ бражена на рис. 5.16. Линейная часть цепи на рис. 5.16 представляет собой реа­ лизацию функции

РР* + Р + 1

~ J

о

■Рассмотрим теперь -цепь с несколькими нелинейными индуктив­ ностями. Если линейная часть .цепи состоит" ив резисторов и ин­ дуктивностей ('без взаимоиндукции) и описывается матрицей z(p), то делению элементов .матрицы z(p) на р соответствует деление на р сопротивления каждого резистора и 'каждой индуктивности,

Поэтому матрица ~ z (p) описывает цепь, получающуюся из ис-.

ходной линейной цепи заменой каждого резистора с сопротивле­

нием R на емкость, численно равную — и каждой индуктивности

R

L на резистор, сопротивление каторого численно равно L. Таким

Для любой цепи, у которой нелинейная часть содержит только нелинейные 'индуктивности, а линейная часть состоит из резисто­ ров и индуктивностей без взаимоиндукций, существует .пассивное ■^-преобразование, с помощью которого из дайной цепи получает­ ся цепь, содержащая в своей нелинейной части только нелинейл

•кые резисторы, а в линейной части — элементы R или С.

■Не представляет труда получить результат, .аналогичный тео­ реме 5.1, для цепи, содержащей нелинейные индуктивности с взаи-

■1)1.6

монндукцией, например многообмоточные трансформаторы, рабо­ тающие в нелинейном режиме. Разница здесь лишь в то;м, что каждая функция 45, (k=l, 2, . . п) ,в у.р-нии (5.5) будет зависеть, вообще говоря, от всех токов iu i2, ..., in. Поэтому преобразоваи-

•ная цепь будет содержать не отдельные резистивные двухполюс­

ники, а резистивный многополюсник. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 5.3-

Если в цепи, удовлетворяющей всем условиям теоремы 5.1, не­ линейные ■индуктивности связаны взаимоиндукцией, то существует пассивное Е-тарео'бразевание, с помощью .которого и.з данной цепи может быть получена другая цепь, содержащая в своей нелиней­ ной части резистивный многополюсник.

Цепи с нелинейными емкостями

Пол ученные в предыдущем подразделе данного параграфа ре­ зультаты на дуальной основе переносятся на цепи с нелинейными емкостями. Поэтомутеоремы, формулируемые ниже, даются без доказательств.

Теорема 5.4.

Пусть дана цепь, у которой нелинейная часть содержит только нелинейные емкости, а матрица у линейной части цепи обладает сл едующнми свойств ами:

а) матрица у существует и удовлетворяет условиям пассив­ ности;

б) матрица у', получающаяся делением каждого элемента мат­ рицы у па р, также удовлетворяет условиям .пассивности.

Тогда существует .пассивное Е-лреобразование, с помощью ко­ торого из данной цепи может быть получена другая цепь, содер­ жащая .в своей нелинейной части только нелинейные резистивные двухполюсники.

Теорема 5.5.

Пусть дана цепь, состоящая из последовательного соединения источника напряжения, линейного .пассивного двухполюсника с проводимостью у(р) 'и нелинейной емкости с кулонвольтовой ха­ рактеристикой у (и). Тогда, если Im y(ico) 5з=0 при любом со, то су­ ществует пассивное Е-п.реобр.азованне, переводящее заданную цепь в другую, содержащую нелинейный резистор, амлервольтовая характеристика которого совпадает с графиком функции q(u).

Теорема 5.6.

Для любой цепи, у которой нелинейная часть содержит только нелинейные емкости, а линейная часть состоит из резисторов и емкостей, существует пассивное Е-преобразо.ванне, с помощью ко­ торого из данной цепи получается цепь, содержащая в своей не­ линейной части только нелинейные резисторы, а в линейной час­ ти — элементы iR и Е.

117

бовать, чтобы матрицы z(p) и z'(p) удовлетворяли условиям .пас­ сивности.

•Некоторым недостатком приведенных преобразований являет­ ся тот фант, что если матрица z(p) линейной части цепи рис. 5.2а была симметричной, то матрица z'(p) будет уже несимметричной. Однако иногда возможно и обратное: если г]2 =да2], то из несим­ метричной матрицы z'(p) получается симметричная матрица z'(p) и цепь рис. 5.26, в отличие от цепи рис. 5.2а, не будет содержать активных элементов.

Из изложенного выше ясен переход к общему случаю произ­ вол ыного числа нелинейных индуктивностей .и. резисторов. Цепи с нелинейными емкостями и нелинейными резисторами рассматри­ ваются на дуальной основе. Поэтому общие теоремы формируют­ ся ниже без доказательств.

Теорема 5.7.

Пусть дана цепь, представляющая собой линейный 2/мпол'ЮС- ■ник, к первым т парам клемм которого присоединены нелинейные катушки индуктивности с последовательно соединенными незави­ симыми источника.ми напряжения, а к остальным п—т парам клемм— нелинейные резисторы также с .последовательно соеди­ ненными независимыми источниками напряжения. Тогда, если матрица z(p) линейного многополюсника существует и обладает следующими свойствами:

а) z(p) удовлетворяет условиям .пассивности;

б) матрица z'(p), получающаяся из z(p) делением всех эле­ ментов первых т строк на р, также удовлетворяет условиям пас­ сивности, то существует пассивное £-преобразование, переводя­ щее рассматриваемую цепь в другую, содержащую в своей нели­ нейной части только нелинейные резисторы.

Теорема 5.8.

Пусть дана цепь, представляющая собой линейный 2/1-нолюс- ■ник, к первым т парам клемм которого присоединены нелинейные конденсаторы с параллельно соединенными независимыми источ­ никами тока, а к остальным п—т парам клемм — нелинейные ре­ зисторы также с .параллельно соединенными независимыми источ­ никами тока. Тогда, если матрица у(р) линейного многополюсни­ ка 'существует и обладает следующими свойствами:

а) у(р) удовлетворяет условиям пассивности, б) матрица у'(р), получающаяся из у(р) делением всех эле­

ментов первых т строк на р, также удовлетворяет условиям пас­ сивности, то существует пассивное Е-преобразование, переводя­ щее рассматриваемую цепь в другую, содержащую в своей нели­ нейной части только нелинейные резисторы.

П Р И М Е Р 5.2.

На рис. 5.3а изображена схема замещения вделидейного двухполюсника, со­ стоящего из параллельного соединения нелинейного конденсатора с вольткулоновон характеристикой ис(у) и нелинейного резистора с ампервольтовой характе­ ристикой f(u). Этим двухполюсником может быть, например, нелинейный полу­ проводниковый диод (типа, скажем, туннельного диода), либо вход нелинейного

119