книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

</(0 =

Ы 0 .

«МО, . .

У п Ш е ь ц о,

Т),

М0 =

Ы 0 ,

МО, • ■

zn(t)yer-(0,

Т),

У (t) =

У (t + '7’); z ( t ) ^ z ( t + T ) ,

то скалярное произведение

г

0/(0,

з(0) =

- f jV (0 г (О dt.

(4.4>

О

Тогда <норма произвольной 1В0ктар-.фун.кц1И.и y ( t ) ^ L 2(0,

7')||*/(7)|| =

= У {у(О,

y(t)).

Теперь можно определить норму оператора A (ico):

II A (i со) || =

sup (Л (i со) у (0, У(0)

(4-5>

(л), У

дические решения i(t) и i(t). Тогда получаем тождества

z (i (о) i (0 + ф («', 0 =

и (0,

(4.6)

T(i (о)Т(0 -Н р7*. 0 =

и (0 -

(4-7>!

Вычтем тождество (4.7)

из тождества (4.6), произведя, неболь­

шая преобразования:

^

z (i со) [г (0 — i (/)] + [z (i со) — z (i со)] i {() +

+ [ф (г. 0— ф(Г01 + [ф (7, 0 -- ф (Г, 01 = и (0—7(0-

(4.8),

Ф (i. o — v (i, 0) = (i (0 -

i (0. U(Q -

и (0) - (t (0 -

— i (t), [z (i co) — z(i со)] Г(/)) — (j (f) —T(/),

Ф (i. 0 — ф (», 0)-

(4-9)

Второе слагаемое левой части

'(4.9), в силу определения ска­

лярного ■произведения,

равно умноженному да -7- интегралу, под

(i (0— i (f), z (i со) [t (t) — i (01) <

II i (t) — 7(t)

II X

X ( II и (0 — « (0 II + Н(2(i со) -

7([ со)]'!(0 II

-HI cp (X 0 - фО, 0 H)• (4-l0)

(i (/) -

i (t),

z (i со) [i (t) -

7(t)} = || i (t) - 7 ( 0

li2 X

X

n o - n o

г (i со)

n o - n o

(4.11)

НПО- 7 ( 0

II

II i (0 - 7 (0 II

Обозначим

Jnf {z (i со)у,

у) = й.

(4.12)

Здесь Inf

берется по всем со= 2зх ft -(/е=0,

1, ...) и по всем вектор-

функциям y(t), обладающим следующими свойствами:

y(t) =

y(t + T)eL*(0,

Г);

|| 1/(011 = 1;

z (1 со)у (0 =

z (i со) у {t +

Т) 6 Б2 (0, Т)

с учетом .представления

(4.11), получаем

|| i (0 —7 (0 II < — ( II и (0 — “ (0 И+

II [z(I со) — z (i со)] X

а

х 7 (0 и + и ф (Т 0 —

*) и )•

(4.13)

II [г (i со) —7(1 со)] i (?) || =

Ц[z(i со) — z~[i со)] (Г(0 — i (/)) +

+

[z (i со) — z (i со)] i (t) || ,<

И[z(i со) —7 (i со)] (i (t) — i (t)) || +

+

II [z (■со) —7(i со)] i (0 || < || i (t) — 7{t) ||

|| z (i co) —

— z(ico) || +

|| [z(ico) — z(ico)] i(t) || .

(4.14)

Крайнее справа выражение в (4.14)

подставим вместо

второго

слагаемого в .правой части

(4.13). После простых преобразований

получим

< ________1

II i(t) — i(t)

z~i со) ||

X

а —

|| г (i со) —

Х ( II

u(t) — u(t) II +

II [z (i со)— z(i со)] i (/) || + || qp(i, t) — ф(Г,

0||)-(4.15)

Для корректности неравенства (4.15) следует, очевидно,

потребо­

вать, чтобы при любом со выполнялось условие

а >

i| z(ico) — z(i со) |1.

(4.16)

Неравенства

(4.13)

и (4.15)

дают в самом общем виде требуемые

оценки точности.

Отметим, что при тех условиях, которые выше были наложены

на величины, входящие в

ур-ния

(4.1) и '(4.2), оценки

(4.13) и

(4.15)

нельзя улучшить,

так как

можно привести примеры, когда

ляется пример

линейной цепи, состоящей из одного

резистора.

В этом случае ур-ние (4.1) вырождается в следующее:

Ri(t) = u{t).

(4.17)

Соответственно ур-ние (4.2) имеет вид

^ 7 (0 = 7 (0 .

_

(4.18)

Будем считать,

что u(t) =u(t) — Um oos'(a\t + a ) . В этом случае для

со —coj, тогда получим a= lni(y,

z(ai)y) —In f(у, <Ry) = (у, JRy)—iR.

Если теперь внимательно проследить переход от выражения

(4.9)

к (4.13), то нетрудно заметить,

что во всех .промежуточных вы­

ражениях будет сохраняться знак равенства, что дает

II i ( 0 - ~ ( 0 H = - j U R - W ( t ) \ \ -

•

(4.19)

части,

то можно считать ||г(ico)—2(ico) || =0. В этом случае из

оце­

нок (4ЛЗ) и (4.15) следует одно и то же неравенство

II i (t) -

T(t) II < -j- ( II и (0 - и (/) || + || Ф (i, t) - ф(Т, t) 1|).

(4.20)

(4.13) и (4.15).

могут быть полезными и при исследо­

Оценки (4.13) и (4.15)

вании линейных цепей. В этом случае вместо (4.13) получаем

|| i (0 —7(/) ||<

— ( || и (I) — и (/) || + || [ъ(i со) —7(i со)]Г(0 Ц)

(4.21)

а

и вместо '(4.15)

1

II

* (0 —7 (t) II <

(|| u{t) — u{t) || +

------

w

w

а — || z (i о ) — z (i со)

+

II

[z (i co)— z (i ©)] i (t) || ).

(4.22)

Ri(t) + <?{i, 0 = « (0 .

(4-23)

RT(t) + p(i, t)=h(f).

(4.24)

Здесь R и R — постоянные матрицы п X п, причем,

как и выше,

предполагается, что матрица R + R т — строго положительно опре­

деленная. Зафиксируем время t в ур-ниях

(4.23) и (4.24) и введем

скалярное произведение .векторов.

..., 2„)т — произвольные

Если у=1(Уь У2........ Уп)\ 2= (2,, 22,

векторы, то скалярное произведение равно

(У, z) = yTz = £ УкЧ-

(4-25)

*=1

Норма вектора у равна

|| у II =

] а(у7у)=

] / У] у\.

(4.26)

*=i

Норму .матрицы Я определим аналолично <(4.5)

li R II =

Sup {Ry,

у).

II у II = 1

Как известно из линейной алгебры {58],

II Я II =

УТЬ

(4.27)

II

i (0 —Т (О II

< — ( II а (0 — 7(f) |1+

|| (Я -

Я)7(0 || +

а

+

II ф(Г, 0 — ф й t) II);

(4.28)

II

i ( 0 - 7 ( 0 II

< ------ ( IIU (0 - 7(0 II

+ II (Я -

Я) i (0 II +

+

II Ф(Г, о —

ф(1 ОН).

(4.29)

Еще раз подчеркнем, что оценки (4.28) и

(4.29) находятся в фик­

сированный момент времени f, так что правые части (4.28)

и (4.29)

меняются при изменении 4.

(4.29) по сравнению ,с

(4.13) и

Особенностью оценок 1(4.28) и

(4.15) является то, что первые справедливы для любых,

а не толь­

ко периодических решений.

Для применения неравенств

(4.13)

и (4.15) при исследовании

конкретных цепей

необходимо

уметь

оценивать

величины всех

норм, входящих в

правые части

этих

неравенств,

а также число

и (0 = £

Umk cos

t+ а*) ;

7(f) - £

Umk cos

f +<£) .

ft=0

'

'

ft=0

'

'

Будем

считать, что

затратее заданы оценки отклонения амплитуд

и фаз каждой гармоники:

I

Umk

Umk I

Д Umk,

I

ak— ak | <

Act*,

k = 0, 1, . .

Umk cos ( ~ + 'a* ) = [ Umk + (UmkVmk)} [cos

+ akJ x

X COS (aA— a*) — sin [2- y - +

ak'j sin (aft— ak)j

;

A uk(t) = Umkcos

— Umk cos ( y y +

ak j «

|| u{t) — u{t) ||

(AUm0f + у J j (A Umky- + (и тк Аа*)а.

(4.30)

ft=i

u ( t ) - u { t ) \ \ < ^ (A U moy + Y ^ (Л U m kY + (Aa)2 U 2 .

(4.31)

и (t)— и (t) <

— б (0а dt.

(4.32)

5—275

105

Если от скалярных ур-ний .(4.6) и

(4.7)

'перейти к матричным,

то (произойдет усложнение ляшьив деталях.

Пусть

^

«(0 = (М 0 . МО,

• ■ -

ап(0)т.

u(0 =(ui(0 ,

и*(9. • • « М 0)т. и

«ДО =

S

C0s ( у ^

1+ “» ) -

£=0

'

'

с°

u,(0 =

£

,1=

1, 2,.../i.

ft= 0

'

Пусть, далее, заданы

AUmih

и

Да,

такие,

что

\Umik—'tAnifcl^

^ A U mih, | ап —а4к|< Д а ,

й = 0, 1,

.... i= l,

2,

...,

л. Тогда,

по ана­

логии с .выражением

(4.31), получаем

п

к>

1u(f) - a

(t) Ц< 1

/

V

(A Umi0y-+ Y

J j (A Umiky +

(A aUtf

. (4.33)

f

£ i

L

*=i

'

Здесь

Ui— действующее значение напряжения i i i ( t ) .

Если заданы

отклонения Uh(t) от Uh(t) во временной области:

| U i ( t ) —щ(0 | ^

i(t),

г=1, 2, .... п, то, по аналогии с (4.32), получаем

и (0 — и (О Н<

/

r

i

i

i dt»

(4.34)

f

О i= l

Оценка нормы линейного оператора

Для

получения оценки величины

второго слагаемого в правой

h(t)= £

T ^co s ( ^ t +

^ A

q=l,2,...n.

(4.35)

A=e

'

'

Обозначим

2 (ico)—.a(ico) =Az(ico)

и

пусть

Azi(ico) =i(A2ife(ia>)),

■i, k —\,

2,

..., n, Azih(ico) — элементы .матрицы Да(1а). Пусть да­

лее заданы оценки

(4.36)

I Aztt(ico)

| < Дй (со);

i , k =

1,2,

. . .,

п,

чить, если воспользоваться

известными свойствами нормы (1.25)

и (1.26). В результате получаем

П

1[z(i со) — z (i со)] i(f) Н<

у

Azift(i со) i [ ( t ) ||2 .

1=1

ния, получаем, с учетом '(4.39),

Рис. 4.1. Область возможного изменения функ­

ции cp (i)

II Ф («. О — ф(t, t) || =

1Фа(7,0 — ф*(», W d t <

(4.40)

II и (0—

и (0 II < ] /

£

[б* (01*.

(4.41)

*=1

Оценки

выражений

\\(R—R)i(t)\\ и IK/?—R)i(t)\\

совершенно ана-

лопичны.

Пусть R=-(Rih)

и

R=i(iRik)—матрицы^ пХп

с элементами

Rih и Kih соответственно.

Обозначим Rik—Rik = Sik, i, k = \,

2, .... n.

Оценки Sat предполагаются известными:

I

I < А».

•

(4.42)

Тогда .при 'фиксированном i

4=1 L<7=1

J

4=1 L?=l

\\{ R - R )i(t) II

w o T

< i / ££ л 9Л (0

(4.44)

J

4=1 L<7=1

/

п

п

(4.46)

II Я — Я II

<

у

у А?,

1=1

4=1

П Р И М Е Р

4.1

Проиллюстрируем технику использования неравенств типа (4.13) и (4.14) на

примере цепи,

изображенной на рис. 4.2, где u(t) = u (t+ T ). Будем

считать ли­

Тогда матрица z(p)

четырехполюсника имеет вид

u(t)

z(p ) =

Ri + PC

Ri

Ri

R i-\-Ri-\-pL _

Для использования неравенства ',(4.13) необходимо,

прежде

всего, оценить

величину а. Это можно сделать

с помощью

методики,

приведенной в

§ 1.2 ,

откуда

по­

лучаем

б = Inf 'Gift;

i= ll, 2;

&=0,

1, ...

i = l .

2; 4=0,

1 ,...

•6ik = e Re

z u

(

2п k\

2Ri;

11 -y~ J =

_2nk\

/.

2я k

2it

k

zi2 I ’

221 (*

~T~

Puc. 4.2. Цепь, рас­

-624= 2 Re

Z22

f i

2я k

сматриваемая

в

2Re zu

примере 4.1

i

2

(R1)2

2R2‘> 6 = 2 min(Ri, Rz)

= 2 R t+ 2 Ri— —— — =

2Ki

Таким образом, a^ 2m in (7?i, Rz).

Предположим теперь, что параметры реактивных

элементов цепи

измени­

лись на

величины АС и AL соответственно. Пусть ряды Фурье для токов в цепи

с измененными параметрами имеют следующий вид:

.—•

хг: -—■

/2л k

—

,

* 1 (0 =

\ I i m

k

cos

/ + a l k

4=0

Н (0 =

^_/

/2Я k

---

Iimk C0S ( ~Y~ t + “24

4= 0

'