книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

и T. Д.

Из (3.65) можно '.полущить также рекуррентную формулу для оп­

чатой функции с шириной .ступени — . Так как так через вентиль

18

не может быть отрицательным, то расчет i/г проводится до такого номера к, .при котором ih впервые .становится отрицательным.

Пусть, например, это произошло при к —г. Тогда значения то­ ка ik при k<r принимаем в качестве значений искомого тока i(i) и .полагаем

90

2) уже при k = l ij> 0.

5

Первый случай означает, что либо т > — , либо вентиль вообще

постоянно проводит ток. Чтобы определить характер тока, можно заменить оператор А(р) другим, отличающимся от рассматривае­ мого тем, что число 18 в показателях экспонент заменено большим числом. .Например, если 18 заменить на 36, то при сохранении мак­ симального индекса /е у А и, равным 8, можно .применить выше­

изложенную методику при т ^ — .

Второй случай означает, что длительность импульса тока .мень­

волит обнаружить импульсы тока с длительностью т < — .

Отметим, что общие формулы для тока (3.67), (3.68) и (3.69) позволяют сразу получить .качественную информацию о длитель­ ности тока. Например, из (3.67) ясно, что при 71о<0 длительность

тока будет меньше, чем— . Обращаясь же к (3.64), мы видим, что

18

условие 4о<0 будет обеспечено', если мнимая часть сопротивления линейной цепи на первой гармонике (т. е. х\) является отрица­ тельной и достаточно большой но абсолютной величине. Точно

Из (3.64) снова можно заключить, какими должны быть пара­ метры г0, г<„ ..., х2, чтобы удовлетворить'неравенствам .(3.75).

Таким образом, изложенная методика позволяет определить ос­ новные параметры тока через управляемый вентиль в функции or параметров линейной части цепи. .Выражение для тока получается как в общем .виде, таки в виде рекуррентной формулы.

П Р И М Е Р 3.7.

На рис. 3.9 изображена эквивалентная схема импульсного модулятора, фор­ мирующего на нагрузке Rn импульс напряжения. Обычно линейная часть цепи бывает более сложной, с тем, чтобы сформировать импульс, близкий к прямо­ угольному. Упрощенная схема выбрана потому, что она допускает -точное реше­ ние, которое затем сравнивается с приближенным. В то же время следует под­ черкнуть, что увеличение порядка линейной части цепи практически не влияет на сложность расчетов по приближенным формулам, выведенным выше, однако рас­ чет точными методами (например, методом припасовывання) резко усложняется.

Параметры схемы: Ul = 1; 7?i=3; L = 0,1; С=0,1; /?н=0,1; период следования отпирающих импульсов Г=1. Требуется определить форму Т-периодического тока через управляемый вентиль.

91

Отсюда

2(0)=r0 = 3; z(i 2л) =/T+i *! =0,353—i 0,825, z(i 4я) = 1Г;гИ -V'2=0,158+i 0,418.

Подставляя найденные значения га, г ь..., Хг в (3.64), находим Ло=3,30; A i =

Таким образом, погрешность в определении, например, длительности импульса составляет около 6%. Такой же порядок погрешности имеют и другие парамет­

пие тока в ряд Фурье содержит третью гармонику довольно значительной ампли­ туды. Изложенная методика расчета при т —3. не дает (возможности контролиро­ вать третью гармонику. Учитывая это обстоятельство, можно признать точность расчета удовлетворительной. При необходимости получения более точных резуль­ татов, следует про-вести расчет -при т = 3 .

Цепь, содержащая нелинейный резистор с симметричной характеристикой

На рис. 3.11а .изображена цепь, содержащая (нелинейный рези­ стор -с вольтамперной характеристикой, показа-нной .на рис. 3.116; u(t) =*Umsin2л/. К цепям такого .вида сводятся, ,в частности, схе­ мы нелинейных корректоров, применяемых в широкополосных уси-

'92

лптелях с глубокой обратной связью (см.'пример 3.8). Кроме того, уравнения цепи |рис. 3.11а совпадают с уривнениями нелинейных усилителей с обратной связью.

Рис. 3.11. Цепь, содержащая нелинейный резистор с сим­ метричной характеристикой

Ток .в такой цепи содержит лишь нечетные гармоники. При ап­ проксимации сопротивления z(p) линейного двухполюсника функ­

стикой рис. 3.1|1б представим в виде эквивалентной .схемы с идеальными диодами и включим эту 'схему

Функция Ri(t) в этом уравнении по-прежнему 'будет принимать значения, стремящиеся к нулю или бесконечности, что соответст­ вует открытому или закрытому состоянию вентиля.

Для аппроксимации z(p) на одной гармонике можно выбрать функцию А (р) /в 'следующем простом виде:

93

Условие Л'(12я) ='2 (i 2л) = ri + ijti дает А = П, А = —лу. Подстав­ ляя (3.78) .в (3.77)) вместо z(p), .получим

пирания вентили. Напомним, что такое же условие имело место выше для цепи с одним вентилем;

■в) длительность т горения каждого из вентилей в цепи рис. 3.12

четыре уравнения относительно четырех неизвестных i\(t), it(/—■—j.

4 2

В первом случае, если l\^<t^T + l\, то R(t)= 0,

эо.

Решая в общем виде систему (3.80) относительно i\(t), выра­ зим i\(t) в виде отношения двух определителей, после чего подста­

вим в определители вышеуказанные значения для R(t), R ----Ф

•и т. д. Опуская несложные вычисления, приведем сразу результат

94

а=arc tg — .

л0

9.5

Момент t\, соответствующий началу горения вентиля, опреде­ ляется та основе (3.90) из выражения

Здесь значение арксинуса 'берется из первой четверти. Момент in, соответствующий концу горения вентиля, определяется иа основе

Найдя т, мы уже можем (пользоваться ф-лами '(8.90) -н(3.92), так .как моменты перехода от одного выражения для тока к дру­

=i\(t) —itV^ ---- —j •

П Р И М Е Р 3.8.

На рис. 3.13а изображена структурная схема усилителя с обратной связью, причем нелинейный усилитель НУ имеет характеристику с насыщением,

рис. 3.136.

Рис. 3.13. Блок-схема и характеристика нелинейного усилителя с обратной связью

синусоидальная функция с тем же периодом. Положим, например, \l\W(p)\f(t) = = 6sin2nit. Положим также

96

ментом uno=3,59sin(2ni—26,5°). Отсюда находим Um= 3,59, а из .рис. ЗЛЗб i£/o=l.

можно признать точность расчета удовлетворительной. Величина тока i(t) в цепи рис. 3.14, а следовательно, и переменная Xi(t) из рис. 3.13а находится после оп­ ределения i'(t) линейными методами.

ГЛАВА

ЧЕ Т В Е Р Т А Я

Оценки точности периодических: режимов нелинейных цепей

4.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Введение

Исследование нелинейных цепей с помощью цифровых или ана­ логовых машин — это .практически исследование моделей этих це­ пей. Часто бывает важно знать, насколько режим реальной систе­ мы отличается от режима, полученного для модели. Бели извест­ ны .причины неточного соответствия модели — реальной системе- (такими причинами могут быть, например, пренебрежение некото­ рыми параметрами, либо изменение параметров от времени или температуры), то можно построить новую, более сложную, но бо­ лее точную модель и получить более точное решение.

Однако такая модель снова дает лишь одно из решений при одном конкретном изменении параметров. Поэтому часто ограни­ чиваются тем, что пытаются оценить верхнюю границу нормы от­ клонения решения, полученного с помощью модели, от режима в реальной цепи, если известна область отклонения параметров мо­ дели от .параметров цепи.

Аналогичная задача возникает при оценке работоспособности систем [7]. .Система называется работоспособной, если при изме­ нении ее параметров в заданной области норма разности между номинальным и измененным режимом не превосходит заданной величины. При этом система может остаться работоспособной и ■при значительной величине указанной нормы, т. е. при значитель­ ном отклонении параметров от номиналов. Это создает дополни­ тельные трудности в оценке рассматриваемой нормы, так как не позволяет применить обычные -методы линеаризации, предполага­ ющие малые 'приращения параметров и малое изменение режима

системы.

-Приемы, используемые в данной главе, позволяют преодолеть, указанные трудности.

Точная формулировка задачи

Пусть уравнение исследуемой цепи записано в основной мат­ ричной -форме

98