книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие
.pdfГЛ. 3. РЯДЫ |
С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из |
(3.11) |
следует, |
что |
|
|
кѵп<ип<Кѵп. |
|
|
(3.12) |
|
Если ряд (3.9) |
сходится, |
то из |
левого |
неравенства |
|
в (3.12) согласно первому |
признаку сравнения вытекает |
||||
сходимость ряда |
|
|
|
|
|
kv1-{-kv2 + ... + kvn + ...
Отсюда |
на |
основании |
дистрибутивного |
закона |
для |
|
рядов |
(см. |
теорему 2 § 8 главы 2) следует |
сходимость |
|||
ряда |
(3.10). |
Поэтому если ряд (3.10) расходится, |
то и |
|||
ряд |
(3.9) также должен |
расходиться. |
|
|
||
Если сходится ряд (3.10), то по дистрибутивному закону для рядов должен сходиться ряд
Кѵ1 + Кѵ2 + ...+ Кѵа + ...,
и, следовательно, по первому признаку сравнения/ на основании правого неравенства в (3.12) —ряд (3.9). Значит, из сходимости ряда (3.9) следует сходимость ряда (3.10).
Пр и м е р ы .
1.Рассмотрим ряд
1 |
' |
1 |
/ г |
+ • • • + ^ |
~ ^ + ••• |
(3.13) |
1 2 - Ѵ г Т |
2 2 - 2 |
_ ' " ^ л 2 |
- л / 2 |
|
||
и сравним его с рядом обратных квадратов (3.5). Отношение
1 |
|
|
л2 —л/2 |
л2 |
1 |
J _ |
л 2 - л / 2 |
1_ |
л2 |
|
2л |
ограничено сверху числом 2. Поэтому из сходимости ряда обрат ных квадратов следует сходимость ряда (3.13).
2. Рассмотрим ряд
s i n y + sin-g-+ |
. ' . . + ! + . . . |
(3.14) |
|
Составим отношения |
соответственных членов |
этого ряда и |
|
ряда (3.8): |
|
|
|
. |
1 |
|
|
sm — |
1 |
|
|
|
л |
|
|
, |
:— = |
cos —. |
|
1 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
§ 2. ПРИЗНАКИ |
СРАВНЕНИЯ |
|
51 |
||||||
Ввиду |
того, |
что при любом |
целом |
п > |
1 |
|
|
||||
|
|
|
-рг- < |
COS — < |
1, |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
п |
|
|
|
|
|
ряд (3.14) ведет себя |
так же, как и ряд (3.8), т. е. должен |
расхо |
|||||||||
диться. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Аналогично анализируется |
ряд |
|
у |
|
||||||
|
|
t g | 2 |
+ t g y 2 + |
.. . + t g ~ + . . . |
. |
(3.15) |
|||||
Составив |
отношения членов |
этого |
ряда и ряда |
(3.7), мы полу |
|||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
-s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 |
rfiг |
= |
cos 1 |
- j - |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rfi |
|
|
|||
|
|
|
tg |
-s |
|
|
|
|
|
|
|
rfi
и так как
T < c o s ^ < l ,
ряд (3.15) сходится подобно ряду (3.7).
С л е д с т в и е . Если для рядов (3.9) и (3.10) отно
шение ^ стремится к некоторому положительному и конечному пределу
l i m ^ = r > 0 , |
(3.16) |
то ряды (3.9) и (ЗЛО) сходятся или расходятся одно временно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Соотношение (3.16) означает, что, начиная с некоторого места, все отношения вида
— будут достаточно близки к г и, в частности, будут
находиться между числами у г и 2г. Интересующее нас
утверждение получается непосредственной ссылкой на доказанную теорему.
П р и м е р . Рассмотрим ряд
1 |
\ |
\_ |
( е Т - 1 ) + ( е 2 _ 1 ) + . . . + (е "_ ] ) + . . . |
(3.17) |
52 |
ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ |
Возьмем в качестве вспомогательного гармонический ряд, со ставим соотношение
е" - 1
п
и вычислим его предел, пользуясь правилом Лопиталя (дифферен цированием по п; см. § 6 главы I):
V е |
- 1 |
1- |
" 2 |
, • |
" 1 |
lim |
— : — = |
lim |
—- = |
hm е |
=1. |
л -> с о |
|
л —> о э |
_ 1 |
/1 -*• о э |
|
|
П |
|
/ I s |
|
|
Поэтому ряд (3.17) должен расходиться.
Следующий пример показывает, что признак сравне ния, даваемый теоремой, существенно сильнее, чем приз нак в предельной форме, даваемый вытекающим из тео ремы следствием.
П р и м е р . |
Рассмотрим ряд |
|
|
|
||||
2 - 1 + 2 ^ + 2 4 + |
2 ^ |
+ |
2 4 + |
- - - + 2 ^ T + 2 J |
2 l + --- |
<3 -, 8 > |
||
Отношение |
его члена ип |
к соответствующему |
члену |
гармони |
||||
ческого ряда оп |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
для нечетного п, |
|
|
|
|
— : — = 2 |
|
|||||
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
для четного п. |
|
|
|
|
=- : — = |
2 |
|
|
|||
|
|
. 2я |
|
п |
|
|
|
|
Следовательно, |
отношение —— ни к какому |
пределу |
не стре |
|||||
|
|
|
|
|
мя |
|
|
|
мится. Однако при всех значениях п оно заключено между числами у и 2. Поэтому ряд (3.18) ведет себя так же, как гармонический ряд, т. е. расходится.
Из приведенных выше примеров сходящихся и расхо дящихся рядов можно усмотреть, что сходятся те ряды, у которых члены обнаруживают тенденцию к достаточно
§ 2. ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ |
53 |
быстрому убыванию. (Последний оборот речи, осторож ный и даже несколько громоздкий, употреблен наме ренно: члены сходящегося ряда вовсе не обязаны убы вать монотонно, как это, скажем, видно из последнего примера.) Поэтому сравнение скоростей убывания чле нов различных рядов может быть положено в основу
особого признака |
сравнения. |
|
|
||||
Т е о р е м а |
3 |
(третий |
признак сравнения). Если для |
||||
двух рядов с положительными |
членами |
|
|||||
|
|
"х + " 2 |
+ |
••• |
••• |
(3.19) |
|
и |
|
Ѵг + и2+ |
...+Ѵп+ |
(3.20) |
|||
|
|
||||||
начиная с некоторого п, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.21) |
то из |
сходимости ряда |
(3.20) |
следует сходимость ряда |
||||
(3.19), |
а из |
расходимости |
ряда (3.19) — расходимость |
||||
ряда (3.20). |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из (3.21) следует, |
что |
|||||
|
|
|
"n |
+ ï |
|
Ü2-, |
(3.22) |
|
|
|
|
|
|
||
- начиная с некоторого п = п0. Это значит, что отношения —, начиная с этого п0, составляют убывающую последовательность. Поэтому, полагая
мы из (3.22) получаем, что при п^п0
и требуемое следует из второго признака сравнения.
54 ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И Ч Л Е Н А М И
§ 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Кошн: )
Пусть дан ряд
их + « 2 + • • • + « и +
Очевидно, каждый его член можно рассматривать как значение функции f от номера члена:
"і=/чП). "г = /(2), ... , un = f(n), ...
Эта функция определена пока только для целых поло жительных значений аргумента. Ясно, что, как-то опре делив значения функции для всех нецелых значений аргумента, больших единицы, мы сможем говорить о функ ции f (х), принимающей значения для любого лгі^ 1. Например, в случае гармонического ряда
Т + І + - + І + -
такой функцией будет
а в случае геометрической прогрессии a, aq, ... |
, aq"-'1 — |
||
показательная функция |
aq*-1. |
|
|
Т е о р е м а (интегральный |
признак сходимости Мак |
||
лорена — Коши). Пусть |
дан |
ряд |
|
"і + « 2 |
+ . . . + « „ + |
(3-23) |
|
члены которого положительны и не возрастают:
|
U-L 2ï и2 |
ип |
... |
|
Пусть, далее |
f — функция, |
которая определена |
для всех |
|
вещественных |
я і г і , непрерывна, |
не возрастает |
и |
|
!{\) |
= иъ f (2) = «2 |
|
f(n) = un, ... |
(3.24) |
1 ) Обычно этот признак называется интегральным признаком сходимости' Коши. В данном курсе мы будем называть его инте гральным признаком сходимости Маклорена — Коши, во-первых, по соображениям исторической справедливости, а во-вторых, чтобы не путать его с другим признаком сходимости Коши, о котором пойдет речь в § 6 этой главы.
§ 3. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Й П Р И З Н А К СХОДИМОСТИ |
55 |
Тогда для сходимости ряда (3.23) необходимо и доста точно, чтобы сходился (существовал) несобственный ин теграл
со
\f(x)dx.
1
До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим ряд, членами кото
рого являются интегралы:
2 |
3 |
л + 1 |
(3.25) |
\f(x)dx |
+ ]f(x)dx+...+ |
] f(x)dx+... |
|
1 |
2 |
п |
|
Частичными суммами этого ряда, очевидно, также будут интегралы:
2 |
л + 1 |
|
л + 1 |
sn = \f(x)dx+ |
... + \ f(x)dx = |
\ |
f(x)dx. |
I |
л |
I |
|
Сходимость ряда (3.25) означает существование предела последовательности частичных сумм, т. е. сходимость (существование) несобственного интеграла
I
с о
\f(x)dx. (3.26)
Вспомним теперь, что функция f (х) монотонна и не возрастает. Отсюда и из (3.24) следует, что для любого X между п и п + 1
(3.27)
Интегрируя каждую из трех частей этого неравенства по X от п до п + 1, мы приходим к неравенству инте гралов
Я+І |
л + 1 |
|
л + 1 |
|
^ undx^ |
I |
f(x)dx> |
^ |
un+1dx, |
п |
л |
|
п |
|
И ЛИ |
|
|
|
|
|
л + 1 |
|
|
|
« л ^ |
I |
f (х) dx>un+b |
(3.28) |
|
56 ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ
Пусть ряд (3.23) сходится. Обратим внимание на ле вую сторону неравенства (3.28). По признаку сравнения (см. § 3) должен сходиться и составленный из интегра лов ряд (3.25), а следовательно, и несобственный инте грал (3.26). -
Пусть теперь ряд (3.23) расходится. Тогда, как было
доказано (см. § 9 |
главы 2), |
расходится и ряд |
« 2 + |
« 3 + ••• + |
« л + і + |
получаемый из нашего ряда отбрасыванием его первого члена. Взглянем теперь на правую сторону неравенства (3.28) и применим снова признак сравнения, но уже в той его части, которая касается расходимости. Мы получим, что должен расходиться ряд интегралов (3.25),
т.е. несобственный интеграл (3.26). Теорема доказана.
§ 4. Применения интегрального признака сходимости
Достоинство интегрального признака сходимости Маклорена — Коши состоит в исключительно высокой его чувствительности. Этот признак четко проводит разли чие между сходящимся и расходящимся рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отли чаются от членов другого.
П р и м е р . В качестве первого примера применения интеграль ного признака сходимости рассмотрим уже исследованные нами ряды
ТГ + - ^ + - + Ж + - |
(3.29) |
Для первого из этих рядов, т. е. для гармонического рядаг /(*) = — ; в этом случае
лл
§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА |
57 |
Так как In п с ростом п неограниченно возрастает, несобственный интеграл
с о |
п |
[ — = lim [ —
1
расходится. Тем самым должен расходиться и гармонический ряд. |
||||
В случае |
ряда (3.29), |
очевидно, полагаем |
f(x)—~xr- |
Здесь |
|
03 |
с о |
|
|
|
J * |
X I |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
Интересующий |
нас несобственный интеграл сходится, так что схо |
|||
дится и- ряд (3.29). |
тем меньше члены |
ряда |
|
|
Чем больше показатель |
|
|||
|
Т 7 + 1 Г + - ' + 7 ï r + - |
|
( 3 - 3 0 ) |
|||
Поэтому |
при s < 1 члены ряда |
(3.30) |
больше |
соответствующих |
||
членов |
гармонического |
ряда. Значит, |
по теореме § 3 при s < 1 |
|||
ряд (3.30) расходится. |
С другой |
стороны, при s > |
2 члены ряда |
|||
(3.30) меньше соответствующих |
членов |
сходящегося |
ряда «обрат |
|||
ных квадратов» (3.29). Следовательно, при s > 2 |
ряд (3.30) должен |
|||||
сходиться. Очевидно, «граничное» значение s, отделяющее сходя |
||||||
щиеся ряды вида (3.30) от расходящихся, расположено где-то между
числами |
1 и 2. |
|
|
|
|
|
|
|
В действительности |
эта. граница |
проходит через число |
1: для |
|||||
любого s > l ряд (3.30) |
сходится. |
В самом деле, пусть s=l - f - a |
||||||
( а > 0 ) . |
Рассмотрим |
функцию |
|
1 + |
а |
и соответствующий |
несоб |
|
ственный |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
dx |
1 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
а |
|
ха |
а ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 V |
|
Из сходимости интеграла вытекает сходимость ряда. Чувствительность интегрального признака сходимости не исчер
пывается умением различать сходящиеся и расходящиеся ряды вида (3.30). Этот признак способен улавливать и менее заметные отличия в скорости убывания членов рядов.
Заметим, что при любом а > 0 , начиная с некоторого п,
- > — г — > - т т ? Г - |
(З-3 1 ) |
58 |
ГЛ. 3. РЯДЫ С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И Ч Л Е Н А М И |
В самом деле, применяя правило Лопиталя (дифференциро вание по п), мы получаем
|
|
|
|
|
1_ |
|
|
|
|
|
|
Hm |
i ™ . = lim |
п |
= lim |
J L = |
0 . |
|
|||
|
п — со Л а |
л - о о С Ш а 1 |
п —со « / 1 а |
|
|
|
||||
Значит, |
начиная с некоторого |
п должно быть |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1п я < |
па, |
|
|
|
|
|
откуда |
следует |
правое неравенство в (3.31). Левое же неравенство |
||||||||
в (3.31) |
очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ряд." |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 + . . . + ! + . . |
|
|
|
||||
расходится, а ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ц + а |
"Ь 2і + а "^" "• |
я1 + |
а |
'" |
|
|
||
сходится. Что же касается |
ряда |
|
|
|
|
|
||||
|
Т Б Т + |
" з Т п Т + |
'•' + |
( л + 1 ) І п ( л + 1 ) |
+ |
" • ' |
( 3 , 3 2 ) |
|||
то его члены, согласно неравенству (3.31), занимают промежуточ ное положение, и простыми сравнениями решить вопрос о его сходимости нельзя. Однако интегральный признак сходимости может
выручить нас и в этом случае. Возьмем |
функцию |
— j — и вы- |
|||||
числим |
|
|
|
' |
X ІП X І |
||
|
|
|
|
|
|
||
С |
dx |
С |
din s |
= |
in In л — I n |
In 2. |
|
J |
д: In д; |
J |
in А: |
||||
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как
lim In In n — со j
fî —* CO
несобственный интеграл
со
С- dx
j x\nx
2
расходится; значит, расходится и ряд (3.32). Рассмотрим теперь ряд
2 ( 1 п 2 ) і + а + з ( і п 3 ) і + а + "• + ( л + 1 ) 0 п ( л + 1 ) ) і + а + - |
(3 -3 3 ) |
|
§ 4, ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА |
59 |
||||||||
при а > |
0. |
Возьмем для него |
функцию |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
и вычислим |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|||
с о |
|
|
с о |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Ô |
dx |
_ |
С |
d\nx |
_ |
|
||||
«" |
(In*)« |
a |
(In 2) а |
|||||||
) x(lnx)1+a |
~ |
J |
( l n x ) 1 + K |
~ ' |
||||||
Из сходимости этого несобственного интеграла следует сходимость ряда (3.33). /
С другой стороны, для ряда
1 |
+M; |
1 |
' '" |
|
ЗІпЗ In In 3 |
In 4 In In 4 |
|
||
|
|
|
1 |
(3.34) |
|
|
•"' ^ |
(іг+2) In (іг+2) In In (n+2) |
|
|
|
|
рассмотрение функции
|
|
|
|
f(x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
X In л: In In X |
|
||
и |
интеграла от нее |
|
|
|
|
|
||
л |
|
|
л |
|
|
|
|
|
Г |
dx |
|
Г |
dlnx |
_ |
С |
d In In л: |
|
j |
л; In A; In In дг |
J |
In л; In In x |
~ |
j In In x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
In In In n—In In In 3 |
приводит к неограниченно |
возрастающей функции" от л, так что |
|||||||
несобственный |
интеграл |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
j A; In д.-In In. |
|
|||
расходится, вследствие чего расходится и ряд (3.34). |
||||||||
|
Идя по этому |
пути, можно строить примеры все более мед |
||||||
ленно сходящихся |
рядов, |
равно |
как примеры все более лениво |
|||||
расходящихся |
рядов. |
Интегральный |
признак |
Маклорена — Коши |
||||
будет неизменно распознавать их сходимость |
или расходимость. |
|||||||