книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

Каждое из слагаемых этой суммы входит в ряд (2.26). Возьмем в ряде (2.26) столь большое число m первых членов, чтобы среди них оказались все слагаемые tn, и составим т-ю частичную сумму ряда (2.26):

sm = « 1 + « 2 + ... + « m .

Так как все слагаемые tn входят в s„„ а остальные слагаемые Ал (если такие есть) неотрицательны, должно быть

Но частичные суммы ряда (2.26), ввиду неотрицатель­ ности членов ряда, не превосходят его суммы s:

г» = ("i + f i ) + . . . + («„ 4-о») =

= ("I + ... + « « ) 4 - ( ÖI + ... + 0 I J .

42 ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ Р Я Д Ы . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

Справа в скобках стоят частичные суммы sn и t„ рассматриваемых рядов. Устремляя п к бесконечности, мы получаем

ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Если н „ + 1 = 0, то s„+i = s„. Поэтому последовательность частичных сумм нового ряда будет отличаться от после­ довательности частичных сумм старого ряда лишь пов­

конечное число новых членов, то сходимость ряда не

членов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

U1 + U2 + ..: + U n + . . .

— наш исходный -ряд. В те места, в которые по усло­ вию теоремы надлежит вписать новые члены, впишем пока нули. По предыдущей теореме от такой операции не изменяется ни сходимость ряда, ни его сумма. Пусть

—получившийся при этом ряд. Составим теперь еще один ряд

в котором на тех номерах, на которых в (2.34) стоят «старые» члены, находятся нули, а на тех местах, где в (2.34) стоят вписанные нули, расположены в надле­ жащем порядке «новые» члены. Сумма ряда (2.35), оче­ видно, равна сумме «новых» членов.

сходится вместе с рядом (2.34), и сумма его получается сложением суммы ряда (2.34) и ряда (2.35).

Нам остается заметить, что (2.36) и есть тот самый ряд, который получается путем вписывания в исходный

З а м е ч а н и е . О сходимости ряда судят по его чле­ нам. Однако, как было только что выяснено, сходимость ряда не зависит от любого конечного числа членов ряда. Поэтому для установления сходимости (или рас­ ходимости) ряда не обязательно учитывать все его члены. Достаточно ограничиться членами, «начиная с некото­ рого места» или «начиная с некоторого номера л». Этим обстоятельством мы будем часто пользоваться в даль­ нейшем.

!) Более непосредственное (хотя едва ли более простое) дока­ зательство этого же утверждения основано на том соображении, что в ряде (2.34), начиная с некоторого места, будут встречаться только «старые» члены. Воспроизведение этого доказательства во всех деталях будет для читателя полезным упражнением.

Г Л А В А 3

РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Признаки сходимости рядов

Существует довольно много приемов, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Все эти приемы называются признаками сходимости. В на­ стоящее время известно большое число различных при­ знаков сходимости рядов. С некоторыми из них мы уже успели познакомиться. Так, например, сходимость ряда можно установить, составив последовательность его частичных сумм и выяснив, имеет ли эта последователь­ ность конечный предел. Этот прием, очевидно, является необходимым и достаточным признаком сходимости рядов. Другим необходимым и достаточным признаком сходимости является критерий Коши (см. § 5 главы 2). Стремление к нулю члена ряда по мере роста его. номера также является признаком сходимости ряда, уже только необходимым, но не достаточным (см. § 6 главы 2).

К числу признаков сходимости можно отнести также всякого рода теоремы, позволяющие сводить выяснение вопроса о сходимости некоторого данного ряда к ана­ логичному вопросу о другом ряде, который устроен более просто или хотя бы более знакомый.

Эти теоремы обычно состоят в сравнении членов исследуемого ряда с членами другого ряда, поведение которого уже выяснено. Поэтому они называются при­ знаками сравнения. По существу, все рассматриваемые в этой главе признаки сходимости являются такими при­ знаками сравнения. В некоторых из них производится сравнение исследуемого ряда с некоторыми стандартными рядами (например,' с геометрическими прогрессиями).

ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ

(ввиду сходимости обоих рядов оба написанных пре­ дела существуют), т. е. s ^ t .

Пусть теперь ряд (3.1) расходится. Это значит, что его частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, в силу (3.4), должны неограниченно возрастать и частичные суммы ряда (3.2), который тем самым рас­ ходится.

П .р и м е р ы.

1. Рассмотрим ряд

і + . . . (3.5)

(мы будем в дальнейшем называть его рядом «обратных квадра­ тов»). Отбросив первый член этого ряда (что, как известно, не сказывается на его сходимости),- сравним его с рядом

сходимость которого нами уже была установлена. Мы видим, что (я+1) *• <~•- л ( /1 і + 1 Г

Следовательно, н ряд (3.5) сходится. Как будет видно далее

(см. § 11 главы 9), сумма этого ряда равна -g-.

2. Рассмотрим ряд

Члены этого ряда не превосходят соответствующих членов гармо­ нического ряда. Поэтому для доказательства расходимости гармо­ нического ряда достаточно - установить расходимость ряда (3.6). Чтобы. сделать это, объединим группа одинаковых членов ряда

в каждой группе равна ѴгНовый ряд получается таким:

1 + 1 + 1 + 1 +

Поскольку

і1 1

члены ряда (3.8) больше соответствующих членов гармонического ряда. Поэтому ряд (3.8) расходится.