книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

и при любом большем номере, чем п, т. е. при любом номере вида п-\-т, это неравенство также будет иметь место:

т. е. требуемое неравенство (2.6).

Д о с т а т о ч н о с т ь оказывается фактом, существенно более сложным (доказательство проводится здесь для слу­ чая вещественной последовательности; доказательство в комплексном случае отличается лишь малосуществен­ ными деталями).

Пусть по любому ,е>-0 найдется такое я, что для всех m выполняется неравенство (2.6). Это значит, что все члены последовательности (2.5), за исключением,

Значит, последовательность (2.5) оказывается ограни­ ченной. Поэтому в ней найдется подпоследовательность, сходящаяся к некоторому пределу s.

В целях полноты изложения приведем доказательство этого факта.

Обозначим сегмент (2.9) через [А0, В0]. Он содержит беско­ нечно много членов последовательности (2.5). Разобьем этот сег­ мент на две половины:

[ л 0 , 1 ( Л + 50 )] и [ у ( Л 0 + Я0 ), Я 0 ] ,

выберем ту из них, в которой окажется бесконечно много членов последовательности (2.5), обозначим ее через [Alt и снова раз­ делим пополам. Будем продолжать такой процесс деления отрезка пополам и выбора половины, содержащей бесконечноечисло членов последовательности (2.5), неопределенно долго.

В результате мы получим бесконечную последовательность вло­ женных друг в друга сегментов

Каждый из этих сегментов содержит бесконечно много членов по­ следовательности (2.5). Поэтому из каждого сегмента [Лд., В^] можно выбрать член последовательности s„A так, чтобы все выби­ раемые члены были различными.

Очевидно,

Л ^ Л і ^ - - < В 0 - Значит, последовательность чисел

Ло, Ai, А%...

монотонно неубывающая и ограничена сверху. Поэтому она имеет предел lim Ak. По аналогичным причинам существует предел

lim ßft. Далее, очевидно,

Ak^Snk^Bk.

При неограниченном возрастании k крайние члены этого неравен­

ства стремятся к общему пределу s. Следовательно, lim s„. также существует и равен s

Допустим теперь, что в последовательности (2.5) найдутся две подпоследовательности,

Sn'i' ^п'а''">

сходящиеся к различным пределам s' и s". Возьмем

8 < 1 | S ' - S " |

и найдем на основании условия теоремы такое п, что при всех m

32 ГЛ. 2. Ч И СЛОВЫЕ РЯДЫ . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

Кроме того, найдем на основании определения пре­ дела такие n'k- и пЪ"> что при любом п\ > riw

Il d — s„-k I I < e,

а при любом ni > til"

s — s „ » | < s .

Эти неравенства справедливы при всех достаточно боль­ ших номерах п'к и п%. Поэтому среди этих номеров най­ дутся и такие, которые более, чем п. Возьмем п'к = п +

- f ni и пІ — п-\-т". Мы имеем

I S/1 + m' — S„ j <C B,

|s„+ m » — s „ | < e .

сходился, необходимо и достаточно, чтобы последова­ тельность его частичных сумм

Sli І2> • • • > S„, . ..

ГЛ. 2. Ч ИС ЛО ВЫЕ Р Я Д Ы . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

П р и м е р . Ряд

Выведенный признак сходимости является необхо­ димым, но не достаточным: в дальнейшем мы познако­ мимся с многочисленными рядами, для которых limu„ = 0,

/ і - » - о э

но которые тем не менее расходятся.

§7. Желательность систематической теории

Впринципе мы могли бы при изучении сходимости числовых рядов ограничиться сказанным и исследовать каждый ряд с точки зрения критерия Коши. Однако

бы при этом использованием индивидуальных особен­ ностей каждого из изучаемых рядов, и вместо теории мы имели бы просто коллекцию разрозненных задач. Не­ сколько шагов по этому пути было сделано в главе 1, посвященной прогрессиям. Но то, что оказалось при­ годно для иллюстративных целей, совершенно нетерпимо при систематическом построении математической теории.

Поэтому мы сейчас займемся не столько установле­ нием сходимостей или расходимостей отдельных рядов, сколько выяснением связей между поведением одних

Выполняя эту программу, начнем с доказательства нескольких простых теорем, которые, по существу, яв­ ляются непосредственным перенесением простейших те­ орем о пределах на последовательности частичных сумм рядов.

§ 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм

Т е о р е м а 1 (ассоциативный закон для сходящихся рядов). Если в сходящемся ряде

т. е. все частичные суммы ряда (2.14). Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2.14) ока­ зывается подпоследовательностью последовательности

2*

П р и м е р . Выясним сходимость и найдем сумму ряда

Sj = S 2 + « 3 = — + -- = 1,

Вообще для п четного: n = 2k

_ . 1

S« * - 1 - Ä + T '

адля п нечетного: гс=2й+1

S2A + 1 =

Совершенно ясно, что

lim s „ = l ,

Л - f с о

так что ряд (2.18) сходится. Но тогда по доказанной теореме схо­ дится и ряд (2 17), получаемый попарным объединением членов ряда (2.18), и сумма этого ряда также равна 1.

З а м е ч а н и е . Подчеркнем, что из сходимости «скон­ центрированного» ряда (2.14) сходимость «редкого» ряда (2.13) может и не следовать, как и вообще на основа­ нии сходимости одной какой-либо подпоследователь­ ности еще нельзя утверждать о сходимости всей после­ довательности.

П р и м е р . Если в ряде

объединить попарно соседние члены:

•Ч)+('Ч)+--К'-і Шіг)+--

то мы получим ряд

1 . 1 . . 1

1-2 ' 2-3 1 *•• 1 n(rt+l) г ' " '

сходимость которого была установлена в предыдущем примере. Однако исходный ряд не сходится, потому что для него, как

легко проверить,

38 ГЛ. 2. Ч И С ЛОВЫ Е РЯДЫ . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

так что

(2.13). Действительно, для ряда с положительными чле­

сходится какая-либо ее подпоследовательность, напри­ мер (2.16).

то последовательностью частичных сумм ряда (2.21), очевидно, будет

из существования предела слева (которое означает схо­ димость ряда (2.20) при с Ф 0) следует существование предела справа (т. е. сходимость ряда (2.21)) и ра­ венство (2.22). Наоборот, из существования предела