книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

считая, что г есть комплексное число, по модулю рав­

Из равенства (1.18) двух комплексных чисел сле­ дует равенство их вещественных частей. Но согласно формуле Муавра при любом k—i, 2, ...

zk = cos fop + i sin k<p,

и поэтому левая часть (1.18) есть

(cos ф -f- i sin ф) — (cos 2ф + / sin 2ф) + . . . +

+ (—1)"+1 (COS Пф + / Sin Пф)..

Найдем теперь вещественную часть правой части (1.18). Подставим для этого в правую часть (1.18) вместо г его выражение (1.19):

cos ф + t a n ф — (— 1)" (cos (п + 1 ) ф + t sin (л +1) ф) І + О К ф + І З І П ф

Умножив числитель и знаменатель этой дроби, на выра­ жение, сопряженное знаменателю, мы получим

Вещественная часть числителя этой разности равна

cos ф + cos2 ф + sin2 ф — ( — 1)" (cos (п + 1) ф +

+ cos (п + 1) ф cos ф + sin (п + 1) ф sin ф),

Итак, оказывается, что не только степенями можно описывать функции, совершенно непохожие на поли­ номы, но и «бесконечной суммой» синусов кратных дуг (разумеется, если эти синусы берутся с нужными коэф­ фициентами) можно совершенно точно описать линей­ ную функцию, которая на первый взгляд не имеет с тригонометрическими функциями ничего общего.

Формула (1.22) получена нами для любого / œ [О, я). Из нечетности функций, стоящих в обеих ее частях, следует, что она верна и при tŒ(—я, 0], т. е. для любого t е= (— я, я).

Заметим, что при t = ±n все проведенные рассуж­ дения перестают быть справедливыми. Более того, сама окончательная формула (1.22) становится при этом неверной; действительно, при / = ± я все синусы в (1.22) обращаются в нуль, тогда как справа оказыва­ ется отличное от нуля число

Обратим, однако, внимание на то обстоятельство, что при ^ = ± я левая часть (1.22) равна полусумме значений, которые правая часть принимает при t = n

иt = — я .

-Как мы увидим далее (в главе 9), все перечислен­ ные в этом параграфе факты являются проявлениями весьма общей закономерности.

*

В сущности, в этой главе мы, работая с прогрес­ сиями, познакомились в общих чертах со всеми основ­ ными идеями курса теории рядов. Все дальнейшее будет лишь обобщением, уточнением и разработкой уже сказанного.

ражение этой функции часто называют «общим» членом ряда. Например, «общим» членом геометрической про­ грессии a, aq, aq'1, ... является aq"-'1.

Само по себе выражение (2.2) никакого определенного смысла не имеет, потому что действие сложения в своем непосредственном содержании имеет дело каждый раз лишь с конечным числом слагаемых. Этот смысл выра­ жению (2.2) предстоит приписать нам самим. Очевидно, это следует сделать так, чтобы «бесконечная сумма» (2.2),

анализа те или иные реальные факты и помогала бы ре­ шать задачи. Из последней фразы видно, что в определе­ нии смысла выражения (2.2) содержится некоторый про­ извол: мы можем по-разному понимать сумму (2.2). Фор­ мулировки различных таких пониманий, и сопоставления их друг с другом представляют большой интерес, как те­ оретический, так и практический. Мы, однако, в настоя-

26 ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ понятия

щем курсе ограничимся рассмотрением только одной та­ кой формулировки, пожалуй, наиболее естественной.

не имеет (в частности, если члены последовательности

новлении сходимости или расходимости тех или иных ря­ дов и в вычислении сумм сходящихся рядов.

В принципе можно доказывать сходимость или расхо- , димость каждого ряда, а также вычислять сумму сходя­ щегося ряда, опираясь непосредственно на определения сходимости и суммы. Именно, в каждом случае можно попытаться составить аналитическое выражение для п-й частичной суммы ряда и найти предел этого выражения

Сделаем, однако, два замечания:

Во-первых, только что описанный «естественный» путь часто оказывается весьма неудобным из-за трудности яв­ ного вычисления частичных сумм ряда и нахождения пре­ дела их последовательности.

Во-вторых, нередко при исследовании рядов значения частичных сумм не представляют интереса и после реше­ ния задачи превращаются в «отходы производства». Более того, иногда не нужна даже сумма ряда, а все исследо­ вания ведутся лишь ради установления самого факта сходимости или расходимости ряда.

Ввиду сказанного представляют интерес методы ана­ лиза рядов, приводящие к их суммам непосредственно, минуя вычисление частичных сумм. Точно так же оказы-

28 ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ Р Я Д Ы . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

ваются полезными приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы.

Например, если все члены ряда

«і + и2 + . .. + «„ + .. .

сходимости ряда, необходимо и достаточно, чтобы все частичные суммы были ограничены в совокупности, т. е. чтобы нашлось такое число M, что s„ < 7 И при любом п.

Приемам и методам такого рода посвящена значитель­

Предел слева есть сумма s исходного ряда, а предел спра­ ва — сумма гп его л-го остатка. Ясно, что из существова­ ния предела в левой части равенства следует существова­ ние другого предела в правой его части и наоборот. По­ этому если сходится один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. Точно так же из сходимости ряда следует сходимость каждого его остатка.

суммы остатка. Поэтому чем меньше сумма остатка

Так как это равенство справедливо для любого га, мы

Но для сходящегося ряда

Hms„ = s,

п - юо

откуда следует, что

lim г„ = 0.

п-»оо

§4. Принцип сходимости Коши

Напомним одну важную, но довольно деликатную теорему из теории пределов, называемую принципом

тельность (2.5) имеет конечный предел s. Это, в част­ ности, означает, что для любого е > 0 найдется такое п\