книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие
.pdf200 |
ГЛ. 11. |
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
||
П р и м е р . Разложить |
в интеграл |
Фурье нечетную функцию |
||
f (х), для |
которой |
|
|
|
|
|
если I X I < |
/, |
|
|
|
в |
противном случае |
|
(график |
этой функции см. на |
рис. 13) |
|
|
1-
/ \
1
-1-
X
|
|
|
|
|
Рис. 13. |
|
|
|
|
|
|||
Ясно, что функция / (*) |
ограничена, |
абсолютно |
интегрируема |
||||||||||
и удовлетворяет условиям Дирихле там, |
где это |
нужно. Перехо |
|||||||||||
дим к вычислению внутреннего интеграла |
|
в формуле |
(11.13). |
||||||||||
Мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ {а)=\ |
f (0 |
sin |
at |
dt=z\t |
sin at dt |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
или, интегрируя |
no |
частям, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
I cos |
at |
, |
sin al |
|
/ (a) = |
—t |
cos |
at |
A |
\ |
cos |
at dt = |
- |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
' |
a |
|
|
I |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
COal |
cos al |
— sin |
al sin ax |
da. |
|
|
|||
Эта' формула справедлива |
для всех значений х, за исключением |
||
х=± |
I. (Для х — ± |
I значение правой части формулы будет вдвое |
|
меньше значения ее |
левой |
части.) |
|
§ 5. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ |
201 |
§ 5. Комплексная форма интеграла Фурье
Вернемся к интегральной формуле Фурье (формула (П.8))
СО , СО \
/ М = 2д S J /(0cosa(* - 0d*)d a (11.14)
— оо \—со /
и применим к имеющемуся в этой формуле косинусу формулу Эйлера:
|
cos а (х - 1 ) = \ |
(еіа |
|
+ |
е-'а'(*"<>). |
|||
Мы получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пх)==к |
СО у со |
|
|
|
|
, |
||
\ \ |
f(t)(eiaW |
+ |
|
|
e-*W)dt\da, |
|||
|
|
— СО \ — с о |
|
|
|
|
/ |
|
ИЛИ |
i |
S |
S nt)eia^dt\da |
|
|
|
||
/ W = = |
|
|
+ |
|||||
|
-со |
V—со |
|
/ |
со |
i |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
й |
S |
|
S |
f(t)e-!^x-')dt\da. |
|
|
|
|
|
— OD \ — CO |
|
||
Здесь, |
как нетрудно |
убедиться |
подстановкой z —— ce, |
|||||
интегралы, стоящие в правой части, равны друг другу. Поэтому
|
|
СО |
, СО |
i |
|
П х ) |
= к |
\ |
\ f(t)eia(X-t] |
dt\da. |
(11.15) |
|
|
— ce \—оо |
/ |
|
|
Полученная |
формула |
называется разложением функ |
|||
ции f (х) в интеграл |
Фурье в комплексной |
форме. |
|||
Пр и м е р ы .
1.Найдем интеграл Фурье в комплексной форме для уже рассмотренной нами в § 3 функции
Г1 д л я | * | < / ,
' 1 ' \ 0 для \х I > I.
202 |
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
В этом случае вычисление внутреннего интеграла п правой части формулы (11.15) дает нам
I |
I |
' |
|
\ e ' a i - v ~"d(= - |
Lei'a< |
-, JL (еіа ix-h eia |
ix+ln _ |
|
|
—i |
|
|
|
eiax gial g-ial |
eiax |
|
|
|
2 sin al. |
Поэтому формула (11.15) приобретает в данном случае следую щий вид:
1 С È L ^ e i a x d a
2. Разложим в интеграл Фурье в комплексной форме функ- _ £f
цию f(x) — e 2 (см. рис. 14). f(X)
ОX
Рис. 14.
Мы имеем
с о |
/» |
со |
(t |
с |
о |
; г |
( а ( |
|
|
- |
_ |
і _ _ |
|||
^ g |
"2 giaix-t, d t = ^ |
|
— ~ + iax—iat |
|
fi |
2 |
dt= |
е2
-op
со |
tax~ |
f |
-Itf+ia), |
|
dt.
Последний интеграл является функцией от а. Обозначим его через /(а) и вычислим его. Мы имеем
/(а) = J |
dt= lim \ е |
— 00
или, делая подстановку
(-{-іа = г,
мы получим
/ (а)= lim |
\ е |
dz. |
-A+la
§ 5. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ |
203 |
Продифференцируем это тождество по а. Ввиду того, что сходимость к пределу является по а равномерной в любом конеч ном промежутке, дифференцирование под знаком предела законно. Мы имеем
d |
|
|
'4- |
А + |
іа" |
, |
/ (а) = |
lim |
[ |
е |
2 * dz. |
||
da |
; |
A-*œ |
da |
J |
|
|
|
|
|
|
— A~+ia |
|
|
Выполняя дифференцирование интеграла по верхнему и нижнему пределам, мы получаем
1 ( а ) = |
hm \іе * |
—ie 1 |
j t |
da, |
A-+03 |
|
|
a вспоминая формулу (7.14) и переходя к пределу, будем иметь
^ / ( а ) = 0. |
. |
Следовательно, первообразная функция должна быть постоянной:
/ (а) = const.
В частности, должно быть
/ ( а ) = / ( 0 ) .
Вычислим интеграл / (0). Запишем |
его для этого дважды: |
|||
со |
_ * ! |
|
со |
_УІ |
/ ( 0 ) = $ е |
2 dx, |
/'(0)= |
$ |
е 2 dy, |
—со |
|
—со |
|
|
и перемножим почленно эти равенства. Мы получим
со |
СО |
• |
оо |
со |
+ |
/2(0)= J е |
2 dx 5 е |
2 <ty = |
j |
5 е |
2 d * йУ- |
— со |
— 0 0 |
|
—оо—оо |
|
|
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, мы имеем
2я , оо n , |
ѵ |
\ |
со |
п , |
|
2я |
p« |
|
0 0 |
p« |
|
<Іф = |
|
" < 0 ) i ü |
|
|
|
|
|
|
|
У |
о ' |
' |
о |
||
= 2 я | — e 2 | j = 2re,
откуда
/ ( 0 ) = " ^ .
204 |
ГЛ. И. ИНТЕГРАЛ |
ФУРЬЕ |
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
'3 |
i a |
- t , ^ |
|
|
1 |
, |
(11.16) |
^ е |
|
|
сах—тг |
"*|^2й, |
||||
|
2 e I X |
d i |
e |
l a x |
2 |
а' |
|
|
|
|
|
||||||
—с о
иискомым разложением в интеграл Фурье является
|
|
х3 |
|
1 • |
0 0 |
I |
|
|
|
|
|
е |
2 |
= |
\ е |
2 |
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ2п |
—Jс о |
|
|
|
|
|
§ 6. Понятие |
о преобразовании Фурье |
|
||||||||
Перепишем |
формулу |
(11.15), |
заменяя |
а |
на |
—а, |
||||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
СО |
/ |
с о |
|
V |
|
|
|
И положим |
|
— с о |
\ |
— с о |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ г |
5 f(t)e™dt |
= F(a). |
|
(11.17) |
||||
|
|
|
— с о |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, очевидно, будет |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ± = |
$ F(a)r*"d a = /(*). |
|
(11.18) |
||||||
|
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Переход от функции f (х) |
к функ |
||||||||
ции F (а), |
описываемый |
формулой |
(11.17), |
называется |
||||||
преобразованием |
Фурье функции, |
f (х). Часто преобразова |
||||||||
нием Фурье функции / (х) называется сама функция |
F (а). |
|||||||||
Обратный |
переход |
от функции |
F (а) к функции |
f (х), |
||||||
описываемый формулой (11.18), называется обратным преобразованием Фурье. Также обратным преобразова нием Фурье функции F (а) называется функция f (х).
П р и м е р . |
Вообще |
говоря, сами функции имеют мало общего |
с функциями, |
которые |
являются их преобразованиями Фурье. |
Одной из немногих функций, совпадающих со своими преобразо ваниями Фурье, является
§ 7. КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ |
205 |
В том, что для этой функции действительно
нас убеждает второй пример из предыдущего параграфа. В самом деле, в этом случае мы имеем
|
|
со |
|
со |
|
|
|
^а |
F |
(а) =-4=- |
[ f(t)eia'dt^-)= |
[ |
— U |
е~ |
* е^1 dt = |
||
|
Ѵ2п |
J |
V2n |
J |
Ѵ2л |
|
||
|
|
|
|
-co |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
^ |
e |
2 |
eW |
dt, |
или, |
пользуясь |
формулой |
(11.16), полагая |
в ней х — 0 и заменяя |
||||
а на |
— а , получаем требуемое. Перечисление остальных функций, |
|||||||
совпадающих со своими преобразованиями |
Фурье, |
является более |
||||||
сложным делом, на котором мы не будем останавливаться.
|
§ 7. Косинус-преобразование |
Фурье |
|
|||||
Пусть |
f (х)— четная |
функция. |
Вспомним |
формулу |
||||
(11.12) |
|
|
со , со |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/ (х) = 4 |
W [ f (t) cos at dt\cos |
axda, |
|
||||
|
|
|
о |
\o |
|
/ |
|
|
перепишем ее в виде |
|
|
|
|
||||
f(x) = y |
\ |
П | / |
- | J / (/) cos а / Л | cos «je da |
(11.19) |
||||
и положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
F (а) = |
§ f (t) cos at dt. |
|
(11.20) |
|||
Тогда (11.19) даст нам |
о |
|
|
|
||||
со |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f W = |
]A| |
\ F ( a ) cos axda. |
|
(11.21) |
||
|
|
|
|
|
о |
косинус-преобразование |
||
Формула |
(11.20) |
определяет |
||||||
Фурье четной функции f (х), приводящее к функции F (а),
также называемой косинус-преобразованием |
функции |
f(x). Формула (11.21) определяет обратное |
косинус- |
преобразование. |
|
206 |
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
§ 8. Синус-преобразование Фурье
Для нечетной функции j (х) мы можем сослаться на формулу (11.13)
со |
, со |
. |
f (х) — -|- ^ |
К |
f (t) sin at dt\sin ax da |
о\o
ипо аналогии с предыдущим определить синус-преобра зование Фурье
оо
о
и обратное синус-преобразование
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (х) = |
|
|
^ ® ( а ) s ' n а х |
аа" |
|
|
|||||
П р и м е р . |
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
||||||
определенную |
только для |
х > |
0. |
Последнее |
означает, |
что мы мо |
||||||
жем, продолжая нашу |
функцию |
/ (*) |
на |
область отрицательных |
||||||||
значений по четности |
или |
по |
нечетности, |
найти |
как косинус-пре |
|||||||
образование этой функции, так и ее |
синус-преобразование. |
|||||||||||
Для "косинус-преобразования |
мы имеем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
F |
(а) = |
" J / |
| - |
^ e-ß' cos at |
dt. |
|
|
||||
Вычисляя |
последний |
интеграл |
двукратным |
интегрированием |
||||||||
по частям (подобно |
тому |
как |
вычислялся |
интеграл |
в примере |
|||||||
в § 2), мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß 2 |
+ c |
|
|
|
|
Аналогично для синус:инус-преобразования :этой функции-
§ 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |
207 |
§ 9, Спектральная функция
Положим
со
— со
Тогда
оо оо со
F{a)eiaxda |
= ^ |
J J f (t) e!a |
(x~() dt da. |
|
—со |
|
—со —оо |
есть |
f(x). Таким |
В силу (11.15) последний |
интеграл |
|||
образом, |
со |
|
|
|
f(x)= |
F (a) eiax da. |
|
(11.22) |
|
\ |
|
|||
|
—со |
|
|
|
С механической точки зрения функция е1ах |
при любом |
|||
значении а описывает некоторое гармоническое колеба ние. В соответствии с этим интегральное представление (11.22) функции f(x) можно понимать как представление описываемого этой функцией движения в виде бесконеч ной непрерывной системы независимых колебаний с раз личными частотами. Функция F (а) показывает при этом, с какой интенсивностью происходят колебания, соответ ствующие различным значениям а. Нетрудно проверить (это делается совершенно так же, как в § 11 главы 9 для случая рядов Фурье), что модуль |F(a)| есть амплитуда колебания, соответствующего данному значению а.
Функция F (а) называется спектральной |
функцией |
для исходной функции f(x). |
|
Николай Николаевич |
Воробьев |
ТЕОРИЯ РЯДОВ |
|
(Серия: «Избранные главы высшей математики для инженеров п студентов втузов»)
М., І973 г., 208 стр. с илл.
Редакторы А. С. Чистопольский, |
M. М. |
Горячая. |
|
Техн. редактор С. Я. |
Шкляр. |
||
Корректор Я. Б. |
Румянцева. |
|
|
Сдано в набор 23Д 1973 г. Подписано к печати 6/Ш 1973 г. Бумага 84ХІ08'/з2, тип. Лі 2. Физ.
печ л. 6,5. Условн. печ. л. 10,92. Уч.-пзд. л. 10,95. Тираж 35 ООО экз. T-007S3. Цена книги 38 коп.
Заказ 671.
Издательство «Наука» Главная редакция
физико-математической литературы 117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград ская типография Jfl 1 «Печатный Двор» имени
A.M Горького Союзполнграфпрома при Го
сударственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книж ной торговли, Ленинград, Гатчинская ул., 26.
