Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

190

ГЛ. 10. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

где С„ — коэффициенты u разложении

функций / (х) в ряд

Фурье

по синусам,

D„ — коэффициенты

разложении в

ряд

Фурье

по синусам функции

q> (х).

Нетрудно

убедиться в том,

что

разложением

в ряд

по

сину

сам в данном

случае

будет

f (х) = sin3

х =

sin ЗА;,

-г sin X—j

так что Ci =

-4,

С3 — — - у ,

а остальные

коэффициенты

С„

обра

щаются в нуль.

Из

(10.20)

видно,

что коэффициенты

D„ разло

жения должны быть равны нулю.

Таким образом,

в данном случае

. кх

ал .

1 .

Зпх

Зал .

и(х,

і) =

sin - у - COS - у - t —

sin

— j — C O S - j -

Полученный ряд является конечной суммой, и потому все вопросы, связанные с его сходимостью и почленным дифферен цированием, решаются тривиальным образом.

Г Л А В А 11

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§ 1. Представление фупкций интегралом Фурье

Представление функции / (х) в сегменте [— /, /] рядом Фурье

			со
	т = т + 2 ( f l « c o s T * + 6 * s i n T * )						< 1 U >
можно	истолковать		следующим		образом. Если		функция
/ (х) в	сегменте [—		/] является			«достаточно	хорошей»
(именно, если она в этом промежутке удовлетворяет
условиям Дирихле), то для				того,		чтобы ее в	этом	сег
менте полностью описать, достаточно указать некоторый,
вполне определенный набор ее характеристик, коэф
фициентов		Фурье:
			i
			« 0 = } \	fit)	dt,
			—I
e „ = j		^ fWcosOptdt				( n = l , 2,...),		(11.2
		— /
6 » = 4		J f (t) sin ftdt			( n = l , 2 , . . . ) ' .
(Мы сейчас		намеренно допускаем				некоторую	грубость
в изложении и не			касаемся	того		факта, что	описание

192		ГЛ.	11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
функции ее рядом Фурье в точках					разрыва может и не
оказаться	исчерпывающим.)
Таким	образом,		коэффициенты		Фурье	несут в себе
достаточно	информации			о поведении функции в			соот
ветствующем		конечном		сегменте,	сколь	бы велик он
ни был.							f(x)
Частоты		гармоник		ряда Фурье	(11.1)	функции
на сегменте		длины	21 составляют		последовательность

которая является арифметической прогрессией с раз ностью у .

Заметим, что при увеличении числа /, т. е. при уве личении длищл сегмента разложения функции, разности между частотами соседних гармоник уменьшаются, т. е. гармоники начинают идти все более густо.

Положение дел резко изменяется, если сегмент раз

ложения	функции,	неограниченно расширяясь	в	обе
стороны,	охватывает	всю вещественную прямую	и прев-
. раздается	в бесконечный промежуток (— со, +			оо).

В этом случае естественно ожидать, что разность между

частотами	соседних гармоник будет убывать до нуля,
т. е. что	последовательность гармоник	из дискретной,
состоящей	из отдельных изолированных	чисел, превра

тится в непрерывное множество всех вещественных неот рицательных чисел. Естественно предположить при этом, что вместо ряда Фурье нам придется рассматривать некоторый интеграл. Этот интеграл, к рассмотрению которого мы сейчас перейдем, называется интегралом Фурье.

Очевидно, для представимости функции интегралом Фурье в бесконечном промежутке (— со, + с о ) эта функ ция должна удовлетворять некоторым условиям, подоб ным условиям-Дирихле, а кроме того, и еще некоторым

дополнительным условиям, необходимым для избежания 12 возможных неприятностей, возникающих в связи с тем, что при неограниченном возрастании / все интегралы вида (11.2) оказываются уже несобственными и об их сходимости требуется позаботиться специально.

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

193

§ 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье

Пусть функция f(x), определенная на бесконечном промежутке ( — с о , +оо), удовлетворяет следующим усло виям:

1) существует несобственный интеграл

1 \f(x)\dx=Q

(это свойство функции f (х) называется ее абсолютной интегрируемостью);

2) в любом конечном сегменте функция / (х) разлага ется в ряд Фурье (практически достаточно потребовать, чтобы функция в любом конечном сегменте удовлетворяла условиям Дирихле).

При соблюдении этих условий мы можем рассуждать следующим образом.

Фиксируем некоторое произвольное / и напишем раз

ложение функции	f(x) в ряд Фурье в сегменте	[—/, / ] :
	со
fw=!+	2 ( û « c o s ^ * + M i n ™ * ) ;	( п . з ) .
	n=l

где коэффициенты определяются по формулам (11.2). Ясно, что при этом коэффициенты ап и Ьп зависят не только от функции f (х), но и от параметра / (значение / фигурирует в пределах интегралов в формулах (11.2)).

Подставим теперь в ряд (11.3) выражения для коэф фициентов, даваемые формулами (11.2). Мы получим

f M = 4 \ fWdt+2		{{тІ f(t)™s^tdt)cos^x +
- l	n=l	W - I	J

+ U J / ( O s i n ^ / A i n f X

194		ГЛ.	11.	ИНТЕГРАЛ		ФУРЬЕ
ИЛИ
/ ( * ) = 4 5		f(t)dt+
-I
со		I		П 1		ПП ,- . ПК , . ЛЯ \ ,,
. I V		f t / л /		П 1		ПП ,- . ПК , . ЛЯ \ ,,
+ у У		\ f (t)l	cos-jt c		o	s х + sin у г! sin-у xjdt
n =		l—l
или
		/		оо	I
f ( * ) = 4	$	f(t)dt	+	j 2	§	f(t)cosf(x-t)dt.
	—I			n=\—l

Вводя зависящую от n переменную a„ = a:

	ЯЯ						1Л 1 1!
	т	=	а„ =	а,			(11.4)
и полагая
«fi+i — « я =	( я + 1 ) я			ял	Я	=	д
«fi+i — « я =		z		7- =	T	=	A a ,
имеем
'	со	/	г				V
f ( * ) = 4 [fWdt + l	2		^ f ( O c o s a n ( ^ - 0 ^ Да.
— /	л =	1 V—.					/
							(11.5)
По мере возрастания		/	интеграл
I
^	f (t) cos a (x — t) dt
— i

все меньше отличается от несобственного интеграла

го

$ f (t) cos a(x — t) dt.

— 00

Кроме того, сумма, стоящая в правой части формулы (11.5), напоминает интегральную сумму. В ней с ростом / число слагаемых увеличивается, а каждое слагаемое уменьшает свой «удельный вес». Поэтому естественно предполагать, что при возрастании / эта сумма в (11.5)

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

1 9 5

)

стремится

к интегралу по а:

со /

со

f (t) cos а (х-1)

dt)da.

О \—со

Далее,

первое

слагаемое в (П.5) справа по мере

роста / стремится к нулю. В самом деле,

±Л

f(t)dt

< 1

Ç | f ( 0 | d ^ l Q - 0 .

— /

Таким

образом,

пределе,

при / - >оо ,

формула

(11.5)

превращается

в следующую:

со

f ( x ) = | j

\ f {t) cos а {х-t)dt\da.

(11.6)

Ѵ_ со

Эта

формула

называется

интегральной

формулой

Фурье,

а стоящий

в ней интеграл — интегралом

Фурье.

Представление функции

виде

правой

части

формулы

(11.6)

обычно

называется

разложением

этой

функции

в интеграл

Фурье.

Ясно,

что

все

только что сказанное

здесь

касалось

только

тех точек

х,

в которых функция

непрерывна.

-Для точек разрыва / справедлива,

как и в случае ря

дов Фурье, интегральная формула, описывающая полу

сумму пределов функции справа и слева:

flx+0)+Hx-0)_j_

г / л с 0 8 с ф _ г ) # Ы а .

(11.7)

Итак, мы приходим к формулировке

следующей тео

ремы.

Если

функция

f(x)

на беско

Т е о р е м а

Ф у р ь е .

нечном

промежутке

(—оо, +оо) является

ограниченной

и абсолютно

интегрируемой,

а в каждом конечном

про

межутке

удовлетворяет

условиям

Дирихле,

то

для

любого x имеет место равенство (11.6), если х есть

точка

непрерывности

функции

f(x),

и равенство

(11.7),

если x

есть

точка

разрыва

этой

функции.

196	ГЛ. 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Заметим,	что в формуле (11.6) внутренний	интеграл
представляет	собой некоторую функцию от а.	Так как
эта функция	зависит не от самой переменной	a, a от

ее косинуса, она должна быть четной. Поэтому мы мо жем формулу (11.6) переписать в следующем виде:

со / со \

f(x) = %ï Ç \ ! (О cos а ( х - О Л) da. (11.8)

— СО ^— СО '

Мы привели правдоподобные соображения в пользу справедливости теоремы Фурье, которые, разумеется, нельзя считать ее доказательством. Доказательство тео ремы Фурье довольно сложно и выходит за пределы нашего курса.

П р и м е р . Пусть

(е - *, если * > 0 ,

ѵ\0, если x < О

(график функции f (х) изображен на рис. 11).

f(X)

	0	X
	Рис. 11
Очевидно, что при любом		* > 0
	е ~ * < ; 1
и
со	со	со

\\f(x)\dx=\e-xdx=—e-x\=l.

— со

Следовательно, функция f (х) в промежутке (—со, +оо ) является ограниченной и абсолютно интегрируемой.

§ 3. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИИ

197

Кроме того, функция ё~х монотонно убывает, и потому функ ция f(x) тривиальным образом удовлетворяет условиям Дирихле.

Из сказанного следует, что, согласно теореме Фурье, функция f (х) разлагается в интеграл Фурье согласно формуле (11.6). Выпи шем это разложение в явном виде (т. е. без внутреннего интеграла, стоящего в правой части этой формулы).

Мы имеем в рассматриваемом случае

	со			со
1 (x, а) =	j	f (t) cos a (x — t) dt=			J e~l cos a (x — t)	at,
	— CO			—CO
или, производя дважды			интегрирование по частям,
			со		со
/ (*, а) =	— е - ' cos a (x — t) \|			+ a	j е ч sin a (x—t) dt	=
			CO		CO
=cos ax — ae4		sin a (x — t) j — a 2			^ e~l cos a (x—t) dt=
				= cos ax-j-a sin ax—a2/		(x, a).
Отсюда следует, что
	/ (x, a) =		( c o s a * + a s i n a x ) -

Значит, формула (11.6) приобретает в этом случае следующий вид:

со
. . . 1 f	cos ах+a sin ах ,
fW = n\	І Т ^	d a -

§ 3. Интеграл Фурье для четных функций

Заметим, прежде всего, что при любом a

I cos	at\^l,
так что
I	t

\ |/(0cosfa|df< \ \ f{t)\dt.

Следовательно, если функция f(x) абсолютно интегри руема на бесконечном промежутке (— со, + оо), то

198 ГЛ. П. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

несобственный интеграл

со
$ fW) cos at dt	(11.9)
— со

существует. В силу аналогичных причин существует при любом а и несобственный интеграл

со
5 f(ffsinatdt.	(11.10)

— 00

Вспоминая, что

cos а (х — t) — cos ах cos at + sin ax sin at, перепишем формулу (11.6) в следующем виде:

СО , СО

f(x)=~ ^ f ^ / (t) cos at dt\tos ах da +

О V-OD		/
СО /	СО	1
+ І § (	§	/(0 sin of Л ) sin а* da.	(11.11)

Предположим теперь, что функция / (х) четная. Тогда четными должны быть все функции вида / (t) cos at и нечетными — все функции вида f{t)s'mat. Следова тельно, в этом случае все несобственные интегралы (11.10) обращаются в нуль, а для каждого из несобст венных интегралов (11.9) мы можем написать

СО	ОО
$	/ (/) cos at dt == 2 \ f (t) cos at dt.
- c o	О

Таким образом, в случае четной функции f (х) фор мула (11.11) может быть переписана как

СО /ОО " .

î{x) = ~ Ш	/ ( * ) c o s a / Ä ] c o s a * d a . (11.12)
О \ 0	v	/

П р и м е р . Разложить в интеграл Фурье четную функцию f (х),

где

f r x ) = ! 1'

е с л и

\ 0 в противном случае (график функции f (х) см. на рис. 12).

§ 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИИ

199

То, что функция / (х)		ограничена,		абсолютно интегрируема
в бесконечном промежутке		и	удовлетворяет		условиям	Дирихле
в любом конечном	сегменте,	проверяется		без	труда.
	f(X)
	9		/	9
				9
				i
	1			i
	I			i
	i			i	X
	-/		О	L	X
	-/		О	L
		Рис. 12.
Следовательно,	требуемое		разложение в		интеграл	Фурье су
ществует. Для его нахождения вычислим
оо			i

^ / (0 cos at dt = ^ cos at dt =-^- sin al.

оо

Таким образом, искомым разложением является

со

, . . 2 f f(x)= — \

я j

sin aï	cos ax da.
a


Эта формула	справедлива	для	всех значений х,		за	исключением
А - = ± ( . В этих двух исключительных				точках	интеграл Фурье
принимает значение, равное 1/2.
§ 4. Интеграл Фурье			для нечетных		функций
Если функция f (х)		нечетная,		то нечетной же будет
и функция	f (t) cos at	й	четной — функция			f (t) sin at.

Поэтому при нечетной функции f (х) в нуль обращается при любом значении a интеграл (11.9), а для интеграла вида (11.10) справедливо

со со

\ f (t) sin at dt = 2 \ f{t) sin at dt.

— оо

Следовательно, в случае нечетной функции f(x) формула (11.11) приобретает вид

f {t) sin at dt] sin ax da.

(11.13)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ