книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

Обозначив, наконец, отношение Т/р через а2, мы полу­ чим уравнение

которое и называется уравнением свободных колебаний струны.

§ 2. Начальные и граничные условия

Написанному уравнению удовлетворяет всякое сво­ бодное колебание струны, независимо от своего происхож­

себе, то характер ее колебаний будет один, а если, выведя из состояния равновесия, придадим ее точкам те или иные скорости,—то другой. Кроме того, непод­ вижное и подвижное закрепления концов струны при­ водят, как можно достаточно наглядно себе представить, к весьма различным ее движениям.

Из сказанного следует, что для определения движе­ ния струны, кроме уравнения (10.3), необходимо еще задать начальные условия, описывающие поведение струны в начальный момент времени ^ = 0, т. е. ту форму, которую струна приобретает при выводе ее из положе­ ния равновесия,

и те скорости, которые сообщаются точкам струны при «отпускании» ее:

Кроме того, необходимо задать граничные условия за­ дачи, т. е. описать характер поведения концов струны в процессе ее колебаний. Мы ограничимся, простей­ шим случаем граничных условий, когда концы струны

§ 3. Метод разделения переменных

Рассмотрим метод решения уравнения колебаний струны методом разделения переменных, который также называется методом Фурье. Существенным для этого метода является использование рядов Фурье.

Пусть мы имеем дело с уравнением колебания струны

причем концы струны закреплены неподвижно,

^ Само по себе уравнение (10.8), взятое отдельно от условий (10.9) —(10.11), может иметь очень много весьма разнообразных решений. Среди них имеется и тождест­ венно равное нулю:

и (х, 0 = 0.

Нас же интересует решение, которое удовлетворяет не только уравнению (10.8), но также граничным и началь­ ным условиям (10.9) —(10.11). Очевидно, тождественно равное нулю решение может быть для уравнения (10.8)

лишь в том случае, когда в начальный момент времени струна находится в состоянии равновесия: f(x)~0 и при этом неподвижна: ср(л:) = 0. Во всех остальных случаях решение уравнения (10.8) тождественно рав­ няться нулю не может.

Будем искать решение уравнения (10.8), отличное от тождественного нуля и удовлетворяющее граничным

не зависит от x, а функция, стоящая в правой части, —

откуда, решая эти дифференциальные уравнения, полу­ чаем

§ 4. Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения

Мы имеем

и(х, t) =

= (Л cos ] / Т x + В"sin]/X х) (С cos aVXt + D sin а\/И t).

Второй сомножитель справа не может тождественно обра­ щаться в нуль (в противном случае мы имели бы и~0, что противоречит предположенному). Следовательно, для обеспечения граничных условий (10.9) должно быть

Здесь В Ф 0, так как иначе было бы Х(х) = 0 и потому ц = 0. Поэтому из (10.16) следует, что

sin Yk 1 = 0,

т. е. при некотором целом п

У~%1 = пп,

и потому

(здесь пфО, так как при п — 0 должно быть Х = 0 и опять-таки и — 0). Эти значения À называются собствен­ ными, значениями рассматриваемой задачи, а соответ­ ствующие им функции

записать в виде

X" — ( - À ) X = 0,

откуда

X (х) = АФГ~^Х + Ве~ Ѵ^х,

и полученное решение уравнения ни при каких значе­ ниях А и В (за исключением случая А = В = 0) не может одновременно удовлетворять обоим граничным условиям (10.9) . Действительно, из

§ 5. Использование начальных условий

Подставим найденные значения Я в уравнение (10.15):

При любых значениях постоянных С и D произве­ дения

будут решениями уравнения (10.8), удовлетворяющими граничным условиям (10.9). В силу линейности уравне­ ния (10.8) любая сумма функций вида (10.17) также будет решением (10.8) и также будет удовлетворять

и постараемся так распорядиться значениями произволь­ ных до сих пор постоянных С„ и Dn, чтобы сумма этих функций удовлетворяла еще и начальным условиям (10.10) и (10.11). Это значит, что мы будем искать реше­ ние уравнения (10.8), удовлетворяющее граничным и

188 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

для того чтобы этот ряд был решением уравнения (10.8), необходимо, чтобы сходился как он сам, так и ряды, получаемые из него в результате двукратного его почлен­

Если на сегменте [0, /] функция f (х) разлагается в ряд Фурье по синусам, то (как это было выяснено в § И главы 9) в качестве коэффициентов Сп можно взять соответствующие коэффициенты Фурье:

С„ = у ^ f (х) sin — xdx. s

Такой выбор постоянных Сп обеспечивает соблюдение