Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

150	ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
лишь	векторы, лежащие в плоскости XY).	Однако если
это имеет место, то справедлива формула		(8.19).

Обратимся к важному частному случаю. Будем называть вектор нормированным, если его длина (норма) равна 1. Система векторов называется нормированной, если каждый входящий в нее вектор нормирован. Оче

видно,	для	превращения		вектора	в	нормированный
(или, как		говорят,	для	его нормировки) достаточно
разделить вектор на его длину, на его норму.
Ортогональная и нормированная система векторов
обычно	называется		ортонормальной		(или ортонормиро-
ванной)	системой.
Вернемся теперь			к ортогональной			системе	векторов
аъ а2 ,	ö 3	и предположим,		что она	является		ортонор
мальной, т. е. что
		І«і1==\|«а\| = \| а з \| =			1-

В этом случае формула (8.17) приобретает особенно простой вид:

	x — (xa-ij ах + (ха2) аг + (ха3) аг,		(8.20)
т. е. коэффициенты разложения вектора			по ортонор
мальной	системе	являются скалярными его произведе
ниями на векторы		системы.
Примером ортонормальной системы является тройка
векторов	i , i , к, и само задание вектора		в виде (8.2)
является	его разложением по этой системе.

Все • сказанное выше можно перенести и на случай конечномерного, n-мерного пространства, в котором

векторы	являются последовательностями	из п вещест
венных	чисел:
	х = (х1г х2, ..., хп).	(8.21)

Сложение «.-мерных векторов и умножение их на вещественные числа, как и в трехмерном случае, про изводятся покомпонентно.

Компоненты xlt хп вектора (8.21) можно пони мать как алгебраические длины его проекций на коорди натные оси Хх,... , Хп. За длину вектора х естественно

	§ I. ПРОЕКЦИИ И РАЗЛОЖЕНИЯ			ВЕКТОРОВ	151
принять	выражение
		Ѵх\ + ---+х%.
Рассматривая		плоскость,	проходящую через		ось
вектора	х и координатную		ось Хі(і—\, ... , п),		мы
имеем
	cos	Ö i ) =	. X i	. .

Если ввести другой вектор У = (Уъ ... , Уп),

то, подобно тому, как это было в трехмерном про странстве,

COS (Х, у) :	ХіУі + --. + ХпУп

где стоящее в числителе выражение называется ска


лярным			произведением векторов х					и у.	Как и в трех
мерном			случае, оно обозначается через						ху и	является
операцией,				коммутативной			и дистрибутивной				относи
тельно		сложения			векторов		и относительно умножения
вектора			на число.
Называя				векторы		в n-мерном пространстве					ортого
нальными,				если	их	скалярное		произведение			равно
нулю,		мы можем			говорить об ортогональных					системах
векторов			в n-мерном			пространстве. Ясно, что в					п-мер-
ном	пространстве					ортогональная		система		векторов
может	состоять не более чем из п векторов.
Пусть					ат	(т<п)	— произвольная			ортого
нальная			система		векторов в n-мерном				пространстве, а
вектор		X имеет вид

	X=Xjßi	+ х2а2 +...+хт ат .
Тогда,	умножая	это равенство скалярно на ai
....	m), мы получаем, что

ха-і

т. е.

152	ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ					СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Правая	часть		этой	формулы		называется		разложением
вектора	х	по ортогональной				системе аъ		... ,	ат.
Если	векторы ах, ...				, ат	нормированные, т. е. если
			ІвлІ =		... = \|« « 1 =		1.
то система ах,			...	, ат	называется		ортонормальной			и
формула	(8.22)		приобретает вид
		л; = (хах)			ах +...	+ (хат) ат.			(8.23)
Из наглядных соображений видно (строгого дока
зательства мы приводить не будем),							что при т<Сп			не
всякий	вектор		пространства			может	быть	разложен		по
системе	аъ	..., ат. Однако				из сказанного			следует,
что если он все-таки разлагается,							то это разложение
имеет вполне определенный вид, описываемый									в (8.22),
а для случая ортонормальной						системы —в (8.23).

В качестве примера ортонормальной системы в n-мерном пространстве векторов (8.21) можно указать систему векторов («координатных ортов»):

(1Д . . . , 0 ) , (0,1, 0),

(0,0, ... , 1).

По этой системе разлагается любой вектор (8.21) и коэффициентами разложения являются сами компоненты вектора.

§ 2. Векторы и функции

Всякий вектор, понимаемый как последовательность чисел, является своего рода функцией. При этом неза висимой переменной можно считать номер компоненты вектора, а зависимой переменной — величину компо ненты. Так, например, вектор (3, 7, —12) может быть задан и в виде таблицы

Номер компо	1	2	3
ненты

Величина ком	3	7	—12
поненты

§ 3. НОРМИРОВАННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

f 53

С другой стороны, и функции обладают многими ос новными свойствами векторов. Их можно, подобно век торам, складывать, причем значения функции-суммы равны суммам соответствующих значений функций-сла

гаемых. Их можно и умножать		на	число,	причем на
это число умножается 1	каждое,	значение		умножаемой
функции.
Оказывается, что для	функций		удается	обнаружить

аналоги и дальнейших понятий векторной алгебры: нор мы, скалярного произведения (тем самым можно в ка


ком-то смысле говорить и о «косинусе					угла	между
двумя функциями»),		ортогональной и ортонормальной
систем и разложений по таким системам.
В §	1 речь шла	о	конечномерных	пространствах.
В таких	пространствах		удается иайти	конечную		(т. е.

состоящую из конечного числа векторов) ортогональ ную систему, по которой можно разложить любой вектор пространства. Пространство функций вещественного аргу

мента конечномерным уже		не	является,	и потому		та
кой конечной ортогональной			системы в	нем	найти	не
удастся. В	связи с этим	возникает вопрос о			поисках
бесконечных	систем функций,		которые могли		бы стать

основой разложения достаточно разнообразных функ ций, и о нахождении коэффициентов в этих разло жениях.

Но разложение функций по бесконечной системе перестает быть обычной суммой, превращаясь в ряд или

даже в интеграл.				Такого рода	разложения будут			рас
сматриваться		в оставшихся главах				курса.
§ 3.	Нормированные и ортогональные						функции
Скалярным произведением векторов является сумма
произведений		их	компонент.
Пусть	фх	(х)	и	ф2 (х) — две	функции,		заданные	на
сегменте	[а,	Ь]	и	непрерывные	на	нем.	Интеграл	от
их произведения				ь
				ь
				\ ф! (je) ф2 (x) dx			(8.24)
				а

по своей внешней форме сильно напоминает скалярное

154 ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

произведение (не следует забывать, что интегрирование является своеобразной разновидностью суммирования).

Поэтому все те понятия, которые определяются че рез скалярные произведения векторов, и все свойства векторов, которые выражаются через их скалярные произведения, можно попытаться распространить и на непрерывные функции, пользуясь вместо скалярных произведений интегралами вида (8.24).

Норма вектора (т. е. его длина) есть квадратный корень из скалярного произведения вектора самого на

себя. Поэтому естественно ввести следующее опреде
ление.	Нормой функции	ц>(х) на сег
О п р е д е л е н и е .
менте [а, Ь] называется	квадратный корень	из интеграла

ь
] Ф2	(*)	dx.
а
Если этот интеграл равен	единице:
ь
§ Ф2 (х)		dx=l,
а

то функция ф (х) называется нормированной на [а, Ь]. Ортогональность векторов означает равенство нулю

их скалярного произведения.

По аналогии введем определение ортогональности

функций.			<f>i{x) и ф2 (х) назы
О п р е д е л е н и е .	Функции		<f>i{x) и ф2 (х) назы
ваются ортогональными	[а,	Ь],	если
ь
$ ФІ (х) ф2		(х) dx = 0.

§ 4. Ортогональные и нормированные системы

функций

Рассмотрим теперь последовательность функций

ФіМ. фг(*)> • • • >

(8.25)-

заданных и непрерывных на сегменте [а, Ь], среди' которых нет функции, тождественно равной нулю.

	§ 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е .		Последовательность			(8.25)	назы
вается	нормированной	на		сегменте [а, Ь],	если	норми
рована	каждая функция		последовательности, т. е. если
	ь
	^ ц>п (х) dx =		1	при любом п.
	à

Последовательность (8.25) называется	ортогональной на
сегменте [а, Ь], если ортогональны	на	этом сегменте
две различные входящие в нее функции,		т. е. если
ь
5 (рп(х) ц>т(х) dx = 0 при	пфт.
а
Последовательность (8.25) называется		ортонормаль-

ной (или ортонормированной) на некотором сегменте,

если

она

является

нормированной

ортогональной,

т.

е.

Г 1,

если п = т,

ф* (х

Ф т

(х)dx

= {

если

пфт.

1 0,

П р и м е р .

Система

функций

cosх,

sin х, cos 2х,

sin 2х, ...

(8.26)

называется

системой тригонометрических

функций.

Эта

система

ортогональна на сегменте [—л,

я]. В самом

деле

(мы далее

будем

для

единообразия

полагать

l=cos(k),

при

л =

2, ...

...,

т = 0,

1, ... к

пфт

cos tix cos tnx dx = y

(cos

(n—m)

A: +

COS (n-j-m) x) dx

= 0.

—л

Далее,

при

« = 1 , 2

m=l,

2,...

пфт

sin ru: sin тх dx — -^-

(cos

(n — m) * — cos (n-f-m) д: d*

—л

—я

2 \ft—m

sm (и — m) д;

-т—

sin (n +

w) x

= 0

n\m

156 ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ

и, наконец, при любых п = 0, 1, 2, ... и т = 1 , 2, ...

	я		я
	^ cos ?!Ä sin тх dx~Y ^			(sin	(m + га) л: +	sin (m — л) л,-) dx.
	— я		—я
Здесь интеграл or		каждого		из слагаемых		равен	нулю,	потому
что при k Ф О
	я				я
	Ç	sin fee d.v =		— c o s fcc		= 0,
	— я				—я
а при fe = 0			sin kx = 0
			sin kx = 0
тождественно на [—я, я].
	Таким образом, система (8.25) на сегменте [— it, л] является
ортогональной. Нормированной на					сегменте	[—л,	я] эта система
не	будет, так как
я	я				я
^	cos2 nxdx— ^	sin2	nx dx=~2		(cos2 / « + sin2		nx) dx =
—я
							— я	_
и	нормой каждой	из	функций		sin nx и	cos nx	является Y я,
а норма единицы, очевидно, равна					^ 2 я .
	§ 5. Нормировка систем фупкций
	Следующий переход от произвольной системы, задан
ной на некотором сегменте					функций	^(х),ц>2(х)
к нормированной на этом сегменте системе							называется
ее	нормировкой.	Он довольно прост и сходен с						норми

ровкой' векторов. Для того чтобы его осуществить, достаточно вычислить для каждой из функций после довательности (8.25) интеграл

\<р%(х)сІх=К

и разделить каждую функцию ф я на ]/Л„. Очевидно, при этом мы получим нормированные функции:

§ 6, РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СИСТЕМАМ ФУНКЦИИ

157

Нормировка системы тригонометрических функций (8.26) на сегменте [—я, я] состоит, таким образом, в де лении единицы на }/г2л и в делении каждой из осталь ных функций на Ул. В результате получится ортонормальная на сегменте [—я, я] система функций

1 1	1	•	1	о	1 • о
]А2я' У n•.cosx,	Yn—	smx,	УН^^coszx,		77Vn=sm2x,	...

Получение из некоторой последовательности функ ций ортогональной системы называется ее ортогонализацией. Этот процесс более сложен, чем нормировка, и даже не всегда возможен. Мы здесь не будем останавли ваться на этом вопросе.

§ 6. Разложение по системам функций

Пусть снова дана заданная на [а, Ь] последователь

ность функций
Фі(х),	ф 2 ( х ) , ф п ( х )		(8.27)
а / (х) — некоторая	функция, также	заданная	на [а, Ь].
Мы будем рассматривать вопросы,		связанные	с разло

жением функции f (х) в ряд по системе функций (8.27),

т. е. с представлением функции f (х)	в виде	суммы
сходящегося ряда
f (х) = аіф! () + а2 ф3 () + ... + а„ф„ (X) + ...
С такого рода представлениями функций мы уже
встречались при разложении функций	в ряды	Тейлора

и Маклорена. В случае рядов Тейлора в качестве

последовательности	(8.27)	бралась	последовательность
1,	х-а,	(х-а)2,	(8.28)
а в случае рядов Маклорена — последовательность
	1, X, X2, ...		(8.29)

Хотя разложение функции в ряды Тейлора и Мак лорена весьма полезно для теории и практики, но оно страдает рядом недостатков. К их числу следует отне сти то, уже отмечавшееся обстоятельство, что суммами


158	ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ				ФУНКЦИИ
сходящихся		степенных	рядов могут быть лишь функ
ции,	дифференцируемые		сколько	угодно		раз. Вместе
с тем как в самой математике, так и в ее						приложениях
приходится		исследовать	функции,	имеющие			«неплавно
сти», «изломы» и даже «скачки».
Кроме того, ни одна			из последовательностей					(8.28)
и (8.29) не является ортогональной ни						на	каком из
сегментов.		Поэтому на	разложения		функций. в			ряды

Тейлора и Маклорена не удается перенести приемы, применяемые при разложениях векторов по ортогональ ным системам.

Описанная в § 4 система тригонометрических функ ций и некоторые близкие ей системы лишены указан ных недостатков степенных рядов. Разложения по этим системам будут рассматриваться в следующей главе.

Г Л А В А 9

РЯДЫ ФУРЬЕ

§1. Ряды и коэффициенты Фурье

В§ 1 главы 8 мы выяснили, что если нам даны три вектора

	<Х\,		ö 2 ,	#з>
составляющих ортонормальную				систему,	т. е. векторы,
для которых
\ах\	=	\аъ\	=	\аъ\=\,
Ö I Ö 2 = а 2 а 3			=	а3ах—О,
то любой вектор х можно представить в виде
где коэффициентами	хъ	хг,	х3	являются	соответственно
скалярные произведения ахх,				а2х и а3х.
Пусть нам дана	ортонормальная на сегменте [а, Ь]
последовательность	функций
Щ(х),	щ(х),			Ц)п(х), ...	(9.1)

и некоторая непрерывная функция f (х). Займемся зада чей о разложении функции / (х) в ряд по функциям (9.1), т. е. о представлении функции / (х) в виде

/ (х) = оцфх (х) + а2 ф2 (*) + ... + ап ф„ (х) + ...

Следуя проводимой нами аналогии между векторами и функциями, найдем числа

an = \f(x)yn(x)dx,

л = 1 , 2

(9.2)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ