книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

130 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 7. Гиперболические функции от комплексного

значения аргумента

Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для тригонометрических функций, мы можем определить значения гиперболических функций при ком­ плексном значении аргумента:

Таким образом, установлена непосредственная связь между тригонометрическими и гиперболическими функ­ циями.

§ 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена

Разложения функций в ряды Маклорена позволяют во многих случаях вычислять с большой точностью зна­ чения этих функций. Вычислим, например, с точностью

i

до пяти знаков у^е — е10. Мы имеем

Значит, е о д близко к единице. Остаточный член R3 имеет

ненаписанные члены в разложении е0 -1 не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбро­ сить. Вычисление дает нам е о д = 1,10517.

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или инте­ грированием рядов.

Этот ряд— знакочередующийся. Поэтому его остаток не превосходит последнего отброшенного члена. Удерживая в нем два первых члена, мы получим значение

arctg 0,1 =0,09967

с пятью верными знаками.

Разложением (7.19) арктангенса в ряд можно восполь­ зоваться для вычисления значения л.

132 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

a r c t s тж - a r c t ê 1 = a r c t ê 7 7 W = a r c t ê m •

+ 119

Значит,

arctg 1 = 4 arctg -^- — arctg2391

Ho arctg l = - j - и потому мы имеем ^ . = 4 a r c t g | - a r c t g l | g -

вычислять значения тригонометрических функций от аргу­ ментов, заданных в градусной мере.

Например, при вычислении sin 5° = sin ^ мы имеем

s i n 5 = з б - - e i s e } +

Ограничиваясь написанными первыми двумя слагаемыми, мы допустим ошибку, которая не будет превосходить пер­ вого из отброшенных членов (ибо мы имеем дело со знако­ чередующимся рядом),- т. е.

120 \ 36/

Вычисление дает нам

sin 5° = 0,0872664 -10,0006646=0,087156. .

в биномиальном ряде (7.21). Таким образом, в области сходимости биномиального ряда

136 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Ввиду (7.23) числитель последней дроби равен нулю, так что

d s(x) _ 0 dx (l+x)1

Следовательно, отношение уЦ - является постоянной:

Таким образом, из (7.24) и (7.25) следует, что

=/(* ) = ( ! + * ) ' ,

т.е. ряд Маклорена функции (1+*)' при | х | < 1 схо­

дится к этой функции. Поэтому мы можем написать

( 1 + * ) ' = 1 + Х * + £ І ^ ! > - * 2 + . . . +

ІJ j j + • • •

Придавая ^ те или иные значения, можно получать различные полезные формулы.

Пр и м е р ы .

1.При <=1/3 мы имеем

и т. п.

§ 10. Приложения биномиального ряда

При помощи биномиального ряда можно быстро и довольно точно вычислять значения корней из чисел,

атакже значений различных функций.

Пр и м е р . Вычислить у^Зб с точностью до 0,0001. Мы имеем

y » - v ^ - » ( ' + i r = " ( 1 + T - i - » V * ) -

Биномиальный ряд является основой многих дальней­ ших разложений функций в ряды. Найдем, например, разложение в ряд Маклорена функции arcsin х.

Рассмотрим биномиальный ряд при t = — V 2 и неза­ висимой переменной — х2:

Почленное интегрирование этого ряда от нуля до х < 1 (такое интегрирование законно, так как мы остаемся в пределах области сходимости ряда) дает нам

Как следует из сказанного в § 9 главы 5, этот ряд сходится в интервале | х | < 1. Впрочем, это можно уста­ новить и непосредственно, применяя признак сходи­ мости Даламбера.

§ И. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции

Воспроизведем разложение в ряд Маклорена лога­ рифмической функции 1п(1+д;) (ср. § 10 главы 5). Пола­ гая в основной формуле для биномиального ряда t=— 1,

и формула (7.29) переписывается как

. . п + 1 _ 0 / 1 1 1 2 л + 1 ^ а ( 2 л + 1 ) з ^ 5 ( 2 л + Г ) °

П р и м е р . При л = 1

, п 2 =2(4 + 3 ^ + 5 - ^ + '

Стоящий в скобках ряд сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем 1/9. Поэтому удержание каждого сле­ дующего члена увеличивает точность в определении In 2, грубо говоря, на один десятичный знак.

§12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов

Вычислениями значений функций вычислительные приложения теории рядов далеко не исчерпываются. При помощи рядов можно вычислять определенные ин­ тегралы, а также находить решение дифференциальных уравнений.

Приведем несколько примеров.