книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие
.pdf120 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ряда (§ 6), мы имеем |
|
|
|
|
||
(X) = п\сп + |
сп+1 (X -а) |
+ |
с я + а |
(X - af |
+ ... |
|
Если |
в этом |
тождестве положить х=а, |
то все слага-. |
|||
смые |
справа, |
кроме первого, |
обратятся' в |
нуль |
и мы |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
/<">(*) = |
nlc„-, |
|
|
|
откуда и следует (6.30).
Из доказанной теоремы вытекает, что функция, рас смотренная в последнем примере, не может быть пред ставлена в -окрестности точки х — 0 не только суммой' своего ряда Тейлора, но и суммой какого-либо другого степенного ряда.
Как другое следствие доказанного мы получаем, что если имеются два разложения одной и той же
функции |
f |
(х) |
в одной |
и той же области в ряд |
|
||||||||||
|
|
f(x) |
= a0 |
+ a1(x |
— a) + ... + an |
(x-ä)n |
+ ... |
||||||||
и |
в ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
= b0 + bl(x--a) |
+ ... + ba(x-ar |
+ |
..., |
|||||||||
то |
оба |
эти |
ряда |
являются |
одним |
и тем |
же |
рядом Тей |
|||||||
лора и |
поэтому |
совпадают, т. е. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
а0 = Ь0, аг=Ьъ..., |
ап |
— |
Ьп,... |
|
|
||||||
|
Удобный для практических приложений признак раз |
||||||||||||||
ложимости |
функции |
/ (х) |
в |
ряд |
Тейлора |
описывается |
|||||||||
следующей |
теоремой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Т е о р е м а . |
Если |
функция |
f (х) |
имеет |
производные |
|||||||||
сколь угодно |
высоких |
порядков и существует такая по |
|||||||||||||
стоянная |
С, |
что |
при |
любых |
х и |
п |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\fw(x)\<C, |
|
|
|
|
|
|
|
то |
функция |
f (х) |
разлагается |
в ряд |
Тейлора: |
|
|||||||||
|
f(x)=f(a) |
|
+ |
(x-a)^ |
|
+ ... + |
( |
x - |
a r |
^ |
+ ... |
||||
при любом а.
§ 1 0 . РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА |
121 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию |
для |
остаточного |
||||
члена Rn(x) |
для |
функции f (х) |
в формуле |
Тейлора мы |
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
\Rn(x)\= |
(х-а)" |
п\ |
|
л! |
|
|
|
|
|
|
|
||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
lim |/?„(х)|<С - Пт L |
i - f |
= 0, |
|||
и требуемое |
установлено. |
|
|
|
|
|
Г Л А В А 7
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Разложение функции ех |
|
в ряд |
Маклорена |
|
||||||||||||
Поскольку |
iL *_ * jP_ |
х |
_ |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dxe |
~ |
е |
' |
dx1 |
е |
—е |
|
>•'•> |
|
|
|
||
так что |
при |
|
f(x)—ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( 0 ) = f |
(0) = |
... = |
f(*> (0) = |
. . . = |
1, |
|
|||||||||
формула |
Тейлора для |
|
функции |
ех |
с а=0 |
будет иметь, |
||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
— 1 + |
ц + 2 ! |
+ ••• + „! |
|
|
+ |
|
|
|||||||
где 0^1п-^х. |
|
Для |
остаточного |
|
члена |
мы имеем |
при |
|||||||||
любом x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim т—гттг — lim |
, |
. ,.,- = е |
lim |
, |
, ... =-0. |
|
||||||||||
Следовательно, |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 + F + 2T + - + ^ + - |
|
|
( 7 Л ) |
||||||||||
сходится при любом х (впрочем, |
эта |
сходимость |
нам |
|||||||||||||
уже известна; |
она |
была |
установлена |
в |
|
§ 2 главы 5), |
||||||||||
и суммой его является функция |
ех. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Заменяя |
в |
(7.1) |
х |
н а — м ы |
получаем |
|
||||||||||
|
е - * = 1 - І Т |
+ |
£ |
|
- . . |
|
Ж |
- |
+ |
|
- |
(7.2) |
||||
Областью сходимости этого ряда также является вся прямая.
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ МАКЛОРЕНА cos х, sin х 123
§ 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций спл; и shx
Составим ряд, членами которого являются полу суммы соответствующих членов рядов (7.1) и (7.2):
Этот |
ряд также |
|
сходится |
при |
любом |
х |
(см. |
теорему |
|
||||||
о сложении |
рядов § 8 главы 2). Аналогично, |
вычисляя |
|
||||||||||||
полуразности |
(см. теорему |
о |
вычитании |
рядов |
в § 8 |
|
|||||||||
главы |
2) соответствующих |
членов |
рядов, (7.1) и |
(7.2), |
|
||||||||||
мы получаем также всюду сходящийся ряд |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
е*—е~х |
'. Xs . л:6 |
, |
, |
*2«+і . |
|
|
|
||||||
&hx=^—-х+ш+ |
¥ + ••• +(2h-+w+-- |
* |
|||||||||||||
|
|
§ 3. Разложения в ряды Маклорена |
|
|
|
||||||||||
|
тригонометрических функций COSA; И situe |
|
|
||||||||||||
Для |
функции cos X мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d |
|
. |
|
|
d2 |
|
|
|
d3 |
|
|
|
|
|
|
^cosx- = |
— sin*, |
^ 2 C O S A : = |
— cos*, |
^ |
cos x = s i n я, |
||||||||||
|
|
|
|
|
d* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j^CQSX==COS |
X, . . . |
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
формулой |
Маклорена |
для |
cos* |
будет |
|
|||||||||
c o s x = l - ^ + ^ |
|
+ ...: |
X |
(2п)\ |
l U = |
fe |
|
|
|||||||
61 |
* |
(2п+1)І |
|
\У=ЧП=Л)- |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь |
при любом д: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
um xi{ т |
., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
„ - 0 |
0 |
( 2 |
п ) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и точно так же
lim X 2n+ i |
s i " % |
„ _ c o |
(2л+1)1 |
124 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому остаточный член стремится к нулю. Следова тельно, мы можем написать разложение в ряд Макло рена COS X'.
cosx= i - | + ; 4 - . . . + ( - ! ) « - | ^ + . . .
Аналогично получается разложение в ряд Макло рена функции s'wx:
s m x = ~ - ~ + ~ г . . . |
+ (— 1)" ( 2 * + 1 ) ( + • • • |
§4. Показатель пая функция
скомплексным значением показателя
Займемся определением показательной функции of, где а — вещественное и неотрицательное число, а пока затель г может принимать не только вещественные, но и комплексные значения. Для этого можно взять неко торое' характеристическое свойство функций ах для ве щественных значений х (т. е. такое свойство, которым обладают только эти функции), которое поддается пе реносу на случай комплексных значений независимого переменного, и, пользуясь именно этим свойством, рас пространить определение функции на комплексные зна чения аргумента.
Нам будет удобно, положив \па = а, рассматривать функции
Л е м м а . Если непрерывная функция f (х) отлична от
тождественного |
нуля и |
такова, |
что для любых х и у |
|
|
f(x+y) |
= f(x)f(!t), |
(7.3) |
|
то |
f(x)=eax |
|
|
|
|
|
|
||
при некотором |
а. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде |
всего, |
возьмем такое |
|
x, что f (х) Ф 0. |
По условию .леммы такое х непременно |
|||
найдется. Для этого х должно быть |
|
|||
f(x) = f(x + 0) = f(x)f(0),
§ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |
125 |
откуда |
|
/ ( 0 ) = 1 . |
(7.4) |
Кроме того, мы имеем |
|
/ ( 1 ) - ? ( і + 4 - ) - / ( | ) К т Ь 0 . |
(7.5) |
Если jf(l) = 0, то, очевидно, при любом целом п
/ т = / 7 Ö ) - o
и в силу обусловленной непрерывности функции f (х)
' ю - ' а / Ш - г о .
что противоречит (7.4). Значит, в (7.5) имеет место стро гое неравенство.
Следовательно, |
найдется такое |
а, |
что |
|
/ ( 1 ) = Л |
|
|
Далее, для любого значения х |
вида -^- (где л —це |
||
лое положительное |
число) мы имеем |
|
|
('ШМ<ч — •
откуда
Пусть теперь х — ^> где п — целое отрицательное число.
Тогда — п будет целым положительным числом и мы на основании условия леммы имеем
f ( i ) f [ - i ï h n o ) - u • ( 7 ' 6 )
Но по предыдущему
126 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
так что (7.6) дает нам
а
|
|
|
|
' |
В |
) |
• " • |
|
|
Для |
рационального |
значения х — ^ |
должно быть по |
||||||
этому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•'т\ |
х м |
, |
, |
1\ |
( с ( |
1 W ^ ^ - Y " |
= |
|
Пусть, |
наконец, х |
принимает |
произвольное |
вещест |
|||||
венное |
значение |
х = х0. |
Как |
известно, |
можно составить |
||||
последовательность рациональных чисел (например, де
сятичных |
дробей) |
хъ |
хг |
|
|
сходящуюся |
к |
х0: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim |
х,, — х0. |
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда на основании обусловленной непрерывности |
|||||||||||||
функции / |
и известной непрерывности функции еах будет |
|||||||||||||
f(x) |
= f(x0) |
= f(hmxn) |
= |
lim /(*„) = |
lim eax" |
= |
|
|
||||||
|
|
n — ço |
|
rt-*co |
|
n-»co |
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
anlim x |
|
ga*_ |
||
|
Объединяя все |
сказанное, |
мы—видим,g — сочто _ ga.\'o |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
' |
f(x) |
= |
eax |
|
|
|
|
|
|
для |
всех |
значений |
х, |
а |
это |
и |
требовалось. |
|
|
|
||||
|
С л е д с т в и е . . |
Если |
|
функция |
/(х) |
удовлетворяет |
||||||||
условиям |
леммы |
(т. |
е. при |
любых |
х и |
у |
выполняется |
|||||||
равенство |
(7.3)) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(l) |
|
= |
e*>, |
|
|
|
(7.7) |
|
то |
|
|
|
|
f(x) = eaox. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
лемме |
должно |
быть |
|||||||||
1(х) = еах
|
|
§ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |
|
127 |
||
и, в частности, |
|
|
|
|
||
|
|
f ( l ) = ea- |
|
|
||
Вместе с (7.7) это дает |
нам а = а0 , откуда и следует |
|||||
требуемое. |
Пусть значение |
функции f (z) для любого |
||||
Т е о р е м а . |
||||||
вещественного |
или комплексного |
z определено |
как сумма |
|||
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
1 + ^ г + - | г + - + ж + - |
|
(7.8) |
|||
|
|
|
||||
Тогда |
функция f (г), непрерывна, отлична |
от тожде |
||||
ственного |
нуля |
и для любых комплексных гг |
и г2 |
|||
|
|
/ ( Z l + Z2 ) = / ( Z l ) / ( 0 2 ) . |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Ряд (7.8) сходится |
при любом |
||||
вещественном |
значении |
z. Следовательно, |
по |
теореме |
||
о непрерывности суммы ряда (§ 5 главы 6) f (z) |
является |
|||||
непрерывной при любом вещественном значении z функ
цией. Кроме |
того, f (г) отлична от тождественного нуля |
(например, |
f ( 0 ) = l ) . |
По правилу умножения рядов мы имеем
2 1 ' 3 1 У
+ -
+ -
+ ...
или, объединяя слагаемые «по диагональным линиям»,
128 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
мы получаем1 )
/ Ы / ( г 2 ) = 1 + - ^ + і £ Ц г 5 ^ + . . . +
+ І £ І + £ 2 Г + І . І = / ( Г І + Г 2 ) >
Из этой теоремы следует, что сумма ряда (7.8), как функция z, обладает тем важным характеристическим свойством функции ег , которое выделяет ее из всех непре рывных функций. Поэтому естественно определить зна чение суммы ряда (7.8) при произвольном г, веществен ном или комплексном, как значение функции е*:
|
|
|
е г = 1 + Т Г - Ь 2 Т + - - + ^ Г + - |
<7 -9 ) |
||||||||||
|
|
|
|
§ |
5. |
Формулы |
Эйлера |
|
|
|||||
|
Положим в формуле |
(7.9) |
z = |
iy: |
|
|
|
|||||||
e |
— i - t - j , |
- Г |
gl |
" r |
g, |
"Г |
|
4 | |
~t |
5 , |
y |
|
||
|
|
|
11 |
21 |
|
31 |
^ |
4! |
' |
' 5! |
^ |
|
|
|
|
|
1 _ ^ 2 _ L ^ - _ |
\-Li(JL |
|
_ |
i l |
_L |
51 |
|
|||||
|
|
1 |
2'f "T" |
4! |
|
"V"*" |
|
V H |
31 |
|
||||
|
= |
cosy + |
isiny |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(7.10) |
и |
аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
е-'У = |
cos г/ — / sin y. |
|
(7.11) |
||||||
|
Отсюда |
мы |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
— |
^ |
|
= C O S Î / |
|
|
(7.12) |
|||
|
1 ) |
В самом деле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г". |
|
z zn—i |
z^-z"— 2 |
|
|
1 |
|
г" |
|
|
|
|||
ni |
^ |
11 (n— |
1!) |
21 |
(л —2)! |
- r |
••• |
"Г- |
|
|
|
|
||
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ |
129 |
2і =*smy. (7.13)
Для z=x-\-iy, где X и у — вещественные числа, фор мулы (7.10) и (7.11) дают нам
е*+іу = ехеіу = е.ѵ ( C 0 S y + isiny). |
(7.14) |
Соотношения (7.12) и (7.13) называются формулами Эйлера. Вместе с формулой (7.14) формулы Эйлера уста навливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией с комплексным показателем.
|
§ |
6. |
Тригонометрические |
функции |
|
|
|||
|
от |
комплексного |
значения |
аргумента |
|
||||
Степенные |
ряды |
для |
тригонометрических |
функций |
|||||
|
|
cos*=l — -gp + |
— |
|
|
|
|||
|
|
sin лг |
X |
X3 . |
XS |
... |
|
|
|
|
|
-j-j |
gj |
gî |
|
|
|||
сходятся |
при любом |
вещественном |
значении |
х. |
Следо |
||||
вательно, |
по теореме |
Абеля должны сходиться, |
и при |
||||||
том абсолютно, |
ряды |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Z2 |
Z* |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
_|_ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
г3 |
! z5 |
|
|
|
|
|
|
|
TT — |
~ЗТ+ |
"BT ~ |
" • |
|
|
|
при любом комплексном значении г.
Примем поэтому значения сумм этих рядов в качестве
значений тригонометрических функций: |
|
|
c o s z = l - J + | - - . . . + ( - i r 7 |
g r + . . . , |
(7.15) |
|
(2п)\ |
|
s i n z = 7 T - 4 + " В Т - " • + ( - 1 ) " 7 2 & І ) Г + • • • ( 7 - 1 6 )
бH. Н. Воробьев