Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ПО ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

§ 5.	Равномерная			сходимость ряда
	в круге		его	сходимости
Т е о р е м а .	Степенной			ч	равномерно
				ряд сходится
в любом замкнутом		круге,		содержащемся	в его	круге
сходимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть
	a0+a1z+...+anzn+...					(6.9)
— степенной -ряд и		R — его		радиус сходимости.		Возь

мем произвольный замкнутый круг, лежащий внутри круга сходимости. Очевидно, можно считать, что центр меньшего круга также находится в точке 0. (Точнее говоря, всякий меньший круг можно охватить кругом


с	центром в точке 0 н целиком содержащимся в круге
сходимости;			равномерная	сходимость -ряда в		охваты
вающем		круге влечет равномерную			сходимость и
в	меньшем		круге.) Пусть	—его	радиус.	Возьмем
точку г0,		лежащую в кольце между нашими двумя кру

гами. Так как эта точка расположена внутри круга сходимости степенного ряда (6.9), ряд

a0+a1z0+-..+anzS+...

сходится абсолютно. Но при любом zx из меньшего круга должно быть | zx | < | z„ |. Поэтому

Ian z«1 = |an \\z1 | л < i а п [ \ z 0 \ п = \ a n z " 0 1 .

Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. § 7 главы 5) ряд

a0+a1z+...+anzn+...

сходится в меньшем круге равномерно.		Внутри
Т е о р е м а (о	непрерывности суммы ряда).	Внутри
круга сходимости	ряда сумма ряда является	непрерыв

ной функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждая частичная сумма сте пенного ряда, очевидно, есть непрерывная функция. По скольку по предыдущему в любой замкнутой области внутри круга сходимости ряда сходимость является равномерной, сумма ряда, являющаяся пределом рав номерно сходящейся последовательности -непрерывных функций, на основании сказанного в § 4 главы 5 сама является непрерывной функцией.

§ 6. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ РЯДЫ

111

Доказанные теоремы открывают возможности почлен ного интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Мы обсудим эти возможности раздельно для слу чаев вещественных и комплексных степенных рядов.

§6. Вещественные ряды

Те о р е м а (о почленном интегрировании степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последова тельность интегралов от частичных сумм ряда схо

дится к	интегралу		от суммы		ряда.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Достаточно вспомнить,					что
внутри своего интервала сходимости ряд сходится									рав
номерно,	после	чего сослаться			на	общую	теорему		§ 9
главы 5.
Теорема о почленном дифференцировании								функцио
нальных	рядов	выглядела		более		слабой,	чем теорема
об их почленном			интегрировании:			в теореме		о диффе
ренцировании		требовалась		дополнительно			сходимость

ряда, составленного из производных членов. Для слу чая степенных рядов это условие внутри интервала

сходимости	выполняется		автоматически, о			чем свиде
тельствует	следующая теорема.
Т е о р е м а		(о почленном дифференцировании					сте
пенного ряда). Пусть степенной				ряд
	s	(х) = а0-\-а1х-\-...-]-апхп-\-...				(6.10)
имеет радиус		сходимости	R. Тогда		ряд
	а (х)~а1-\-2а2х		+ ...-\-папхп~1-\-...,			(6.11)
получаемый	в результате		почленного		дифференцирования
ряда (6.10), также.имеет			радиус	сходимости R.
Производная суммы ряда (6.10) равна сумме ряда (6.11):
		~s(x)	= a(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Заметим,		прежде	всего,	что

вторая часть теоремы следует из первой ее части. Дей ствительно, раз ряд (6.11) имеет радиус сходимости R, согласно теореме о равномерной сходимости, он схо дится равномерно в любой замкнутой области интервала

112 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ. ВОПРОСЫ

сходимости ряда (6.10). Следовательно, мы можем сослаться на общую теорему о почленном дифференци ровании функциональных рядов.

Нам остается найти радиус сходимости ряда (6.11).

Пусть I х 0 1 = р < С . Возьмем произвольно				p < r < R .
Так как точка х0		принадлежит	интервалу	сходимости
ряда (6.10),	числовой ряд
	о 0	+ % * - { - . . . - f	апх'і + ..<
сходится, и	потому
		lim \апх%	= 0.

пСО

Это значит, что при любом е > 0 для достаточно боль ших п

| a „ x « | < 8 .

Далее, мы имеем

.. 1 д.'"-1

\папхпй~11 = па„г

1 хп—\		ne	XQ \| л - 1
г	0	< Т	г

Следовательно, члены ряда

ах + 2а,х0 + Г.. + па„х"-1 - } - . ,

(6.12)

начиная с некоторого места, становятся меньше соот ветствующих членов ряда

г		г	+ ...+?	Х0	+ . . .
± +	1	?£				(6.13)
	1

Применяя к последнему ряду признак сходимости Даламбера, мы получаем

§ 7. КОМПЛЕКСНЫЕ РЯДЫ

113

Следовательно, ряд (6.13) сходится. Поэтому схо дится и ряд (6.12). Значит, по теореме Абеля сте пенной ряд (6.12) сходится в круге радиуса г рав номерно.

Но число г может быть выбрано сколь угодно близ ким к числу R. Это и означает, что радиус сходимости ряда (6.12) равен R.

§ 7. Комплексные ряды

Теорема о почленном интегрировании степенного ряда в комплексной области формулируется и доказы вается практически так же, как и для случая вещест венной области. Это объясняется тем, что интегралы

ѵв комплексной области имеют много общего с обычными интегралами (особенно, если сравнивать их с криво линейными интегралами).

Т е о р е м а .		Если	степенной		ряд сходится			равно
мерно	на некоторой		кривой, то его можно				интегриро
вать	вдоль этой	кривой		почленно.
Д о к а з а т е л ь с т в о				этой	теоремы,	как		и дока
зательство аналогичной теоремы предыдущего							параграфа,
осуществляется		непосредственно			ссылкой	на		теорему
§ 9 главы 5.

Теорема о почленном дифференцировании степен ного ряда в комплексной области является существенно более .сложной, чем в вещественном случае. Мы огра ничимся здесь лишь ее формулировкой.

Т е о р е м а . Если комплексный степенной ряд схо-• дится равномерно на некотором контуре, то внутри


этого контура его можно				почленно		дифференцировать
и притом	сколько угодно		раз.
П р и м е р .		Рассмотренный		нами в § 3		ряд .
		- г + 1«»-... + (-1)я1г" + ...					(6.14)
не сходится	на всей окружности			своего округа сходимости			(именно,
он расходится		при г = — 1 ) .	Тем более,		он не сходится		на этой
окружности	равномерно. Следовательно,				мы не имеем права диф
ференцировать		этот ряд почленно всюду			в круге сходимости.

114 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

Вместе с тем этот ряд сходится равномерно в любой замкну той области внутри своего круга сходимости и в том числе на любой окружности вида | г | = р < 1 . Следовательно, ряд (6.14) можно дифференцировать в его круге сходимости, отступая внутрь его сколь угодно мало.

§ 8. Разложение функций в степенные ряды

Сумма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри круга схо димости этого ряда (а также, быть может,' еще и в неко торых точках его границы).

В связи с этим возникают две задачи. Во-первых, можно по заданному ряду искать ту функцию, которой равна его сумма в области сходимости ряда. Эта задача называется суммированием сходящегося ряда. Во-вторых, можно по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в области сходи мости равнялась бы заданной функции. Эта задача называется разложением функции в ряд.

Сейчас мы займемся вопросами разложения функций в степенные ряды. В дальнейшем будут рассматриваться также разложения функций в тригонометрические ряды,

с одним	примером которых	мы	уже	познакомились
в § 7 главы 1.
Наряду	со степенными рядами		относительно пере
менной г, т. е. рядами вида
	a0 + a1z + ...-{-	апг" + ...,		(6.15)

нам	будет удобно рассматривать также ряды, степен
ные	относительно переменной г —а,	т. е. ряды	вида
	a0 + a1(z-a) + ... + an(z-d)n	+ ...	(6.16)

Ясно, что подстановкой y — z — a второй из этих рядов превращается в первый. Поэтому если круг сходимости первого ряда состоит из всех точек, для которых \z\t==R, то по тем же самым причинам круг сходимо сти второго ряда состоит из всех тех точек у, для ко торых \y\^R, т. е. \г — a\-^R. Иными словами, на комплексной плоскости, на которой изображается неза висимая переменная г, круг сходимости ряда (6.16)


			§ 9.		ФОРМУЛА	ТЕЙЛОРА			115
имеет тот же радиус					R, что	и круг		сходимости ряда
(6.15),	а	центр	его	расположен в			точке а.
В	частности,		если		ряды (6.15)		и	(6.16)	веществен
ные, то		интервал		сходимости		ряда		(6.16)	получается

путем сдвига интервала сходимости ряда (6.15) на а

вправо	(очевидно,		если	а < 0 , то фактически				происхо
дит сдвиг влево).
		§	9. Формула			Тейлора
Напомним		следующий			факт,	относящийся		к диффе
ренциальному		исчислению.
Т е о р е м а .		Пусть		функция		f (х) имеет в		некотором
сегменте непрерывные				производные до (п-\-\)-го				порядка
включительно,		а точка		а	находится		внутри	этого сег
мента.	Тогда	для	любого		х из этого же сегмента имеет
место	формула	Тейлора						&
						,
f(x) = f(a) + (x-a)l^				+	( x - a r f		^ + . . .
			. . . +	( х	- а ) "	! ^	+ Ііа(х),	(6.17)

где остаточный член		R,t	(х) может быть записан в					виде
Ra(x)^(x-ay^L-M							(6.18)
(форма Лагранжа),	причем £ лежит				между aux.			Оче
видно, число £ можно записать				также в виде а + Ѳ (х — а),
где \|Ѳ\|<1 _ .								Rn(х)
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть остаточный член
определяется равенством			(6.17). Покажем, что он дейст
вительно имеет вид,		описываемый			в	(6.18). С		этой
целью фиксируем	значения а			и х,	введем		новую	пере
менную у и рассмотрим функцию
Ф ( у К Ш + ( * - й . ф + ( * - у ) а / 4 г					+	•••
... + (х-УГ^				+	(	х -	у ) ^ ^	ф Г .

Очевидно, между а я х функция <р (у) непрерывна и диф ференцируема.

116 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

	Полагая у=х,	мы непосредственно						получаем
		Ф М = / М ,							(6.19)
а	полагая у = а, мы имеем
		+ (	'	а Г		+ (		' а	Г (,ѵ — à)
		1 ѵ		п\	1	ѵ
		1 ѵ			1	ѵ
		часть этого равенства							равна f	(х),
Согласно (6.17) правая, , .			, _		^		,	_	равна f	(х),
так что
		Ф (а) =		/(*) .					(6.20)
	Из (6.19) и (6.20) на основании теоремы Ролля для
некоторого І, лежащего			менаду а и х,					должно быть
	*	Ф' © = 0.							(6.21)
Но
				1
	- ( * - У ) ' - 1 Г + <*-0)						2,
	+ ( л с _	у)" q i f t g		_ (	я +	1) Д		М	( л е _ у Г	>
т.	е..
	Ф' (У) Щх-	УТ		-	(я + І)				-
и	(6.21) переписывается		как
	( * - l ) " ^ - ( n + l ) - c ^ r ( x - i r - 0 ,
откуда

а это и требовалось.

§ 10. РЯДЫ ТЕЙЛОРА Й МАКЛОРЕИА

117

§ 10. Ряды Тейлора и Маклорена

Если

функция / (х\

имеет

некотором

сегменте

производные

всех

порядков

(раз

они

имеются все,

каждая

из

них будет

дифференцируемой

поэтому

непрерывной), то можно написать формулу

Тейлора

для любого

значения

п.

Положим при любом /і =

1,2, ...

/ (а) + (x -

а) ф

+ . . . +

(x - а)" ^

„

(*) (6.22)

f(x)-Sn(x)

Rtt(x).

Если

lim

Rn(x) = 0,

(6.23)

«-•со

то ряд

f(a) + (x-a)^

+ ... + (

- a

...

(6.24)

сходится,

и его суммой

будет функция

f(x).

О п р е д е л е н и е .

Представление функции / (х) в ви

де

ряда

f(x) = f(a) + (x-a)^

+ ... + ( x -

^ + ...

называется разложением

этой

функции

в ряд

Тейлора.

В частности, при а — 0

разложение

в ряд Тейлора

называется разложением

в ряд

Маклорена:

/ W = f ( 0 ) + , m + . . . + ^ + . . .

Подчеркнем,

что

остаточный

член

в формуле Тей

лора (6.17) для функции

f (х) не обязательно

является

остатком

ряда

Тейлора

(6.24) этой

функции.

Поэтому

из

сходимости

ряда

Тейлора

для

функции

f (х) еще

не

следует

его

сходимость

именно

этой

функции.

ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

Следовательно, при разложении функции в ряд Тейлора следует проверять соблюдение условия (6.23).

П р и м е р . Приведем

пример функций,

ряды

Тейлора

кото

рых сходятся, но не к самим функциям.

Возьмем произвольную функцию вида

, .

( Р (—\

е~ x*

если

хФО,

о с ч

ф М = |

(6.25)

если

х — 0,

где Р — некоторый

полином.

Ясно,

что

при х=£=0

и таком, что

1/.ѵ не корень Е, должно быть и у(х)ф0,

так что функция ф (х)

во всяком случае тождественно нулю не

равна.

Функция ф (х) при хфО,

очевидно,

непрерывна.

Для

про

верки ее непрерывности

при

л: = 0

положим

1/х = у .

Тогда мы

получим

у(х)

Р(у)е-У,

так что, применяя нужное число раз правило Лопиталя, мы будем

иметь

1 і т ф ( * ) = 1 і т

^—=0.

(6.26)

x -* 0

i/tai

Значит, функция ф (х) непрерывна и при х — 0.

Найдем теперь

производную функции

ф(.ѵ). При ^ ^ 0 мы

можем ее получить

дифференцированием

соответствующего анали

тического выражения:

Ф ' М = Р ' ( | ) ( -

. " ? + я ( 1 ) Г

* -

( ± ) Г * , (6.27)

где Q—некоторый

полином.

Для вычисления значения производной при л:=0 восполь

зуемся формулой Лагранжа:

Ф ( * ) - Ф ( 0 ) = ф , ( 6 ; с ) )

г д е

6 < 1

(Применение формулы Лагранжа здесь законно, так как функция ш(х) оказывается непрерывной, а при хфО и дифференцируемой.) Переходя в этом равенстве к пределу при стремлении х к нулю справа или слева, мы, как и при выводе (6.26), получаем (пара-

		§ 10. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА					119
метр	Ѳ ограничен и			нарушить	сходимосгь	аргумента	к нулю
не может)
	ф' (0)=	lim ф' (*)= lim ф' (Ѳх) = lim ф				^ ~ ф ( 0 ) 0.	(6.28)
		-0		Х"0	дг-t-O	х
	Из (6.27)	и	(6.28)	мы видим,	что производная всякой функ
ции	вида (6.25)		существует и сама имеет вид (6.25). Ее можно

поэтому дифференцировать еще раз и снова получить функцию

вида (6.25) и т. д.		Таким образом, всякая функция вида (6.25)
имеет	производные	сколь угодно высоких порядков и все они
также	имеют вид (6.25).
В	частности,
	ф (0) = ф' (0) = . . . = ф'л> (0) = 0.
Поэтому в формуле		Тейлора	(6.22) для этой функции при а = 0
мы имеем
	s « W - ,	( P ) + ^	+ ... + ^	Ö ^ - o
при любом п. Отсюда следует, что
	Rn	(х) = ф (х) — S„ (х) =		ф (X),

так что Rn (х) вовсе не стремится к нулю с ростом п. Таким об разом, в нашем примере ряды вида (6.24) сходятся и суммы их тождественно равны нулю, отличаясь тем самым от функций ф (*).

Из приведенного только что примера видно, что не всякая функция может быть разложена в ряд Тейлора. Однако если разложение функции в какой-либо степен

ной ряд вообще возможно, то				оно является		разложе
нием в ряд Тейлора.
Т е о р е м а .	Пусть
f(x) = Co + c1(x-a)			+ ...+cn_(x-a)n		+ ...,		(6.29)
где стоящий	справа	ряд	сходится в		некотором		сег
менте [a — R,	a-\-R]	к функции		f(x).	Тогда	этот ряд
является рядом Тейлора,			т. е.
		* ~ е у * .				(6.30)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя к равенству (6.29) п раз теорему о почленном дифференцировании степенного

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ