Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бриллюэн, Л. Новый взгляд на теорию относительности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

32	Глава 2
распространяется примерно		8 минут? З а	8 минут
З е м л я	пройдет значительное	расстояние, и	величина

солнечного притяжения изменится. Если на Солнце


происходит взрыв,				его	действие		приходит			на	З е м л ю
через	8	минут,	а	противодействие				придет		на	Солнце
через	16	минут!	В	результате		переопределение					потен
циальной		энергии		становится		острой			проблемой.
В теории относительности имеются и другие труд
ности — при определении момента								импульса, момента
инерции		и вообще		всех	величин		и законов,			связанных
с вращательным			движением.			Эти		определения			т а к ж е
следует тщательно				пересмотреть.
Сосредоточим				пока	свое	внимание			на	проблеме

потенциальной энергии. Выход из описанных труд

ностей должен быть, пѳтому что,

как мы знаем,

тео

рия

относительности

плавно

переходит

классиче

скую

механику

при

выполнении

следующих

условий:

а)

все скорости материальных объектов ѵ много

меньше скорости

света

с:

V <

(2.4)

(это

условие

связано

с использованием

малых

потенциальных

энергий) ;

б)

расстояния

д о л ж н ы

быть

столь

малыми,

что

бы

можно

было

пренебречь

запаздыванием

при

распространении

сигналов:

т,

(2-5)

где

т — характерный

промежуток

времени

для

рассматриваемого движения, например его пе

риод.

В задаче взаимодействия Земли и Солнца

условие

а) выполняется почти всегда (за

исключением экспе

римента

М а й к е л ь с о н а ) ,

условие

б)

— н е т .

Теперь необходимо

подыскать величину,

которая

явилась

бы релятивистским

аналогом

потенциальной

энергии.

Тогда

можно

исследовать

пространственное

распределение этой новой величины и соответствую щей ей массы.

Некоторые

проблемы

частной теории относительности

О д н а ко прежде нам придется рассмотреть другую

трудность, возникающую при перенесении традицион

ных методов классической механики в теорию отно

сительности. Многие

из этих методов нельзя распро

странить

на

теорию

относительности,

от

них

т а к ж е

приходится отказаться в квантовой теории. В класси

ческой механике

ее

абсолютным

временем

можно

ставить и решать задачи с любым числом частиц

(на

пример,

М ь

М 2 ,

Мп),

расположенных

некото

рый

момент

абсолютного

времени

точках

г2 , . . . , г„.

Предполагается,

что

потенциальная

энергия U(Ti, г2 ,

г„)

является

некоторой

функцией

координат,

задача

рассматривается

3/г-мерном

пространстве.

Этим

очень общим способом сформу

лировано

большинство

теорем

классической

меха

ники.

Такой метод неприменим к з а д а ч а м

релятивист-

ской

теории,

где

к а ж д а я частица (с

координатами

]

л'п, Уп, zn)

данной

системе отсчета имеет свое соб- ' •

ственное время tn.

Теория

относительности

исполь

зует четырехмерное

пространство-время.

Изменение определений является очень серьезным обстоятельством и приводит ко многим следствиям. Рассмотрим, например, систему двух взаимодей ствующих частиц. М о ж е м ли мы утверждать, что по тенциальная энергия локализована на одной из них? Или ее следует приписать второй? Или распределить между ними? Если энергии отвечает масса, то где поместить эту массу? Этот принципиальный вопрос мы и д о л ж н ы обсудить.

Этот вопрос часто игнорировали и обходили, по тому что не во всех задачах он кажется достаточно • ясным. Одно из двух взаимодействующих тел может і

быть

много

тяжелее

второго,

следовательно,

оно j

почти

неподвижно,

например З е м л я , притягивающая

яблоко Ньютона . Согласно точно

сформулированному

Ньютоном

третьему

закону

механики,

яблоко

т а к ж е

притягивает

Землю .

Но

многие

теоретики

об

этом

забывают,

з а я в л я я ,

что

З е м л я

неподвижна,

что она

создает постоянное

поле

сил,

яблоко

движется

в этом

«заданном»

поле.

результате

они

обычно

2 Зак. 1357

34 Глава 2

допускают, что потенциальной энергии не соответ ствует какая - либо масса, и записывают полную энер гию в виде соотношения (2.2). Это, однако, является очевидным упущением, в связи с чем и появляется

необходимость провести настоящий анализ .

'§ 3. Значение понятия поля в теории Эйнштейна

Все эти вопросы тесно связаны между собой. В тесной взаимосвязи их рассматривал еще такой ве


ликий мыслитель, как Эйнштейн.			Он	ясно показал,
j что, поскольку действие	на	расстоянии			запрещено,
необходимо полностью	полагаться		только		на	дейст
вие, передаваемое постепенно		в виде		поля,		распро

страняющегося через пространство. Важность теории

поля	окончательно выступила			на	передний		план.
Идеи,	начало которым		положили	Фарадей		и	Мак
свелл,	получили	полное	развитие	в	теории	относи
т е л ь н о с т и . Было		выдвинуто предположение				о	реаль-

'ном физическом существовании полей далее в том случае, когда они не действуют на движущуюся ча стицу и остаются незамеченными. Такое предположе

ние выглядит в значительной степени метафизиче ским, но в релятивистских проблемах оно играет до минирующую роль.

Таким образом, проблемы о действии и противо действии на конечном расстоянии больше не суще ствует; закон равенства действия и противодействия


применяется				локально		в любой		данной	точке		про
странства-времени					с координатами х, у, z,				t.
I	Полю		приписывается			очень		сложная	роль:		оно
переносит			энергию,		импульс,		максвелловские			натяже -
\| н и я	и	пр. Мы		хотим т а к ж е подчеркнуть тот						факт,	что
ісамо		поле	обладает		массой.		Именно эти		вопросы		мы

намерены рассмотреть, поскольку многие теоретикирелятивисты не полностью учитывают всю их важ ность.

Начнем с простой задачи, д л я которой существует общепринятое решение. Рассмотрим сферу радиусом

Некоторые проблемы частной теории относительности

а с массой Mo и электрическим зарядом Q, распреде ленным на сферической поверхности. В покоящейся системе отсчета на расстоянии г этот з а р я д создает электрическое поле напряженностью

				F =		- £ - r ° ,				(2.6)
где г° — единичный				вектор		в направлении			г. Это элек
трическое		поле	имеет плотность					энергии	(в системе
СГСЭ)
				=			=			(2-7)
Согласно фундаментальному соотношению (2.1), это
соответствует плотности					массы
Плотность энергии				(2.7)		и	плотность		массы	(2.8)
можно проинтегрировать по всему пространству во
круг	сферы радиусом а,				что		дает
		F	--	—			мM	= v		f2 91
	Еэл			2а '			э л	2ас2
где	Еэл	— полная		энергия			электрического			поля,
а Мзл	— полная		масса		поля, распределенные					в про
странстве вокруг сферы. Сфера может иметь другую
массу внутреннего происхождения Mo, так что										полная
ее масса		равна
				Mg =	M0	+ Мзл.				(2.10)

Когда мы пишем эту формулу, мы учитываем, что со отношение (2.8) указывает на очень высокую кон центрацию массы в непосредственной близости к сфе рической поверхности, и предполагаем, что эта масса может считаться (как первое приближение) локали зованной на самой сфере.

§ 4. Случай		двух	взаимодействующих				сфер
П р о д о л ж и м		рассмотрение			задач	электростатики,
^ к о т о р ы е	более	известны,		чем	многие	другие	подобные
задачи,	и могут		быть	использованы в			качестве

36 Глава 2

типичных примеров. В этом параграфе мы рассмотрим

проблему двух тел. Пусть имеются две сферы								одина
кового очень			малого	радиуса	а с	массами	покоя М«
и Мц и з а р я д а м и Q и Q', которые						покоятся	в	некото
рой	системе	отсчета.		Расстояние между ними				обозна
чим	через	г0.	Пусть	Р (фиг.	2.1)	обозначает		точку,

Мо*£~-		±К
Q	r0	О'

Фи г . 2.1.

вкоторой мы измеряем напряженность результирую щего электрического поля F, тогда

											(2.11)
Плотность		энергии				электрического			поля в		данном
случае описывается						формулой
#эл = — \| F \| 2			=	—							(2.12)
где Ѳ — угол			между			векторами г и г'. Формула для
плотности		массы		принимает вид
9т = -		8яс2			Q2		Q Q' соэѲ				(2.13)

В этой замечательной формуле первый										член,	очевид
но,	представляет				в к л а д в		массу	М0	первой		частицы,
а	второй — в к л а д				в	массу	Mo	второй		частицы. Но
что означает			третий			член,	содероюащий			перекрестное
произведение			QQ'l

Некоторые проблемы частной теории относительности

Чтобы внести	ясность в этот		вопрос,		рассмотрим
сначала интеграл	от третьего члена в формуле					(2.12)
и обозначим его через		Еъг:
оо
£ в э = J«"B,rfT =	- ^ J (FF')dT =
- - ± № . + т К + ^ ' . ) * -						W
где д;, г/, z — координаты точки Р,			dx — элемент			трех
мерного объема,	( F F ' ) — с к а л я р н о е			произведение.
Введем статический		потенциал	V	дл я	з а р я д а Q',

нормированный с помощью обычного граничного ус

ловия ( V" =

0 на бесконечности) :

Ѵ' =

- ^ .

(2.15)

Интегрируя

(2.14) по частям,

находим

£ а з

(Fx

+ Fy +

Fz)

|Гв + ^

J V

(VF) dx.

Здесь первый член равен нулю, а

(ѴР) =

4 я р э л ,

(2.16)

где

р э л

— плотность

электрического

з а р я д а

Тогда,

полагая, что а

<С г0,

получаем

= V f Q = ~ -

(2.17)

' о

Следовательно, мы имеем следующую теорему:

Полная

энергия

взаимодействия

во

всем

простран

стве

есть

величина,

обычно

называемая

«потенциаль

ной

энергией»

двух

зарядов

Q и Q',

покоящихся

в не

которой

системе отсчета.

Это

т а к ж е

означает, что

полная

масса,

отвечаю

щая третьему члену в формуле (2.12),

пропорциональ

на потенциальной энергии двух зарядов Q и Q' и фак

тически

распределена во всем

пространстве:

(2.18)

33 Глава 2

Д л я двух точечных зарядов Q и Q', покоящихся в не которой системе отсчета, мы можем заменить аб страктное математическое понятие потенциальной энергии физической моделью, в которой энергия рас пределена в пространстве в соответствии с распреде лением напряженности поля.

Далее, если мы хотим рассматривать задачу о дви

жущихся	зарядах, мы	д о л ж н ы следовать	подобному
ж е методу	и вычислять	плотность энергии	поля обеих

взаимодействующих частиц. Члены, содержащие про изведение QQ', будут непосредственно представлять энергию взаимодействия при любых расстояниях и

любых скоростях. Энергия, распределенная				в про
странстве в соответствии с распределением				напря
женности	поля,	пропорциональна	распределенной
массе.
Рассмотрим, например, задачу о двух зарядах, ко
гда первый	из них	Q' покоится в	некоторой	системе

отсчета, а второй движется со скоростью ѵ. Поле за


ряда	Q' — это статическое				поле,	напряженность			ко
торого	F' определяется по				формуле		(2.6), тогда		как
напряженность поля F движущегося з а р я д а Q описы
вается	хорошо известными релятивистскими форму
л а м и	(см., например, [4]).
Тогда в этой специальной системе отсчета								можно
вычислить			плотность	энергии взаимодействия				заря
дов Q	и	Q'	(члены,	с о д е р ж а щ и е		произведение			QQ'),
а т а к ж е		соответствующую			плотность		массы.

§ 5. Где		могла	бы быть локализована		масса,
соответствующая			потенциальной	энергии?
Рассмотрим задачу, в которой выполняются усло
вия	(2.4)	и (2.5), и мы можем говорить о потенциаль
ной	энергии.
Масса,		соответствующая потенциальной			энергии,

фактически распространена во всем пространстве как

между	з а р я д а м и	Q и	так	и вокруг них.	Однако
если	мы более	внимательно		рассмотрим	формулу^

	Некоторые проблемы частной теории относительности			39
(2.13), то заметим, что перекрестный член		(описываю
щий	взаимодействие)
	Р - в з = 1 ^ Г е о з Ѳ			(2.19)
становится очень большим на заряженных			сфериче
ских	поверхностях, когда г = а или /- / =	а.	Это	ука

зывает на концентрацию массы вблизи зарядов и на значительное уменьшение плотности массы с увеличе нием расстояния. Эта концентрация, однако, не столь велика, как в формуле (2.8), она изменяется пропор ционально г - 2 , а не г - 4 . Тем не менее мы можем вве сти первое приближение подобно тому, как это дела

лось в	§ 3, и	утверждать:		для	сфер	одинаковых
радиусов	а -С г0	в	первом	приближении		можно	массу,
соответствующую		потенциальной			энергии,		счи
тать локализованной		на взаимодействующих				зарядах
Q и Q'	и распределенной		между		ними поровну.		Мы

перепишем соотношение (2.10) дл я полных масс сле дующим образом:

°	\	(2.20)
м'Й = м'0 + міл+-§£г.	J
' Распределение, даваемое формулой		(2.19), пол

ностью симметрично относительно г и г', и это оправ дывает «равнораспределение» массы, если частицы имеют одинаковые размеры и форму.

Стоит, однако, обсудить некоторые							подробности
(фиг. 2.2). Из формулы				(2.19)		видно, что на		больших
расстояниях			плотность	массы		(и энергии)		приобре
тает	определенный знак,				когда	Ѳ мало	и cos Ѳ равен
почти единице. Будет ли					на	больших	расстояниях
знак минус или плюс, зависит						от знака	произведения
QQ',	и	знак	будет таким		же,	как в формуле (2.18).
Однако		следует заметить,			что	плотность	р т , В	з в фор

муле (2.19) равна нулю на сфере С диаметром, рав

ным	расстоянию м е ж д у	з а р я ж е н н ы м и	частицами	Q и
.	в точках которой	мы имеем Ѳ =	л/2, cos Ѳ =	0.

40 Глава 2

Внутри сферы С плотность р,п , в з имеет противополож ный знак.

Так или иначе, плотность рО Т і В з может иметь оба знака, и масса, соответствующая потенциальной энер гии (как и сама потенциальная энергия), может быть положительной или отрицательной.

'cosS>0

Ф и г . 2.2.

Новые массы, вычисленные по формулам (2.20) для покоящихся частиц, д о л ж н ы быть хорошим пер вым приближением, если одна из частиц движется с малой скоростью ѵ, т а к что поправки будут только порядка о 2 /с 2 .

§ 6.	Случай		многих	взаимодействующих
зарядов		на	малых	расстояниях
и при малых			скоростях
Мы рассмотрели с некоторыми подробностями слу
чай	двух	взаимодействующих электрических зарядов
Q и	Q'.	Полученные		результаты можно обобщить на

случай диполя, квадруполя или мультиполя, взаимо действующих с точечным электрическим зарядом .

Рассмотрим, например, жесткую покоящуюся структуру, образованную некоторым числом зарядов QV Q". • • •. Q ( n ) и взаимодействующую со свободным

Некоторые проблемы частной теории относительности

з а р я д ом Q. Этот случай может соответствовать, например, кристаллической решетке, в которой дви жется свободный электрон. Предполагается, что заря ды Q', Q", Q("> имеют одинаковые радиусы а, электрически взаимодействуют между собой, и энер гия этого взаимодействия составляет часть полной

энергии		(и массы)		их жесткой			структуры.		Свободный
з а р я д	Q		(также радиусом			а)	взаимодействует с			ка
ж д ы м	из		зарядов	Qü\	и	половина соответствующей
массы взаимодействия локализуется на Q, тогда как
вторая	половина — на				к а ж д о м		из	зарядов	Q<->>. Н а з о
вем U потенциальной энергией всех этих взаимодей
ствий:
				"	00{І)
				2f-,			а<г,.		(2.21)
Масса			свободного з а р я д а				Q,	взаимодействующего
со структурой, становится						равной
			MQ = M0		+	M3n	+ JL.		(2.22)
В то ж е		время имеется			дополнительная масса U/2c2					и

на жесткой структуре. Это есть прямое обобщение формул (2.20).

Предположим теперь, что з а р я д Q движется с ма лой скоростью v. Тогда выражение д л я полной энер гии частицы Q и структуры [в отличие от величины,

даваемой формулой		(2.3)] имеет	вид
п	о л н	{1-ѵ/с)Ъ	^	2	( 2 ' 2 3 )
Формулу	(2.23)	можно переписать		в	несколько
ином виде:
Последний	член в	квадратных	скобках		есть новый

член, соответствующий нашей теории, как непосред ственно видно из сравнения формул (2.24), (2.3) и (2.10). В большинстве практических случаев он остается малым и формула Эйнштейна (2.3) является хорошим приближением .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ