книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

Учитывая

(5 .1 8 )

и ( 5 . 1 9 ) , будем иметь

П

А{

ocj *.

,

если

> О

( 5 .6 8 )

или

ч т

9

- i

Z ;

у'

ОС- >,

% .

/

вСЛИ

У

h i d

j i

< О ,

( 5 .6 9 )

/

У

/

Г “

v

I

г-=1

Заменяя в выражениях ( 5 .6 8 )

и (5 .6 9 )

Zj

и

жг значениями,

получим

Aj

у ПС <_А/

если

1

( 5 .7 0 )

Д

' </'

&

/ = 1

или

л,-

А;

( 5 .7 1 )

—L ЪХ; *-~

1 ^

/ *

'

^

й.

/

А

1=1

Применяя метод экстремальных уравнений, можно найти решения

системы модулярных уравнений ( 4 .2 5 ) .

Эти решения входят в мно­

жество решений системы модулярных неравенств

( 5 .6 2 ) .

На основании ( 5 .2 ) и ( 5 .5 ) при

0 < Л <

i

можно определить

решения системы строгих модулярных неравенств вида

Л

( * ' = v O .

(5 .7 2 )

J xi

Предположим, что определитель системы

( 5 .7 2 )

не

равен нулв.

Учитывая, что

О < X

<

i

из выражений ( 5 .6 8 )

и (5 .6 9 )

получаем

Z ; < Я ;

<

*/

если

k t- J j i

> 0

( 5 .7 3 )

i - i

или

>х/

> 2 ,

если

(5 .7 4 )

номерной, а все другие системы являются многомерными.

Пусть на вход одномерной линейной системы

в

момент Ь

поступа­

ет входной сигнал x .( t ) . С помощью & - функции Дирака входной

сигнал X (t) можно представить в следующем ввде

(6. 1 )

При известном операторе линейной системы Л (t

зависимость

между

входным сигналом X (t) и выходным сигналом

)

выражается

формулой [27]

Едесь W ( t , T ) -

весовая функция линейной си стеш ,

определяемая

выражением

\\1(Ь>ъ) = У ft , r ]

L ( T ) .

(6 .9 )

Так как оператор линейной систеш зависит от параметров эле­

ментов,

. то ее весовая фикция выражается формулой

Wit,?)

= У[t,tf Li?)

$ (t,T).

(6.10)

2 . Надежность линейной управляемой системы.

В данной работе

циальными уравнениями

[62] .

В результате линейного преобразования входных случайных функ­

ций X; it) на выходе систеш получаем выходные сигналы в виде

слу-

чайных функций y s (t) .

Состояние линейной системы

в момент i

ха­

рактеризуется вектором

=

у Л * )}

,

который называ­

ется фазовым вектором.

Компоненты вектора

y (t)

называются фазовыми

но называют вектором управления,

а его

компоненты управляющими воз­

действиями.

Пусть некоторая

область Ю (разового пространства векторов

{уЛО, fa it),..., y n(t)j

фиксирована.

Будем считать, что рассматривае­

мая система работает

исправно в течение времени [ о , Т ]

, если

вектор y (t)

находится в области

Ю . Переход системы из исправного

состояния в неисправное означает случайный выброс функции y(t')

из области

Ю .

Б качестве основной характеристики надежности линейной управ­

ляемой системы принимается функция надежности

Р(т) = Р( уШ б£);

t бТ} .

(6.II)

Если

случайная функция y ( t )

является монотонной,то функцию

надежности Р (Т ) можно определить

по одномерному распределению

y ( t )

в момент

I

[7 ] .

'

Условие безотказной работы системы в течение времени

[о, Т 3

за ­

писывается

в

следующем виде

с с ‘(т) v< y ( t ) < 'еС"(Т)

при t e [ o , T ] '

( 6. 12)

Здесь

аС 'ХТ)

-i

1 п /

у ( t )

-

нижняя граница

a t s t

и

X "(Т)

«

i u p

у ( О

-

верхняя граница значений y ( t ) .

о * t

■

Верхняя граница значений y ( t )

не возрастает, а нижняя граница -

не убывает,

причем

Х'(Т) < <Х-"(Т).

Принимая во

внимание

выражения

( 6 .I I ) и ( 6 .1 2 ) , получим

Р ( Т )

= P { y ( i ) € S O ;o ± t ± T }= p {/(T U y (t)4 e C ''(T );C ± tiT } .(& .I3 )

a n ( t )

d ny(t\

+ а *-М>

d

n~'y(t)

-a,(i)

cly(t)

- a c ( i ) y ( t h

d tn

d t n

cii

e

d mx ( t )

,

} d m<cc(t)

( 6 .i4 )

dt

+ . . . + h m ^ - + b c { t ) x ( t )

с начальными условиями при

t = tc €

f C>T]

( r t - f )

У n-1

( n - Z )

у ( f o) = / 1>

У

(to) -

> У

(to) ~ f n - z

/ (to)

- y 0 ,

где x ( t )

и

y ( t )

- непрерывные случайные функции,

причем

/С

x ( t ) = X ( i ) + 5 Z Vi М О ;

(6 .1 5 )

_

i=i

o c ( t )

-

математическое

ожидание случайной функции

x ( t )

,

Vi

-

некоррелированные

случайные величины с

математическими

ожиданиями, равными нулю,

'/■L( О

-

координатные функции, заданные при t е [ о , Т ] ,

Вероятностные характеристики случайной функции

x ( t ) ,

поступающей

уравнение (6 .1 4 )

имеет решение при любом выборе начальных данных

t c, у о, у , , . . . , у

rx-i • ПРИ зтих предположениях изложим один из

возможных

методов

оценки надежности линейной управляемой систе­

мы [6 2 ] .

Пусть область

£>

фазового пространства задается неравенством

Л т ) ^ ( О и ' ( г ) ,

* € [ о , т ] .

(6 . 1 6 )

Так йак на

вход поступает

случайная функция ( 6 . 1 5 ) ,

то на выходе

линейной системы будет

случайная функция вида

Л.

У it) = ij(t)

+ ^

V ifc (t ) .

( 6 . 1 7 )

_

i -1

у ( 0 ,

Здесь у (t)

- математическое ожидание случайной функции

fi(i)

- координатные функции, непрерывные при

Ы [с,Т ] .

Подставляя

в неравенство

( 6 . 1 6 ) вместо

y ( t ) ее

значение

из ( 6 . 1 7 ) ,

имеем

к

d'(T) ± j ( t )

+ ]

Г

V ifi (t ) & *C'(T)f

Ы [0 ,Т ]

( 6 . 1 8 )

e£'(T)‘: y i t ) * ^ r V i V ' i ( t ) 4 ec'(T)-y(Lt), t * [ 0 ,T ] .

( 6 . 1 9 )

t

Из формулы ( 6 Д 7 ) следуетf

что

/с

-д>

j ( t ) = y t t ) - y ( t ) = ] Г Vi f c ( t ) = V -y ;

(6 .2 0 )

где f i t ) - центрированная

i-i

случайная функция,

оС‘( т ) - y (t ) £ у {t) ^ < *" & )- y ( t ) , t e [ o , T ] .

( 6 . 2 1 )

Так как неравенство ( 6 . 1 3 ) справедливо для любого

[о,Т] ,

где 2/

и

- неизвестные границы допустимых значений V, •

Для установления линейной зависимости и независимости функций

y-L{ t )

( i * 1 ,K )

введем в рассмотрение определитель специального

вида

1 У,И,) bit,) ... Ун it,)

tit*)

bit,) ...

у* Ш

« ! < > ] ' б {

(6 .2 6 )

y ( U )

b i t к ) . . . У к ( и )

где

tj£ [о,Т]

Q

“ UIе) -

случайная выборка

значений аргумента Ь .

Здесь индексы

L

и j

указывают соответственно номер столбца и

номер строки,

на пересечении которых расположен элемент У; ( t j ) .

Определитель

В - $ [

y t i t j ) }

обладает всеми свойствами обычно­

го

определителя и имеет ряд специфических свойств. На основании

зать,

что

если функции

y i ( t )

( i =

1, а )

линейно зависимы в интер­

вале

(

о

,

Т ) ,

то

определитель

3

= о

для любой бесповторной слу­

чайной выборки значений аргумента-

t

.

Наряду с этим можно указать

еще одно замечательное свойство определителя

3

. Для того, чтобы

функции

У it),

yz l t

) , . . УкИ )

были линейно независимы в интервале

непрерывности

(

О ,

Т ) ,

необходимо и достаточно,

чтобы их опреде­

литель

3

{

t j }

был отличен от нуля при любой бесповторной случай­

ной выборке

значений аргумента .

Для оценки надежности линейной управляемой системы использует­

ся определитель

& { t j ]

при условии,

что элементами главной диа­

гонали являются

средние

значения функций

У,И),...,

[65] .

Если определитель ( 6 .2 6 ) ,

составленный из координат векторов

у ( 1р отличен

от

нуля,

то система

этих

векторов

образует базис

к

-

мерного векторного

пространства.

Тогда при любом значении

t

Ф t j

вектор-функция

у (t) в

к

- мерном векторном прост­

ранстве является линейной комбинацией векторов

у

i t )

^ X t f i t , ) + Xz f { t z )+ . . . 1 - Xj Y ( t j ) t . . . + X K. y ( t lc) ,

(6 .2 7 )

—>*

где

X j

-

коэффициенты линейной комбинации,

Y ( t j ) - линейно

независимые

векторы.