книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

г , +

+

. . . + « ^ n = С 1 ,

« i f

Sf +

« г г

+

-+■ 0^2,П £ п

~

Сг ,

(5 . 6)

« л< 2| +

a n3, z z +

,,

. . +

&п гг^п.

~~ ^ /г

&■ 71

+ «/г

+ .

« /п % п ~ ^ 1 ’

« г / +

a i z Zz +

.

+

« г п

^ п. ~

у

(5 . 7)

&п,

2 ,

+

CLnz

+

.

. .

+ О. лгь Ъ п

-

ё

мальными [ 6 2 J .

Решая системы экстремальных уравнений ( 5 . 6 )

и ( 5 . 7 ) , находим

2 ; =

М <! с 0 = д

(5 . 8)

Д

*. = J - д. (ел = -=i- ,

(5 . 9)

2J

д ^ 1

д

где

/

и

«

определители»

получаемые из Д заменой

| -го

А ^

А^ -

столбца

свободными членами.

Сравнивая выражения ( 5 . 8 ) и

( 5 . 9 ) , получаем

Z j - t j - - + ± ( - 6 < - с Щ - - ± ^ - с д Л / г ,

(5. 10)

V

-j -

л

-'"V .

Z=i

z=i

где A j {

-

элемент

j

-

ой строки и

У -

го столбца обратной

матрицы

чЛ

* ,

В соответствии

с (5 .1 0 ) имеем.,

Ъ

ш г ;

*

если

{~ с г ) d

j i

- 0 ,

( 5 . I I )

i =l

°

I

Z; >,2l

'■ »

еслЕ

> 0 ,

'(5 .1 2 )

</

<f

i

* i

n.

' V ‘ V

'

если

2

( 4

-

c i )

j

j

'/ < 0 .

(5 .1 3 )

i - i

■На основании определений

точных границ1 из предыдущих выражений

получим

Г

I

■п

A j

если

> 0 ,

■1ч t

x j = i n f x ;

(5.14)

A t

если

^

< 0

A

X^i

A;

если

^

A

r

c i ) ^ j i

y o,

X

’

1ч1

Xj = Sup. Xj = -<

(5.15)

АУ

,

если

( 4

~Ci) d j i

О .

i-

или

&;

если

(Si -Ci) J - J i < C .

(5 .2 1)

- * xr

i^ l

уравнений.

'

Предположим,

что

2у

= 2

и

(у-i,n). Полагая в выражении

(5 . 5 ) 2 ; =* Z. и

2 ;

= 2

, получим системы экстремальных уравнений

О

О

Х > - г

(5 .2 2)

У ---------- г

Г -1

Л у * = h

( { ~-1>п ) •

(5 .2 3)

У =i

Решая системы экстремальных уравнений (5 .2 2) и ( 5 . 2 3 ) ,

находим

Ci

(5 .2 4)

Z -

Z

а у

г =

(5 .2 5)

2

- г =

S i

- с,-

(5 .2 6)

На основании

(5 .2 )

и (5.2С )

имеем

•

‘г

а

■ST”

(5 .2 7 )

2

ь

OCj

±

%

,

если

^

Я у

> С1

или

Л

г >

•» г

, если

^

CLy < О ,

_

(5 .2 8 )

Подставляя значения

2

и

X в

выражения (5 .2 7 )

и

(5 .2 8 ),

полу-

ч т решения системы двойных неравенств

2>-

Ci

,

„

,

если

> о

(5 .2 9 )

----------

4

Xj

‘

Г

“у

;~1

Х >

у

/ - 1

г - 1

ш

п

Сi

если

Д у

< 0

.

(5 .3 0 )

ц -------- *

Я /

*

—

Z

“ y

2 > /

Г - 1 '

Г

‘

с-

£■

Таким образом

2

и —

, если отношения :—

---------- г

7г~------- - 2

Л

а у

T

° v

постоянны,

-FT

V

определяются

выра­

то решения системы двойных неравенств

жениями (5 .2 3 )

и

(5 .3 0 ) .

Если

C^ + Si

= О ,

то

систему

двойных неравенств

(5 .1 ) можно

записать в

виде

‘ 1 > / 7 - -

( * = Л « ) •

(5 .3 1 )

Применяя фор^лы

(5 .8 )

и

( 5 .9 ) , подучаем

л 1

Я

1

(5.32)

2 = i V _ = V

6 , J n-i

(5 ,3 3 )

J

&

*

an

i-1

Согласно

( ЬоЮ )

имеем

* j - * r - z

Z

e -

(5 ,3 4 )

i - i

Учитывая

(5,1.8)

и (5 ,1 9 ) при условии, что

С{ - -

S-

, находим

‘ * /

4 xi

если

Л 6i J J i

> О

(5 .3 5 )

г-1

ИЛИ

Zj

>, X j

>, X j

,

если

B iJ-jf.

< О ,

(5 .3 6 )

t ' i

Принимая во

внимание

(5 .3 2 )

и ( 5 ,3 3 ) ,1получаем

Aj

п

4 X; £

если

(5 .3 7 )

А

Г

г -1

или

X м

-1

о

А

-

*

X; >,

- * ± -

если

. •

<

(5 .3 8 )

&

J

А

,

г=1

Таким образом, из условия

с,- +ё^ = 0 следует,

что

2 - и 2 :

имеют противоположные значения,

т . е .

Z: + TL- = о .

*

Если

Ci

-

<г

/

(5 .1 )

можно

О , то систегду двойных неравенств

представить

в

виде

^6 21 flv ^

6

( г = у,/г-) -

(5.39)

Обозначим через

Z:

- У

- ю координату

т —ой вершины

шогогранника, а

через

*

J ( mr

компоненты вектора свободных членов.

d i

, мы будем иметь серию систем

уравнений вица

1

(т)

/(т )

Хт )

f/n;

а„ г, -г

г*.

+

.. + а ш

<

,

_ _ ("*)

„ (>0

(т )

J

( ™ )

:

+ .,. . + й г п гл

=

’

Г ( « 4 * 0 (5 .4 5 )

( т )

f/nj

... . +

й ял 6 л

~

+

,(т)

«

О ж

i

,

компоненты

а

,•

с

двумя значениями

По определению индикатор компоненты

вектора

свободных

членов равен

(т)

0

,

если

j (*>

_

,

_

=

<\-

6 ■ -

•

/(«О

£

\т = У УМУ

( 5 .4 6 )

•'t

i

,

если

CL{

= Pi .

эжения

(5»46)

следует,

что

Ci t

если

6t

- О ,

(5 .4 7 )

“ t

"

)

,

>

V

о1,-

если

= i •

г ••• > ОСл

П

*

|

П

С»

- ^ a is x s 6

aij XJ

4

4 ' "

& = £ * ) .

(5 .5 5 )

S=KH

j

= l

S--H+1

Выберем для этих переменных эгк+, ,

, ос п

произвольные значе­

ния оСщ.{ , ■■ ., аСп .

Тогда

система

(5 .5 5 ) превращается в систему

х

двойных неравенств с

ж

переменными

ос,, . . . t х л

п

/С

п.

C-i ~

6

X

а у Х/

4

X

a is^s .

(5 .5 6 )

s ^ i

Г - 1

s -*+i

Применяя формулы (5 .8 )

и ( 5 . 9 ) ,

находим

X

> X- 3-

— L- ,

если V (i>i~

<О.

(5.61)

й

4

&

~

1

г - 1