книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

о

с

|

Принимая во внимание формулу

( I . 6 I ) ,

получим

(1.63)

Для экспоненциального закона надежности справедливо следующее

характеристическое

свойство

p ( t + 6 )

е

- x ( i + 6)

(1.64)

Приведем еще

оцно

замечательное

свойство

этого закона. Из выражения

( I . 6 I ) следует", что для любого t

справедливо равенство

—L____ (_ - —— ----i—-

- .—t----------- (1.65)

ait)

fi(t)

ait,)

pit,)

''‘

a(tn)

pita)

Покажем, что

если разность

t_______.— -

с > o

есть постоянная

act)

fid)

a(t)

(, ) _

с а а(*)

иди

рСО = Сo.(t) .

q,(t)

Откуда, используя

( I . I 6 )

и равенство

i- =

С

, подучим

d i

~

Л ’

(1 . 66)

Интегрируя полученное уравнение

от С

до

t ,

найдем

t

in p ( t ) ^ - \ x d t * - X t .

с

Таким образом,

p i t ) =

- A t

£

a W

= ~

r

W

“ ~

e ~ * ‘ >

(1 -67)

где cL

и А - параметры гамма-распределения,

принимающие положи­

тельные

значения.

элемента при целом числе d

Вероятность отказа

будет равна

л tI

о£ •

- A t

d i .

$ ( * ) - U

m

t

=J*

Г ( х )

е

После замены переменной

At - %

ж вычисления последнего

интеграла

получим

,

( t ) - T7T\ J 2

e

d z = i - e

Ц

l !

(1 . 68)

ЛЧ)

i ~o

на продолжительность работы элемента.

При

d = /

из формул ( 1 . 6 7 ) ,

( 1 , 1 7 )

и ( 1 . 7 3 )

следует, что

а ( { ) - Л £

,

Т -

и £ )( Т )

= ( Т ) , т . е . гаммараспределение

сводится

к экспоненццел9ному закону.

Интенсивность отказов при d < I

уменьшается,

при d - /

постоян­

на,

при

d

I

увеличивается.

Закон надежности Вейбулла

Для рассматриваемого закона частота отказов определяется

формулой

—d iI

^

^

а (0 = оСЛв

t

7

( 1 . 7 4 )

где

d

и

Л- _

параметры распределения Вейбулла [2 8 ].

•

Подставляя

значение

« ( О

из выражения ( 1 . 7 4 ) в формулу ( I . I 7 ) ,

найдем вероятность отказа

г

!<*■

, <*-. t

-с-е

. v

(

. d -1 - Л * . ,

= ~ е

~ d t

^(0 = J^ca/

е

d t

( 1 . 7 5 )

функцию надежности выразим через вероятность

отк аза, а

затем

ш есто ^

( t)

подставим

ее

значение из ( 1 . 7 5 ) . Тогда

M i )

a ( t )

,^ 4 - i- i

p t t )

( 1 . 7 7 )

24

Подставляя в выражение (1 .3 5 )

значения a ( t ) и <^(i) . получим

функцию ресурса надежности

а (0

еСЛ t dL-i

( 1 . 7 8 )

оо

ос

л 4 d'

Т = \P(t)oLi

= \ е~

d t .

*

:

Г ( с ± )

• (1 .7 9 )

Дисперсию времени безотказной работы вычислим по формуле

( 1 . 5 4 )

ОО

оо

/

£ > ( T ) = z j { / > « ) < l t - ( f ) ‘ ~ z j t e

d t - ( f )

»

л(0 = х ?

, й0 (т ) = - L ^ ( f ) 2-.

I

Закон надежности Рэлея

Рассмотрим основные характеристики надежности при распределе­

нии времени отказа по

закону Рэлея, В этом случае функция надежно ста

к =

i

(1 .8 9 )

0,9

+ ф Г Х » 4,

?

I 0 \6 0 /

Пероятн.сгь отказа элемента 'определим по формуле ( I .IV ) ,

подставляя вместо ct(t)

ее

значение.

Получим

,

^ 0

i z l t i o jo

или

\9.(г£) +п {£

(1 .9 0 )

?<0=

[о7»"+ч(й)]

Подставляя в выражение

(1 .4 ) вместо q ( i )

ее значение,

получим

;футстд а

надалности

[Ч2( ' # ) + ^ ( й ]

ч * - « ( ч г )

( I . 91)

р и ) = 1

* >*<%($:)

pt+WJ.',]

данное

распределение удовлетворяет начальным условиям р ( о ) - !

и

q (о) - О , что подтверждает правильность выбора коэффициента про­

порциональности.

По формуле ( I .J 3 )

надаем интенсивность отказов

(_ ^ -т 0) й

(Н 0_

б 2 б /

(1 .9 2 )

M i ) =

ния вероятности восстановления

и имеет размерность

.

По величине V ( r ) можно судить

о числе элементов,

которые могут быть

роятность восстановления элемента за время

% может быть определе­

на интегрированием функции 1>(г)

в пределах

от О

до

Z

Т

\

] [ { г ) = J v ( v ) d v .

,

( 2 . 3 )

о

Подставляя в выражение ( 2 . 1 ) вместо Mir) ее

значение

из (2-.3),

получим

в ( ъ ) = l - j v ( T ) c h : .

( 2 . 4 )

с

Вычислим теперь вероятность невосстановления

элемента G i ^ / r )

в промежутке времени ( Z , Z,)

при условии,

что до момента Z эле­

мент не был восстановлен. Для

этого необходимо воспользоваться фор­

мулой условной вероятности, а

именно

б- { % / z ) ~

•

(2*5)

Тогда вероятность

восстановления

элемента на интервале времени

( X , Zf ) при указанном условии будет равна

У ( ъ М = 1 - 6 - ( Ъ / г )

(2 .6 )

2 . Интенсивность

восстановления.

Определение, функция, выражающая плотность условной вероятно­

сти

восстановления в момент

Г

при условии, что до

этого момента

элемент не был восстановлен,

называется

интенсивностью восстановле­

ния.

Г, -Z+ д Z-

вычислим интенсивность

Полагая в формуле ( 2 . 6 )

восстановления

jJi ( г ) ,

как предел]

отношения

V ( * + * Щ

при

Д Т

о ,

Д X

а I X ) - и *

V ( ? + a ? /r )

1

бЮ -С С с+ л*)

- - т у ( 2 - 7)

—

Р ё —

=

—

J r ----------- =

J

6.

с