книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

*

-

^

J s / s

V' * > y ) - 1 = 0 .

(13 .74)

S -1

Таким образом, если неявная функция приводима, то ее параметры

можно оценить методом минимальных отклонений.

Точность

оценки параметров зависит от числа

, чем больше

.

(13 .75)

Здесь

y

s

и

X i

(

S =

/, л ) ;

( i = t, /п ) выходные и входные

сигналы,

Xj

( j

~

х

)

параметры управляемой системы,

а

f s

-

заданные функции своих аргументов.

Предположим, что "качество" выбора структурной схемы опреде­

ляется

функционалом

«У =

У (я?/, ■■■, •£т )

у

,

Л ,, . . . , Л л ) •

(13 .76)

Если считать

входные сигналы

заданными,

то функционал &

будет

*7 =

( у /о- - •, Упо> X/ , ... f

П-ir) .

(13.77)

Будем называть начальные данные

у so и параметры системы

X j оп­

тимальными, если они доставляют

функционалу

«У

максимальное (минимальное) значение 155J

,

Для нахождения оптимальных значений

у so

и

X j

будем при­

менять повторно градиентный метод. Обозначим через

IV ,

и

W 2

области фазового пространства начальных данных

у

s

и параметров

Xj .

Пусть

у so

любая точка

из

IV ,

,

a Xjo

любая

точка из

U/2 • Предположим,

что система

(13 .75)

имеет при

X j

= Xjo не­

прерывное решение

=

У>0> '-> Т/ло,

Хто> Хю,.. ■,

^/со)

(13 .78)

с начальными условиями

у $

~

У so

при

t

= t<>€ [ о , Т ]

. Вычислим

функционал

2/о

в

точке

у $ -

у So

.

Xj = X jo

и, закрепив па­

раметры

Xjo

«

найдем градиент функционала

U

по начальным дан­

ным

у so

д У

(о)

(1 3 .7 9 )

d y So

У s

7

£s /

где

-,(0)

координатные

орты.

у s

-

Направляющие

косинусы

этого

градиента

имеют вид

1

(1 3 .8 0 )

При максимизации функционала в

области

W ,

после

определения

градиента

7)

движение производится

с фиксированным достаточно ма­

лым шагом вдоль луча,

совпадающего с

направлением градиента до точ­

ки, в которой достигается граница области

W ,

или максимальное

значение

(У .

Затем в этой

точке

вновь определяется

градиент и

процесс повторяется.

Будем максимизировать функционал

7f

и обозначим наибольшее

значение функционала

7)0

через

^ =

V

С Л ,,Л г , . . . , а к) . Найдем гра­

диент функции

/

/

>s—■

е У

.

(°)

d S

( V

(

(1 3 .8 1 )

Jyzj

d xj°

*

;

Cj

д л :0

dxj°

У = Т ( х , у )

. Цри наличии устойчивости

будет

величина Т —- оо

,

что позволяет

указать

приближенный способ

отыскания параметров X j

,

при которых положение равновесия будет устойчивым.

Зафиксируем числа

y s ( c ) , тогда

величина

Т

является

функцио­

налом, определенным на движениях системы

(1 3 .7 5 ) .

Применяя описан­

ный выше метод максимизации,

найдем приближенные

оптимальные

значе­

ния параметров

X

при которых 2

y U t )

<

е г , 1 6[о,<*>].

s~i а

Эти параметры в общем случае могут и не давать устойчивости,

так

как начальные условия

у So

были закреплены, однако для ряда

началь­

Изложим теперь другой подход к решению данной задачи.

Пусть

V

г)

некоторая положительно определенная функция,

П

^

например квадратичная форма V =

0(&■: у s

.

Найдем полную

производную функции

V

V -

cit

^

dys /s

= w (y ft у г ,

. . . , у п , Л 1ГХ г , . . . , Х ^ т(13 . 82)

S - I

Из теоремы Ляпунова известно, что положение равновесия системы

(13 .75)

будет асимптотически устойчивым,

если функция

W

будет

отрицательно определенной, функцию W

можно сделать

отрицательно

определенной лишь за счет выбора параметров

X j

. Рассмотрим по­

ложительно

определенную функцию

п

s=i

Очевидно

S = £

есть

замкнутая

ограниченная поверхность.

Найдем наибольшее

значение

функции

W

на

этой поверхности

и выберем затем

X j

так, чтобы это наибольшее

значение было отри­

цательным.

Отыскание наибольшего значения

W

при условии

S = £

dy-s

_

d W

_

V S

^

(13 .84)

d T

d y s

f

d y s

где

■ч--1 d W

d S

_

VWvS

_ j r r

¥

(13 .85)

^

( v s ) 2

^

( _ S S _ ) 2

t

r

r '

d y s '

Эта система обладает следующими свойствами:

а) любое движение,

начинающееся на поверхности

5 = £

остается

на

этой же поверхно­

сти, так как полная производная функции

S

-

нуль;

б)

вдоль любо­

го решения функция

IV

не убывает.

S = 6

Возьмем некоторую точку на поверхности

,

например,

О

О

построим решение

^

( т )

системы

y s

и для параметров X j

(1 3 .8 4 ), проходящее через данную точку

y°s

при

Z

- О

. Ври

этом возможны два

сдучая:

а)

либо

W > 0

,‘

б)

либо

W

& 0 .

Пусть,

например,

W 6 О

при

Т

- о

.

Обозначим через

Т

первый

момент,

когда

W

- О .

Величина

7

будет функционалом, определен­

ным на решениях рассматриваемой системы.

Положим И -

Т

Далее будем максимизировать величину

£7

до тех пор, пока либо

траектория

y s(? ) не

будет оставаться

в

окрестности некоторой точки

траектории,

либо значение

«У

не будет

достаточно велико.

В

случае

W ( у " , ■■■, у а ,

X j

,

-Л-к )>0 нужно предварительно

максимизировать эту

величину по

до

тех пор, пока не будет

W ( y , V - ,

у п , X , , . . . ,

Х к ~)

^

о

.

Затем перейдем к выше опи­

санному случаю. Такую процедуру желательно повторить для сети на­

чальных

точек

у /

на поверхности

S

= £

и найти оптимальные

значения параметров

Л / .

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 .

АНДРОНОВ А .А .,

О статистическом рассмотрении динамических

систем, Собрание трудов, Изд. АН СССР, 1956.

2 .

БЕККЕНБАХ. Э .,

ВЕЛЛМАН Р ,Н ер авен ства , "Мир",

1965.

3 .

БШШПЕВ Л.Но,

(МИЕНОВ Н .В ., Таблицы математической статистики,

М ., "Наука", 1965.

4 .

БОЛТЯНСКИЙ В .Г . , Математические методы оптимального управления,

"Наука", 1965.

5 .

ВЕНТЦЕЛЬ Е .С ., Теория вероятностей, "Наука", 1964.

6.

ГНЕДЕНКО Б .В ., 0 дублировании с восстановлением, Изв. АН СССР,

Техническая кибернетика, 5(1964).

7 .

ГНЕДЕНКО Б .В .,

БЕЛЯЕВ Ю.К., СОЛОВЬЕВ А .Д ., Математические

8.

метода в теории надежности, "Наука", 1965.

ДРУЖИНИН Г .В ., Надежность устройств автоматики, "Энергия", 1964

9 .

ЗУБОВ В .И ., Математические методы исследования систем автома­

тического регулирования, "Судпромгиз", 1959.

10 .

ИБРАГИМОВ И .А .,

РОЗАНОВ Ю.А., Гауссовские процессы,

М., "Н аука",.1971.

II»

КОЛМОГОРОВ А .Н .,

Основные понятия теории вероятностей,

"Наука", 1974.

12.

КОЛМОГОРОВ А .Н .,

0 логарифмически нормальном законе распределе­

ния размеров частиц при дроблении, ДАН СССР,

31, 2 (1 9 4 1 ).

13 .

КРАСОВСКИЙ Н.Н .,

Теория управления движением,

М., "Наука", 1968

14.

ЛАВРЕНТЬЕВ М.А.,

ШАБАТ Б .В ., Методы теории функций комплексного

переменного, Физматгиз, 1965.

15 .

ЛАНС ДЖ. Н ., Численные методы для быстродействующих вычисли­

тельных машин, ИЛ, 1962.

16 .

ЛИЕШИЦ Н .А ., ПУГАЧЕВ В .Н ., Вероятностный анализ

систем автома­

тического управления, "Советское радио", т .

I ,

1963.

1 7 .

ЛИШШК Ю.&., НОВОСЕЛОБ В .С .,

Случайные поаауцения регулярной

прецессии гироскопа, ПЖ,

г 7 , ш .

О, 1963.

1 8 .

ЛИШМК Ю.В., Теоретико-информационное доказательство централь­

ной предельной теоремы в условиях Лкнце'.-ерга, Теория вероят­

ностей и ее приложения, т. 4', выл.

3 , в9139.

19 .

ЛЛОЙД-Д., ЛИПОВ «1., Надежность. Организация исследования.

Методы. Математический аппарат, "Советское радио", I.9G2.

20 .

ЛЮСТЕРНИК Л .А ., СОБОЛЕВ В .И ., Элементы Функционального анализа,

"Наука", 1965.

21 .

МАРКОВ А .А ., Исчисление вероятностей,

изд. 4 -е ГИЗ, 1924.

22 .

Математическая теория надежности

информационно-логических

управляющих устройств, Под общей редакцией Зубова L .H .,

Изд. ЛГУ, 1966.

23 .

МИЛН В .Э ., Численное решение дифференциальных уравнений,

Ш1,

1955.

2 4 .

МИТРОПОЛЬСКИЙ А .К ., Техника’ статистических вычислений,

Физматгиз, 1961.

25.

МИХЛИН 2 .Г . , Лекции по линейным интегральным уравнениям,

Физматгиз, 1959.

2 6 .

ШСОВСККХ И.П., Лекции но методам вычислений, Физматгиз, 1962.

27 .

Основы автоматического управления, Под редакцией Пугачева В .С ., ^

Физматгиз, 1.963.

2 8 .

ПОЛОВКО А.М ., Основы теории надежности, "Наука", 1964.

29.

ПОНТНтШ Л. С ., ГАМКРЕЛКДЗЕ Р .В ., БОЛТЯНСКИЙ В .Г ., МИЩЕНКО Е .Ф .,

Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961.

3 0 .

ПРОХОРОВ Ю .В., РОЗАНОВ IC.A., Теория вероятностей, "Паука", 1973.

3 1 .

РОМАНОВСКИЕ В .И ., Основные задачи теории ошибок,

Гостехиздат, 1 947.

3 2 .

САПОЖНИКОВ Р .А ., БЕССОНОВ А .А ., ШОПОМНИЦКИИ А .Г ., Надежность

автоматических управляющих систем,

"Высшая школа", 1964.

3 3 .

САРЫМСАКОВ Т .А ., Основы теории процессов Маркова,

Гостехиздат, 1954.

3 4 .

СКОРОХОД А .В ., Случайные процессы с

независимыми приращениями,

"Наука", 1964.

3 5 .

СМИТ В .,

Теория восстановления,

Об.

переводов, "Математика",

5 ,

ИЛ,

1961.

3 6 .

СМОЛИЦКИВ Х .Л ., ЧУКРЕЕВ П .А ., Об

одной количественной характе­

ристике

надежности, "Радиоэлектроника", т . 15, 8, I960,

37.

СТЕПАНОВ В .Б .,

Курс дифференциальных уравнений,

Гостехиздат, М .-Д ., 1950.

38.

ТИХОНОВ А.И. , О регуляризации некорректно поставленных задач,

ДЛИ СССР, т . 153, I , 1963.

39.

ФАДЩЬ J-оД.,

К понятию энтропии конечной вероятностной схемы,

У.Лп, т .

/Л ,

выл. I ,

1956.

40.

ФАНО Р.М .,

Передача информации (перевод с ан гл .),

"Мир", 1965.

41.

ФАЛНСТЕ/iII

А .,

Основы теории информации (перевод с

ан гл .),

ИЛ, I960 .

42.

ФЕЛЬДБАУМ А .А ., Основы теории оптимальных автоматических

систем, "Наука", 1966.

43.

ХАРДИ Д а .,

ЛИТТЛЬВУД ДЙ., ПОЛНА Г . , Неравенства,

ИЛ, М., IS48.

44. ХАУСХОЛЬДЕР А .С ., Основы численного анализа, ИЛ, 1956.

45.

ЧЕРНЕЦКИН В .И ., Анализ

точности нелинейшх систем управления,

Ш., "Машиностроение", 1968.

46. ЧЕРНИКОВ С .Н ., Линейные неравенства, "Наука", 1968.

47.

ШИРЯЕВ А .Н .,

К обнаружению разладок производственного процесса

Теория вероятностей и ее применения* 8, 3 (1963),

4 (1963).

48.

ШИШСНОК Н.А.,

РЕШИ Б .Ф ., ЕАРВИНСКИИ Л .Л ., Основы теории

надежности и эксплуатации радиоэлектронной техники,

"Советское радио", 1964.

49.

ШОР Я .Б ., Статистические методы анализа и контроля

качества и

надежности, "Советское радио", 1962.

50.

ШЕННОН К .Э .,

Работы по теории информации и кибернетике

(перевод с аитл.) ИЛ, 1963.

51.

ЩУКИН А .А ., Динамические и флюктуационные ошибки управляемых

объектов, "Советское радио", 1961.

52.

ЯГЛОМ А.М., ЯГЛОМ И.М., Вероятность и информация,

Физматгиз,

I960 .

53. ЯКОВЛЕВ К .И .,

Математическая обработка результатов измерений,

изд. 2 -е , Гостехиздат, 1953.

54.

БАТЯЕВ Б .Г .,

Построение основных характеристик надежности

устройств по выходным сигналам, Сб. "Управление,

надежность

158

56.

ЕАТЯЕВ Б .Г . ,

Надежность линейных систем управления, описывае­

мых дифференциальными уравнениями, Материалы научной конфе­

ренции, посвященной 100-летию со дня рождения В.И.Ленина,

МГУ, Саранск, 1970.

57.

БАТЯЕВ Б .Г . ,

Исследование

состояния системы автоматического

управления, Материалы научной конференции, посвященной

IOO-летию

со дня рождения В.И.Ленина, MIУ , Саранск, 1970.

58.

ЕАТЯЕВ Б .Г . ,

Основные характеристики состояния системы управ­

ления однократного действия, Сб. "Алгоритмизация и автома­

тизация процессов и установок", выл. 3 , Куйбышев, 1970.

59.

БАТЯЕВ Б .Г . ,

Оценка точности системы управления по энтропии,

Материалы научной конференции, МГУ, Саранск, 1971.

6 0 .

БАТЯЕВ Б .Г ., Характеристики состояния восстанавливаемой систе­

мы управления, Материалы научной конференции, МГУ,

Саранск, 1971.

6 1 .

ЕАТЯЕВ Б .Г . ,

ШИРЯЕВ В .Д .,

Анализ состояний восстанавливаемой

системы 'управления, Сб.

"Управление, надежность и навигация",

выл. 3 , Саранск, 1973.

6 2 .

ЕАТЯЕВ Б .Г * , Об оценке надежности линейной системы управления,

Сб. "Управление, надежность и навигация", выл. 2 ,

Саранск, 1973.

6 3 .

БАТЯЕВ Б . Г . , Метод оценки погрешностей аргументов по заданной

предельной погрешности функции,

Сб. "Управление, надежность

и навигация", выл. 2 , Саранск,

1973.

6 4 .

БАТЯЕВ Б .Г . , Оценки случайных погрешностей функций многих

аргументов, Сб. "Некоторые вопросы качественной теории диф­

ференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и теории

управления движением, Саранск, 1974.

6 5 .

БАТЯЕВ Б . Г . , Метод оценки надежности линейной управляемой

системы, Сб. "Некоторые вопросы качественной теории дифферен­

циальных уравнений, дифференциальной геометрии и теории уп­

равления движением, Саранск, 1974.

О Г Л А В Л Е Н И Е

Предисловие

........................................................................................

3

Введение

...............................................................................................

4

Глава I .

Критерии надежности элементов

§

I .

Надежность элемента

однократногод ей ст в и я ....

6

§

2 .

Надежность элемента

многократного д ей стви я

... 28

•

ного действия.........................................................................

42

§

4 .

Двойные и модулярные неравенства............................

52

§

5.

Метод экстремальных уравнений....................................

59

§

6.

Метод оценки надежности линейной управляемой

системы........................................................................................

73

равляемых систем...................................................................

88

Глава Ш..

Исследование состояний линейных управляемых

систем

§

8. Функция состояния системы.........................

95

системы........................................................................................

98

§

10.

Состояния систем однократного и многократного

действия...............................................

101

Глава 1У. Анализ точности линейных управляемых

систем

§

I I .

Критерии точности...............................................................

НО

§

12.

Оценки случайных ошибок функций...............................

116

§

13.

Определение характеристик точности

линейных

управляемых систем........................................................

130

Литература.............................................................................................................

155