Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
5.67 Mб
Скачать

120

относительней погрешность функции не превышает ее предельной отно­ сительной погрешности 5 и

2 £

A V ( a ) ] и 1du =

 

-

 

 

 

 

 

■ s flk \ / ( a ) \ f y

 

 

 

 

-2.°Ро

 

 

 

(12 .17)

 

I«/’(л)|

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

= 2 Ф 0 [ J z k S x ] .

 

Преобразуя формулу (1 2 .1 7 ), получим оценку для

относительной пог­

решности функции с- вероятностью

р

 

 

 

$ ц . 1 ^ ' И ■ % '( # ) = n

W

_

( i 2 J 9

'

\ V ? a |7 ( « ) |

i / ( * ) {

 

 

На основании формул (1 1 .2 4 )

и (12 .16)

найдем энтропию относи­

тельной погрешности функции

 

 

 

 

Н ( " £ )

к 1 /( а )!

к ги«*)]ги * 1

 

= -

 

 

 

 

# > / И .

к !/(& )(

X

У?|«/'{я)|

a f ( a )

М )

[*/'(* > ]* / х

k z[j(a)t и г

d u -

[ а / ( а ) } г

Pz*e \af(a)\^

I/(a) j

(12.20)

 

Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешностей функции многих аргументов.

121

Пусть дана дифференцируемая функция многих аргументов

У ~ I (я » >

(12. 21)

 

Предположим, что заданы приближенные значения этих аргументов

a , , a Z)...} а п , имеющих соответственно

погрешности £ х 1уы.хх, . - . , л х Пл

Нудем считать, что известны вероятностные характеристики случайных погрешностей. При указанных предположениях определим оценки погреш­ ностей функции (1 2 .2 1 ) . Для определения погрешности функции Л у

найдем предварительно ее полный дифференциал-

 

dr - § £ /* ' + д х я

г

3 /

d x

 

( 12. 22)

 

 

 

 

■I

~

дХп.

 

 

 

 

Так как функция

у

дифференцирует в точке

( a f, a.Zy . . . , а п) ,

то за­

меняй в

формуле

(1 2 .2 2 ) дифференциалы погрешностями,

а

аргументы их

приближенными значениями,

получим

 

 

 

 

 

 

 

dat

. 1

 

Эап

 

 

 

 

 

' да'

 

 

 

 

 

 

Из

выражения

(12 .23)

следует,

что

 

 

 

 

 

 

п

 

B f W

 

 

 

 

 

 

(1 2 .2 4 )

 

Л ц =

- - - - - Л Хл = у t a d / Ц ) - Л = V jW 'a C ,

 

я--!

 

*

 

 

 

 

 

 

 

где V

- оператор Гамильтона и Л. ={</.x,,oiXi } ...

 

_

вектор пог­

решностей. Таким образом, погрешность функции многих аргументов равна скалярному произведению ее градиента на вектор погрешностей.

Оценивая выражение (1 2 .2 4 )

по абсолютной величине, подучим

формулу предельной абсолютной погрешности функции

 

 

 

 

 

 

(1 2 .2 5 )

 

 

/с-/

 

 

 

Обозначим частные

погрешности функции через Лк Н =

-Л х к (л--/,л).

 

 

 

 

д а д

Тогда с учетом формулы (1 2 .2 4 )

получим для Л у следующее выражение

 

 

!*■

 

 

 

оС

r Z

S f W

 

 

(1 2 .2 6 )

~ F a 7 *

* *

г/

 

 

 

 

 

 

 

122

Предположим, что случайная погрешность вСХк имеет нормальное распределение с плотностью вероятности

 

 

 

 

 

 

___ / _

 

 

 

 

 

 

 

О г.27)

 

 

 

 

 

 

 

'

 

1

A . U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц

и б о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во

внимание формулу (1 2 .2 7 ), найдем плотность

вероят­

ности

случайной погрешности ^ ^ у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

и к

Л '

,

(1 2 .2 Ь)

 

 

 

 

 

 

 

 

ГУГ

iX P

 

 

 

д Ш ) 1

 

 

 

 

 

 

 

3 JU )

 

 

 

 

 

Ж

дак \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дак

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

.и ^

Ж

£

к .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как частные погрешности oL^y

 

распределены

по нормальному

закону,

то погрешность функции

о с у

имеет также нормальное

распре­

деление

с

параметрами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„ „

 

.

 

 

X

"

 

 

о / (~0

 

 

 

{12*2У)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2.^ ~ у г ~ " Ч = 0 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/I " 1

 

 

U L4.к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗА-*)

о-

+ ^ / >

 

o f t * )

cV(j /)\

 

 

 

£ > ( * ¥ )

=

 

 

д а л

°

J

д а к

д а l r A;JirLJi>f(I2.3G)

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

К-I

 

 

 

 

 

 

х < i

 

 

 

 

 

где М (о( у) - математическое ожидание и

- дисперсия

погреш­

ности (функции,

с? л.,-

-

коэффициент корреляции погрешностей

* -ГЛ ,

 

,

а

 

 

П

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с)(■*)

 

 

 

 

 

 

 

U

--

X

4

/,/

\

'

 

 

 

(12 .31)

 

 

 

>

 

=

>

 

 

 

 

г'

 

 

 

 

 

 

 

 

г .

 

 

(:/

с п -

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А- /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

случайные

погрешности ^-Г„ *

 

 

 

некоррелированы,

то при нормальном распределении они будут независитли. При этом

условии формула

(12 .30)

принимает вид

 

-.Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ А д )

 

 

 

 

 

 

 

 

О/

 

 

 

 

 

 

 

С,>

.

 

 

(1 2 .3 2 )

 

 

 

 

о у ; = У

 

Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ .

 

о а ,

 

 

1л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А•*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)23

..а основании

.^ормул (...й.й'с;), (12 .32)

найдем плотность вероятности

едучайной погрешности функции

( и )

 

 

 

:/

( 11)

=

)1<1£ У и

 

(12 .33)

 

 

 

 

 

 

.'фжсмиы

;;орм;/лу

(1 2 .3 3 ),

найдем вероятность того, что погреш­

ность ■.V/нкшш

Д у

не превосходит ее

предельной абсолютной погреш­

ности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛЧ

_ U Z

 

 

Р ( Ы , , 1 < А 1 ) . - ф

-

( С

* * V

* г < Р ' ( - * 1 ) .

(12 .34)

./читинал яормулы (12 .32) и (1 2 .3 4 ), имеем

 

 

д ч -

К

(#)

 

 

 

 

 

 

(12 .35)

Полученная формула определяет оцен:у для погрешности функции с

вероятностью

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к рассмотрению вопроса об оценке относительной пог­

решности функции

многих аргументов. Разделив обе части равенства

(12..ой) на

и

,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

d у

'

п

о /

 

.

 

\

с (fi ч

1

 

 

-

v п

 

 

ц .

(12 .36)

 

~

—d X д. =

/

 

~ ^

Н

 

i p

L/ d x *

 

 

Т У

д х *

 

 

 

. Подставляя в

выражение (12 .36) вместо

if

ее

значение

в точке

. Т о г,аг ,...,ап) к>

заменяя дифференциалы погрешностями, найдем вели-

-чину относительной погрешности

пункциич

 

 

 

 

 

 

 

ч -

d U f U )

* к

= V

,

.

-

(1 2 .3 7 )

 

 

У =■2 , _

д -

- <

(xi J ( J ) -оС .

 

 

 

А ~ I

 

°*/Г

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, относительная погрешность функции многих аргу­ ментов равна скалярному произведению градиента натурального лога­ рифма Функции на вектор погрешностей."Преобразуем выражение (1 2 .3 7 ) и найдем его оценку по абсолютной величине. Тогда получим форыулу

Г24

предельной относительной погрешности функции

 

 

 

 

d U } U )

 

V " L 3 £ л / ( и )

 

 

 

 

д а *

AJC/c

Z-^ Г* дак

(1 2 ,3 8 ) '

На основании формулы (1 2 .3 3 ) определит плотность вероятности

относительной погрешности функции Л

 

 

 

<ра(х)=1№)№Шш]

 

г г 1 / У >1г 1

(12 .39)

 

Z6t '~J

 

 

 

 

 

 

 

где

i

U

 

 

 

 

 

l =

 

 

 

 

 

 

J W

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, относительная погрешность функции многих аргу­

ментов имеет нормальное распределение

с параметрами т г -0

ж бt - б и

 

 

 

 

 

 

 

Г

Лринимая во

внимание формулы (1 2 .3 5 )

и (1 2 .3 9 ), найдем оценку для

относительной погрешности функции многих аргументов с вероятностьюР

ёи

< p;'d)

fy=<P.''(#)\ № \

\ н

* > \

 

 

(12 .40)

2 . Метод оценки погрешностей аргументов по заданной предельной

погрешности функции.

Б теории

ошибок имеет важное значение также

обратная задача, которая заключается в том, что по известной пре­ дельной погрешности функции требуется определить предельные погреш­ ности ее аргументов. Вполне понятно, что эта задача является неоп­

ределенной и без дополнительных условий ее решить нельзя, так как имеется одно уравнение с многими неизвестными. В данной работе рас­

сматривается новый метод оценки погрешностей аргументов при частич­

ном усилении условия обратной задачи

[63] .

 

Пусть у -$ (х „ хг,...,хл) - непрерывно дифференцируемая функция, мо­

нотонная по каждому аргументу х ,

. Будем считать, что из­

вестны гранита значений аргументов

и 6 ;

. Задача состоит в

том, чтобы найти по известным предельным погрешностям функции А V

и § ‘ц соответствующие предельные погрешности

аргументов а 'х^ и с х г .

125

Пусть

у

монотонная функция по аргументу

cci

в промежутке

между Ci

 

a S

i .

Рассматривая X-L

как функцию переменкой

X

можно представить его в следующем виде

 

 

 

 

 

 

 

X L = CL + Х ( t>i -

CL) ,

 

 

 

.

(12 .41)

Учитывая

среднее

значение аргумента 5• = ^- (С- +

,

преобразуем

выражение

(1 2 .4 1 ).

Тогда получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ;

=

+ ( Л -

 

( h

-

C i ) .

 

 

(12 .42)

Так как

у

есть

сложная функция от

Л-

,

то ее

производная по X

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t-/

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

=51

 

( &

~ с 0

 

 

(12 .44)

 

 

 

 

 

i - i

v

 

 

 

 

 

 

На основании формулы*(12 .43) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

d x -------------Xd L ---------------------

 

 

 

 

(12 .45)

 

 

 

 

у -1

gfag

 

V

 

 

(f,

-с\

 

 

 

 

2 — * d x i и л

 

Z _ d x i ^

 

 

 

 

 

 

г-/

 

 

* = '

 

 

 

 

 

Применяя формулы

(12 .42)

и (1 2 .4 5 ),

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

3 {

 

 

 

 

 

(12 .46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г = 1

■Заменяя в формуле (12 .46) дифференциалы погрешностями d X i и

>26

Л •/

 

, а ■•ггумоиты ИХ

«рсДОКМИ

ЗИачвПЫТкй

X :

, подучаем

 

 

 

 

 

 

^ X .

=

 

( и - Г Г ,

<

/

 

 

 

 

 

\

х t

 

 

 

 

 

 

 

7ЧХ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

^

,

JC:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

6

-С;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д/(Х) - значение

частной производной

в

точке

Х (ос,, ос2г..., х „ ) .

 

д ОС:

что

 

 

 

,

аролзьедеи чи.нг. ■

 

и *..47)

 

 

Учитывая,

 

 

 

 

по абсолютной

величине,

если е^о

знаменатель не гхн ен нулю

 

 

 

 

 

 

ч X ;

6

 

Ь,- - С,-1 Д у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

il

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( f p l e - e !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

1

t

X ,-

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим правую часть

неравенства

и 2 .43)

 

через

д'.х,-

,

тогда-

 

получим Iч х,- j -б A’х : .

Тагам

образом,

 

по определению л' X t

есть

пре­

дельная

абсолютная погрешность

аргумента

х ;

при заданном значе­

нии

л 'у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д уг,- = — •

( Ч - С ; \ Л У

 

 

 

 

 

(j . 4 0

 

 

 

 

 

СИХ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> :

к; - Ci

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сх ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем формулу (1 2 .4 fc) на основании

Определенияпредель­

ной относительной погрешности пункции. Тогда заменяя

 

 

 

А'Л;

= б X: и

 

л ' ч

 

г-'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относитель-

 

-------1-

- = <5 //, получит/!

/.ормулу предельной

|х,г

 

|/(х;|

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной погрешности

аргумента

^ х -

при заданном

значении

 

Ъ if

 

 

 

 

 

S

jc : =

 

 

и , - -(% •!?;/

 

 

 

 

(12.50)

 

 

 

 

|д| У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|.t..r.|

 

 

 

с X;

i = i

127

Рассмотрим теперь обратную задачу теории ошибок при дополни­

тельных

предположениях[бз] .

 

Пусть

Ч - ц * ь х?—>хп)~ непрерывно дифференцируемая функция, мо­

нотонная

по всем

аргументам Х {

( i - !,п) , приближенные значения кото­

рых равны

а

; .

Предположим,

что известны границы погрешностей ар­

гументов

 

tf{

и

и ; . задача

состоит в том, чтобы найти по задан­

ным предельным погрешностям

Функции Л ^

и £

ij

соответствующие

продельные погрешности аргументов Л ' х ;

и 5 ' jc ; .

 

 

 

iio условию задачи погрешность аргумента

X ;

содержится

в про­

межутке 1*1 & х ;-а ; ;= U; или

ъ х,-- а с % и ;

. Отсюда

следует, что гра­

ницы значений аргумента Х£

равны Г/= Oi + th;

и £;= а ;

+ и ; .

Так

как среднее значение аргумента равно Xt-CL; + -~{.iyl + u ;) ,

то

 

 

X ;

= X ; -г

{ д . -

4 )

(

-

ISi)

 

(1 2 .5 1 )

принимай во внимание .тормулу

(1 2 .4 7 ),

найдем погрешность

аргумента

А

!

 

с / ( х )

 

 

 

 

 

(1 2 .5 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о JC{

( U i - V t )

 

 

 

 

 

г-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяя в .(Формуле

(12 .49) С;

и

£ £

их

значениями,

определим

предельную абсолютную погрешность

аргумента

л

X,-

при заданном

значении л'.у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л X;

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2 .5 3 )

 

 

/г/

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в

Формулу (1 2 .5 0 )

вместо

Ci

 

и £>i

их значения,

получим формулу предельной относительной погрешности аргумента 5 х / при заданном значении Ъ'у

? Х ;

=

I Hi- ?;l Я'1/

(1 2 .5 4 )

 

 

128

Если границы погрешностей имеют противоположные значения, то предельная абсолютная погрешность аргумента д'а\- выражается формулой

 

 

Д а*, =

rt

д я у

А У

 

 

 

 

 

 

(1 2 .5 5 )

 

 

 

д/(Л)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

Д х {

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д а ;

 

 

 

 

 

 

 

где Д X ;

 

 

г-1

 

 

 

 

 

 

 

 

d/(U)

-

значение

-

начальная оценка погрешности аргумента,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dcti

 

 

 

частной производной в точке J ( a „ . . . , a n).

Так как ц + щ * о ,

то

сред­

нее значение аргумента

.х £

равно

а г-

и

|Ц j = |гг£| *

[г<£ -

V; j .

Отсюда следует, что

 

 

 

 

Ui - V;

 

 

 

 

 

 

 

 

\х{ - а { ‘ i

 

 

 

 

(1 2 .5 6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая в качестве начальной оценки погрешности аргумента

 

 

Д ас,- = j

| t*i - Vij ,

получаем

/а с £ - a i j i Д Х {,. Тогда из формулы

(1 2 .5 3 ) следует формула

(1 2 .5 5 ),.

Обозначим начальную оценку относи­

тельной погрешности аргумента

через

S x ;

.

Учитывая,

что

3cL = а - и

д д» в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?■ = 5 х - , преобразуете формулу

(1 2 .5 4 ) к следующему виду

 

' a i l

 

S 'x , =

 

 

f

 

Г'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---------------

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2 .5 7 )

 

 

 

ft

 

д щ л )

 

 

 

 

 

 

 

 

z

« f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d a {

 

 

 

 

 

 

 

В теории приближенных вычислений установлено,

что приближенное

значение

Я ;

имеет

П;

верных знаков,

если его предельная

аб со -

лютная погрешность равна

Д

 

 

/П;-Л;+1

Здесь

в

-числовой

= <9iO

 

.

параметр,

принимающий значения

\

 

или

1

, пг;

_

разряд первой

значащей цифры числа

<2,-

,

П;

-

число верных знаков

а ; .

Если

принять в качестве априорной оценки погрешности аргумента предель-

__

__

т- - п- +1

, то при заданном

нув абсолютную погрешность Даг£ =:в-10

значении

Д 'у получим

/71{- П; + {

 

 

Д

 

 

10

 

 

& Х ; -

 

(1 2 .5 8 )

Л ■10 i*i

Принимая в качестве априорной оценки относительной погрешности

129

 

предельную относительную погрешность ST

6 ( 1

Л;-1

аргумента

JY i

находим

П ,- 1

 

 

 

 

 

 

 

8 'ос, -

 

 

Z,-

и

г

 

 

(1 2 .5 9 )

 

 

 

 

^

 

 

П;-1

 

 

 

Z

 

СЦ d £ a J ( J )

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

Zi

 

9Ui

 

 

 

1 i

i - i

 

 

 

a t . Таким образом,

 

где

- первая

значащая цифра числа

ползи

ченные формулы позволяют полностью решить обратную задачу теории

ошибок при заданных предельных погрешностях функции д 'у и

5 у ,

На основании формулы (12 .55)

имеем

 

 

 

 

 

 

Д х £ =-

 

й ! у

 

 

(1 2 .6 0 )

 

 

 

л у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

д у

- начальная оценка

погрешности функции.

Выражение

(1 2 .6 0 )

можно представить в

 

ввде следующего определителя

 

 

 

 

 

 

 

Л 'X ;

 

 

= о .

 

(1 2 .6 1 )

 

 

? ( Д ) =

 

д у

 

 

 

 

 

 

Д Xi

 

 

 

 

Определитель У(&)

 

сохраняет

свою форму и значение

для всех

з а ­

являющихся независимыми переменными или функциями других перемен­

ных. В связи с этим определитель

У ( Д) будем называть инвариантом

предельных абсолютных погрешностей. Принимая во внимание формулу

(1 2 .5 7 ),

получаем

 

 

 

 

 

5 x i

$ X i b y

 

(1 2 .6 2 )

 

 

 

 

где 5 у

- начальная оценка относительной погрешности функции. Это

выражение можно также представить

в виде определителя

 

 

 

S'y

= о

(1 2 .6 3 )

 

 

 

 

$ Xi

Определитель J(<5") будем называть инвариантом предельных отно­ сительных погрешностей. Так как инварианты выражают зависимость между предельными погрешностями, то их можно использовать для после­ довательного оценивания погрешностей и контроля вычислений [бз] .

1

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ