
книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления
.pdf120
относительней погрешность функции не превышает ее предельной отно сительной погрешности 5 и
2 £
A V ( a ) ] и 1du =
|
- 6и |
|
|
|
|
|
■ s flk \ / ( a ) \ f y |
|
|
|
|
-2.°Ро |
|
|
|
(12 .17) |
|
|
I«/’(л)| |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 Ф 0 [ J z k S x ] . |
|
||
Преобразуя формулу (1 2 .1 7 ), получим оценку для |
относительной пог |
||||
решности функции с- вероятностью |
р |
|
|
|
|
$ ц . 1 ^ ' И ■ % '( # ) = n |
W |
_ |
( i 2 J 9 |
||
' |
\ V ? a |7 ( « ) | |
i / ( * ) { |
|
|
|
На основании формул (1 1 .2 4 ) |
и (12 .16) |
найдем энтропию относи |
|||
тельной погрешности функции |
|
|
|
|
|
Н ( " £ ) |
к 1 /( а )! |
к ги«*)]ги * 1 |
|
||
= - |
|
|
|
|
# > / И .
к !/(& )(
X
У?|«/'{я)|
a f ( a )
М )
[*/'(* > ]* / х
k z[j(a)t и г
d u -
[ а / ( а ) } г
Pz*e \af(a)\^
I/(a) j |
(12.20) |
|
Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешностей функции многих аргументов.
121
Пусть дана дифференцируемая функция многих аргументов
У ~ I (я » > |
• |
(12. 21) |
|
||
Предположим, что заданы приближенные значения этих аргументов |
||
a , , a Z)...} а п , имеющих соответственно |
погрешности £ х 1уы.хх, . - . , л х Пл |
Нудем считать, что известны вероятностные характеристики случайных погрешностей. При указанных предположениях определим оценки погреш ностей функции (1 2 .2 1 ) . Для определения погрешности функции Л у
найдем предварительно ее полный дифференциал-
|
dr - § £ /* ' + д х я |
г |
3 / |
d x „ |
|
( 12. 22) |
||||
|
|
|
|
■I |
~ |
дХп. |
|
|
|
|
Так как функция |
у |
дифференцирует в точке |
( a f, a.Zy . . . , а п) , |
то за |
||||||
меняй в |
формуле |
(1 2 .2 2 ) дифференциалы погрешностями, |
а |
аргументы их |
||||||
приближенными значениями, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dat |
. 1 |
|
Эап |
|
|
|
|
||
|
' да' |
|
|
|
|
|
|
|||
Из |
выражения |
(12 .23) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
B f W |
|
|
|
|
|
|
(1 2 .2 4 ) |
|
Л ц = |
- - - - - Л Хл = у t a d / Ц ) - Л = V jW 'a C , |
||||||||
|
я--! |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
где V |
- оператор Гамильтона и Л. ={</.x,,oiXi } ... |
|
_ |
вектор пог |
решностей. Таким образом, погрешность функции многих аргументов равна скалярному произведению ее градиента на вектор погрешностей.
Оценивая выражение (1 2 .2 4 ) |
по абсолютной величине, подучим |
|||||
формулу предельной абсолютной погрешности функции |
|
|||||
|
|
|
|
|
(1 2 .2 5 ) |
|
|
|
/с-/ |
|
|
|
|
Обозначим частные |
погрешности функции через Лк Н = |
-Л х к (л--/,л). |
||||
|
|
|
|
<Г |
д а д |
|
Тогда с учетом формулы (1 2 .2 4 ) |
получим для Л у следующее выражение |
|||||
|
|
!*■ |
|
|
|
|
оС |
r Z |
S f W |
|
|
(1 2 .2 6 ) |
|
~ F a 7 * |
* * |
/Сг/ |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
122
Предположим, что случайная погрешность вСХк имеет нормальное распределение с плотностью вероятности
|
|
|
|
|
|
___ / _ |
|
|
|
|
|
-г |
|
|
О г.27) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
1 |
A . U |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ц |
и б о |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Принимая во |
внимание формулу (1 2 .2 7 ), найдем плотность |
вероят |
||||||||||||||||
ности |
случайной погрешности ^ ^ у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
и к |
Л ' |
, |
(1 2 .2 Ь) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ГУГ |
iX P |
|
|
|
д Ш ) 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 JU ) |
|
|
|
|
|
Ж |
дак \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дак |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
.и ^ |
Ж |
£ |
к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как частные погрешности oL^y |
|
распределены |
по нормальному |
|||||||||||||||
закону, |
то погрешность функции |
о с у |
имеет также нормальное |
распре |
||||||||||||||
деление |
с |
параметрами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
„ „ |
|
. |
|
|
X |
" |
|
|
о / (~0 |
|
|
|
{12*2У) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2.^ ~ у г ~ " Ч = 0 ’ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/I " 1 |
|
|
U L4.к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ЗА-*) |
о- |
+ ^ / > |
|
o f t * ) |
cV(j /)\ |
|
|
|
|||||
£ > ( * ¥ ) |
= |
|
|
д а л |
° |
J |
д а к |
д а l r A;JirLJi>f(I2.3G) |
||||||||||
|
|
|
Л |
|
• |
|
||||||||||||
|
|
|
К-I |
|
|
|
|
|
|
х < i |
|
|
|
|
|
|||
где М (о( у) - математическое ожидание и |
- дисперсия |
погреш |
||||||||||||||||
ности (функции, |
с? л.,- |
- |
коэффициент корреляции погрешностей |
* -ГЛ , |
||||||||||||||
|
, |
а |
|
|
П |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
с)(■*) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
U |
-- |
X |
4 |
/,/ |
\ |
' |
|
|
|
(12 .31) |
|||||
|
|
|
> |
|
= |
> |
|
|
|
|
г' |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
г . |
|
|
(:/ |
с п - |
Л |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А- / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
случайные |
погрешности ^-Г„ * |
|
|
|
некоррелированы, |
||||||||||||
то при нормальном распределении они будут независитли. При этом |
||||||||||||||||||
условии формула |
(12 .30) |
принимает вид |
|
-.Z |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ А д ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О/ |
|
|
|
|
|
|
|
С,> |
. |
|
|
(1 2 .3 2 ) |
|||
|
|
|
|
о у ; = У |
|
Ч |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ . |
|
о а , |
|
|
1л. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
А•* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

)23
..а основании |
.^ормул (...й.й'с;), (12 .32) |
найдем плотность вероятности |
|||||
едучайной погрешности функции |
( и ) |
|
|
||||
|
:/ |
( 11) |
= |
)1<1£ У и |
|
(12 .33) |
|
|
|
|
|
|
|
||
.'фжсмиы |
;;орм;/лу |
(1 2 .3 3 ), |
найдем вероятность того, что погреш |
||||
ность ■.V/нкшш |
Д у |
не превосходит ее |
предельной абсолютной погреш |
||||
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЧ |
_ U Z |
|
|
Р ( Ы , , 1 < А 1 ) . - ф |
- |
( С |
* * V |
„ * г < Р ' ( - * 1 ) . |
(12 .34) |
./читинал яормулы (12 .32) и (1 2 .3 4 ), имеем
|
|
д ч - |
К |
(#) |
|
|
|
|
|
|
(12 .35) |
|
Полученная формула определяет оцен:у для погрешности функции с |
||||||||||||
вероятностью |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к рассмотрению вопроса об оценке относительной пог |
||||||||||||
решности функции |
многих аргументов. Разделив обе части равенства |
|||||||||||
(12..ой) на |
и |
, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d у |
' |
п |
о / |
|
. |
|
\ |
с (fi ч |
1 |
|
|
|
- |
v п |
|
|
ц . |
(12 .36) |
|||||||
— |
|
~ |
—d X д. = |
/ |
~а |
|
~ ^ |
|||||
Н |
|
i p |
L/ d x * |
|
|
Т У |
д х * |
|
|
|
||
. Подставляя в |
выражение (12 .36) вместо |
if |
ее |
значение |
в точке |
|||||||
. Т о г,аг ,...,ап) к> |
заменяя дифференциалы погрешностями, найдем вели- |
|||||||||||
-чину относительной погрешности |
пункциич |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ч - |
d U f U ) |
* к |
= V |
, |
. |
- |
(1 2 .3 7 ) |
||
|
|
У =■2 , _ |
— |
д - |
- < |
(xi J ( J ) -оС . |
||||||
|
|
|
А ~ I |
|
°*/Г |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, относительная погрешность функции многих аргу ментов равна скалярному произведению градиента натурального лога рифма Функции на вектор погрешностей."Преобразуем выражение (1 2 .3 7 ) и найдем его оценку по абсолютной величине. Тогда получим форыулу
Г24
предельной относительной погрешности функции |
|
|
|||||
|
|
d U } U ) |
|
V " L 3 £ л / ( и ) |
|
|
|
|
|
д а * |
AJC/c |
Z-^ Г* дак |
/£ |
(1 2 ,3 8 ) ' |
|
На основании формулы (1 2 .3 3 ) определит плотность вероятности |
|||||||
относительной погрешности функции Л |
|
|
|
||||
<ра(х)=1№)№Шш] |
|
г г 1 / У >1г 1 |
(12 .39) |
||||
|
Z6t '~J |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
i |
U • |
|
|
|
|
|
l = |
|
|
|
|
|
||
|
J W |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, относительная погрешность функции многих аргу |
||||||
ментов имеет нормальное распределение |
с параметрами т г -0 |
ж бt - б и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
№ Г |
Лринимая во |
внимание формулы (1 2 .3 5 ) |
и (1 2 .3 9 ), найдем оценку для |
относительной погрешности функции многих аргументов с вероятностьюР
ёи |
< p;'d) |
|
fy=<P.''(#)\ № \ |
\ н |
* > \ |
|
|
(12 .40) |
2 . Метод оценки погрешностей аргументов по заданной предельной |
||
погрешности функции. |
Б теории |
ошибок имеет важное значение также |
обратная задача, которая заключается в том, что по известной пре дельной погрешности функции требуется определить предельные погреш ности ее аргументов. Вполне понятно, что эта задача является неоп
ределенной и без дополнительных условий ее решить нельзя, так как имеется одно уравнение с многими неизвестными. В данной работе рас
сматривается новый метод оценки погрешностей аргументов при частич
ном усилении условия обратной задачи |
[63] . |
|
Пусть у -$ (х „ хг,...,хл) - непрерывно дифференцируемая функция, мо |
||
нотонная по каждому аргументу х , |
. Будем считать, что из |
|
вестны гранита значений аргументов |
и 6 ; |
. Задача состоит в |
том, чтобы найти по известным предельным погрешностям функции А V |
||
и § ‘ц соответствующие предельные погрешности |
аргументов а 'х^ и с х г . |
125
Пусть |
у |
монотонная функция по аргументу |
cci |
в промежутке |
||||||||
между Ci |
|
a S |
i . |
Рассматривая X-L |
как функцию переменкой |
X |
||||||
можно представить его в следующем виде |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
X L = CL + Х ( t>i - |
CL) , |
|
|
|
. |
(12 .41) |
||||
Учитывая |
среднее |
значение аргумента 5• = ^- (С- + |
, |
преобразуем |
||||||||
выражение |
(1 2 .4 1 ). |
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X ; |
= |
+ ( Л - |
|
( h |
- |
C i ) . |
|
|
(12 .42) |
Так как |
у |
есть |
сложная функция от |
Л- |
, |
то ее |
производная по X |
|||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
п |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
=51 |
|
( & |
~ с 0 |
|
|
(12 .44) |
|
|
|
|
|
|
i - i |
v |
|
|
|
|
|
|
На основании формулы*(12 .43) имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
d x -------------Xd L --------------------- |
|
|
|
|
(12 .45) |
|||||
|
|
|
|
у -1 |
gfag |
|
V |
|
|
(f, |
-с\ |
|
|
|
|
2 — * d x i и л |
|
Z _ d x i ^ |
|
|
|||||
|
|
|
|
г-/ |
|
|
* = ' |
|
|
|
|
|
Применяя формулы |
(12 .42) |
и (1 2 .4 5 ), |
находим |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 { |
|
|
|
|
|
(12 .46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = 1
■Заменяя в формуле (12 .46) дифференциалы погрешностями d X i и
>26
Л •/ |
|
, а ■•ггумоиты ИХ |
«рсДОКМИ |
ЗИачвПЫТкй |
X : |
, подучаем |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
^ X . |
= |
|
( и - Г Г , |
< |
/ |
|
|
|
|
|
\ |
х t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
7ЧХ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
^ |
, |
JC: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
6 |
-С; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
д/(Х) - значение |
частной производной |
в |
точке |
Х (ос,, ос2г..., х „ ) . |
|||||||||||||||
|
д ОС: |
что |
|
|
|
, |
аролзьедеи чи.нг. ■ |
|
и *..47) |
|||||||||||
|
|
Учитывая, |
|
|
|
|
||||||||||||||
по абсолютной |
величине, |
если е^о |
знаменатель не гхн ен нулю |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ч X ; |
6 |
|
Ь,- - С,-1 Д у |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
il |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f p l e - e ! |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
’ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
1 |
t |
X ,- |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим правую часть |
неравенства |
и 2 .43) |
|
через |
д'.х,- |
, |
тогда- |
|
||||||||||||
получим Iч х,- j -б A’х : . |
Тагам |
образом, |
|
по определению л' X t |
есть |
пре |
||||||||||||||
дельная |
абсолютная погрешность |
аргумента |
х ; |
при заданном значе |
||||||||||||||||
нии |
л 'у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д уг,- = — • |
( Ч - С ; \ Л У |
|
|
|
|
|
(j . 4 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
СИХ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
> : |
к; - Ci |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сх , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем формулу (1 2 .4 fc) на основании |
Определенияпредель |
|||||||||||||||||
ной относительной погрешности пункции. Тогда заменяя |
|
|
|
|||||||||||||||||
А'Л; |
= б X: и |
|
л ' ч |
|
г-' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
относитель- |
||||
— |
|
-------1- |
- = <5 //, получит/! |
/.ормулу предельной |
||||||||||||||||
|х,г |
|
|/(х;| |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ной погрешности |
аргумента |
^ х - |
при заданном |
значении |
|
Ъ if |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
S |
jc : = |
|
|
и , - -(% •!?;/ |
|
|
|
|
(12.50) |
|||||||
|
|
|
|
|д| У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|.t..r.| |
|
|
|
с X;
i = i
127
Рассмотрим теперь обратную задачу теории ошибок при дополни
тельных |
предположениях[бз] . |
|
|||
Пусть |
Ч - ц * ь х?—>хп)~ непрерывно дифференцируемая функция, мо |
||||
нотонная |
по всем |
аргументам Х { |
( i - !,п) , приближенные значения кото |
||
рых равны |
а |
; . |
Предположим, |
что известны границы погрешностей ар |
|
гументов |
|
tf{ |
и |
и ; . задача |
состоит в том, чтобы найти по задан |
ным предельным погрешностям |
Функции Л ^ |
и £ |
ij |
соответствующие |
||
продельные погрешности аргументов Л ' х ; |
и 5 ' jc ; . |
|
|
|
||
iio условию задачи погрешность аргумента |
X ; |
содержится |
в про |
|||
межутке 1*1 & х ;-а ; ;= U; или |
ъ х,-- а с % и ; |
. Отсюда |
следует, что гра |
|||
ницы значений аргумента Х£ |
равны Г/= Oi + th; |
и £;= а ; |
+ и ; . |
Так |
||
как среднее значение аргумента равно Xt-CL; + -~{.iyl + u ;) , |
то |
|
|
X ; |
= X ; -г |
{ д . - |
4 ) |
( |
- |
ISi) |
|
(1 2 .5 1 ) |
|
принимай во внимание .тормулу |
(1 2 .4 7 ), |
найдем погрешность |
аргумента |
|||||||
А |
! — |
|
с / ( х ) |
|
|
|
|
|
(1 2 .5 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
о JC{ |
( U i - V t ) |
|
|
|
|||
|
|
г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя в .(Формуле |
(12 .49) С; |
и |
£ £ |
их |
значениями, |
определим |
||||
предельную абсолютную погрешность |
аргумента |
л |
X,- |
при заданном |
||||||
значении л'.у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л X; |
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2 .5 3 ) |
|
|
/г/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в |
Формулу (1 2 .5 0 ) |
вместо |
Ci |
|
и £>i |
их значения, |
получим формулу предельной относительной погрешности аргумента 5 х / при заданном значении Ъ'у
? Х ; |
= |
I Hi- ?;l Я'1/ |
|
(1 2 .5 4 ) |
|||
|
|
128
Если границы погрешностей имеют противоположные значения, то предельная абсолютная погрешность аргумента д'а\- выражается формулой
|
|
Д а*, = |
rt |
д я у |
А У |
|
|
|
|
|
|
(1 2 .5 5 ) |
|||
|
|
|
д/(Л) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Т |
|
Д х { |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
д а ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Д X ; |
|
|
г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d/(U) |
- |
значение |
|
- |
начальная оценка погрешности аргумента, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dcti |
|
|
|
частной производной в точке J ( a „ . . . , a n). |
Так как ц + щ * о , |
то |
сред |
||||||||||||
нее значение аргумента |
.х £ |
равно |
а г- |
и |
|Ц j = |гг£| * |
[г<£ - |
V; j . |
||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
Ui - V; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
\х{ - а { ‘ i |
|
|
|
|
(1 2 .5 6 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Принимая в качестве начальной оценки погрешности аргумента |
|
|
|||||||||||||
Д ас,- = j |
| t*i - Vij , |
получаем |
/а с £ - a i j i Д Х {,. Тогда из формулы |
||||||||||||
(1 2 .5 3 ) следует формула |
(1 2 .5 5 ),. |
Обозначим начальную оценку относи |
|||||||||||||
тельной погрешности аргумента |
через |
S x ; |
. |
Учитывая, |
что |
3cL = а - и |
|||||||||
д д» в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?■ = 5 х - , преобразуете формулу |
(1 2 .5 4 ) к следующему виду |
|
|||||||||||||
' a i l |
|
S 'x , = |
|
|
f |
|
Г' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--------------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2 .5 7 ) |
||||
|
|
|
ft |
|
д щ л ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
« f |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d a { |
|
|
|
|
|
|
|
||||
В теории приближенных вычислений установлено, |
что приближенное |
||||||||||||||
значение |
Я ; |
имеет |
П; |
верных знаков, |
если его предельная |
аб со - |
|||||||||
лютная погрешность равна |
Д |
|
|
/П;-Л;+1 |
Здесь |
в |
-числовой |
||||||||
= <9iO |
|
. |
|||||||||||||
параметр, |
принимающий значения |
\ |
|
или |
1 |
, пг; |
_ |
разряд первой |
|||||||
значащей цифры числа |
<2,- |
, |
П; |
- |
число верных знаков |
а ; . |
Если |
принять в качестве априорной оценки погрешности аргумента предель-
__ |
__ |
т- - п- +1 |
, то при заданном |
нув абсолютную погрешность Даг£ =:в-10 |
|||
значении |
Д 'у получим |
/71{- П; + { |
|
|
Д 'У |
|
|
|
10 |
|
|
|
& Х ; - |
|
(1 2 .5 8 ) |
Л ■10 i*i
Принимая в качестве априорной оценки относительной погрешности
129
|
предельную относительную погрешность ST |
6 ( 1 |
Л;-1 |
аргумента |
JY i |
||
находим |
П ,- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 'ос, - |
|
|
Z,- |
и |
г |
|
|
(1 2 .5 9 ) |
|
|
|
|
^ |
|
|
П;-1 |
|
||
|
|
Z |
|
СЦ d £ a J ( J ) |
|
|
||||
|
|
|
W |
|
|
|||||
|
|
|
Zi |
|
9Ui |
|
|
|||
|
1 i |
i - i |
|
|
|
a t . Таким образом, |
|
|||
где |
- первая |
значащая цифра числа |
ползи |
|||||||
ченные формулы позволяют полностью решить обратную задачу теории |
||||||||||
ошибок при заданных предельных погрешностях функции д 'у и |
5 у , |
|||||||||
На основании формулы (12 .55) |
имеем |
|
|
|
||||||
|
|
|
Д х £ =- |
|
й ! у |
|
|
(1 2 .6 0 ) |
||
|
|
|
л у |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
д у |
- начальная оценка |
погрешности функции. |
Выражение |
(1 2 .6 0 ) |
|||||
можно представить в |
|
ввде следующего определителя |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Л 'X ; |
|
|
= о . |
|
(1 2 .6 1 ) |
|
|
? ( Д ) = |
|
д у |
|
|||||
|
|
|
|
|
Д Xi |
|
|
|
|
|
Определитель У(&) |
|
сохраняет |
свою форму и значение |
для всех |
з а |
являющихся независимыми переменными или функциями других перемен
ных. В связи с этим определитель |
У ( Д) будем называть инвариантом |
||||
предельных абсолютных погрешностей. Принимая во внимание формулу |
|||||
(1 2 .5 7 ), |
получаем |
|
|
|
|
|
5 x i |
$ X i b y |
|
(1 2 .6 2 ) |
|
|
|
|
|
||
где 5 у |
- начальная оценка относительной погрешности функции. Это |
||||
выражение можно также представить |
в виде определителя |
|
|||
|
|
S'y |
= о |
(1 2 .6 3 ) |
|
|
|
|
|
$ Xi
Определитель J(<5") будем называть инвариантом предельных отно сительных погрешностей. Так как инварианты выражают зависимость между предельными погрешностями, то их можно использовать для после довательного оценивания погрешностей и контроля вычислений [бз] .
1