книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

У ~ I (я » >

•

(12. 21)

Предположим, что заданы приближенные значения этих аргументов

a , , a Z)...} а п , имеющих соответственно

погрешности £ х 1уы.хх, . - . , л х Пл

dr - § £ /* ' + д х я

г

3 /

d x „

( 12. 22)

■I

~

дХп.

Так как функция

у

дифференцирует в точке

( a f, a.Zy . . . , а п) ,

то за­

меняй в

формуле

(1 2 .2 2 ) дифференциалы погрешностями,

а

аргументы их

приближенными значениями,

получим

dat

. 1

Эап

' да'

Из

выражения

(12 .23)

следует,

что

п

B f W

(1 2 .2 4 )

Л ц =

- - - - - Л Хл = у t a d / Ц ) - Л = V jW 'a C ,

я--!

*

где V

- оператор Гамильтона и Л. ={</.x,,oiXi } ...

_

вектор пог­

Оценивая выражение (1 2 .2 4 )

по абсолютной величине, подучим

формулу предельной абсолютной погрешности функции

(1 2 .2 5 )

/с-/

Обозначим частные

погрешности функции через Лк Н =

-Л х к (л--/,л).

<Г

д а д

Тогда с учетом формулы (1 2 .2 4 )

получим для Л у следующее выражение

!*■

оС

r Z

S f W

(1 2 .2 6 )

~ F a 7 *

* *

/Сг/

___ / _

-г

О г.27)

'

1

A . U

Ц

и б о

Принимая во

внимание формулу (1 2 .2 7 ), найдем плотность

вероят­

ности

случайной погрешности ^ ^ у

У

и к

Л '

,

(1 2 .2 Ь)

ГУГ

iX P

д Ш ) 1

3 JU )

Ж

дак \

дак

где

.и ^

Ж

£

к .

Так как частные погрешности oL^y

распределены

по нормальному

закону,

то погрешность функции

о с у

имеет также нормальное

распре­

деление

с

параметрами

„ „

.

X

"

о / (~0

{12*2У)

= 2.^ ~ у г ~ " Ч = 0 ’

/I " 1

U L4.к

ЗА-*)

о-

+ ^ / >

o f t * )

cV(j /)\

£ > ( * ¥ )

=

д а л

°

J

д а к

д а l r A;JirLJi>f(I2.3G)

Л

•

К-I

х < i

где М (о( у) - математическое ожидание и

- дисперсия

погреш­

ности (функции,

с? л.,-

-

коэффициент корреляции погрешностей

* -ГЛ ,

,

а

П

П

с)(■*)

U

--

X

4

/,/

\

'

(12 .31)

>

=

>

г'

г .

(:/

с п -

Л

А- /

Если

случайные

погрешности ^-Г„ *

некоррелированы,

то при нормальном распределении они будут независитли. При этом

условии формула

(12 .30)

принимает вид

-.Z

■ А д )

О/

С,>

.

(1 2 .3 2 )

о у ; = У

Ч

/ .

о а ,

1л.

А•*

..а основании

.^ормул (...й.й'с;), (12 .32)

найдем плотность вероятности

едучайной погрешности функции

( и )

:/

( 11)

=

)1<1£ У и

(12 .33)

.'фжсмиы

;;орм;/лу

(1 2 .3 3 ),

найдем вероятность того, что погреш­

ность ■.V/нкшш

Д у

не превосходит ее

предельной абсолютной погреш­

ности

ЛЧ

_ U Z

Р ( Ы , , 1 < А 1 ) . - ф

-

( С

* * V

„ * г < Р ' ( - * 1 ) .

(12 .34)

д ч -

К

(#)

(12 .35)

Полученная формула определяет оцен:у для погрешности функции с

вероятностью

р

Перейдем к рассмотрению вопроса об оценке относительной пог­

решности функции

многих аргументов. Разделив обе части равенства

(12..ой) на

и

,

получим

d у

'

п

о /

.

\

с (fi ч

1

-

v п

ц .

(12 .36)

—

~

—d X д. =

/

~а

~ ^

Н

i p

L/ d x *

Т У

д х *

. Подставляя в

выражение (12 .36) вместо

if

ее

значение

в точке

. Т о г,аг ,...,ап) к>

заменяя дифференциалы погрешностями, найдем вели-

-чину относительной погрешности

пункциич

ч -

d U f U )

* к

= V

,

.

-

(1 2 .3 7 )

У =■2 , _

—

д -

- <

(xi J ( J ) -оС .

А ~ I

°*/Г

предельной относительной погрешности функции

d U } U )

V " L 3 £ л / ( и )

д а *

AJC/c

Z-^ Г* дак

/£

(1 2 ,3 8 ) '

На основании формулы (1 2 .3 3 ) определит плотность вероятности

относительной погрешности функции Л

<ра(х)=1№)№Шш]

г г 1 / У >1г 1

(12 .39)

Z6t '~J

где

i

U •

l =

J W

Следовательно, относительная погрешность функции многих аргу­

ментов имеет нормальное распределение

с параметрами т г -0

ж бt - б и

№ Г

Лринимая во

внимание формулы (1 2 .3 5 )

и (1 2 .3 9 ), найдем оценку для

ёи

< p;'d)

fy=<P.''(#)\ № \

\ н

* > \

(12 .40)

2 . Метод оценки погрешностей аргументов по заданной предельной

погрешности функции.

Б теории

ошибок имеет важное значение также

ном усилении условия обратной задачи

[63] .

Пусть у -$ (х „ хг,...,хл) - непрерывно дифференцируемая функция, мо­

нотонная по каждому аргументу х ,

. Будем считать, что из­

вестны гранита значений аргументов

и 6 ;

. Задача состоит в

том, чтобы найти по известным предельным погрешностям функции А V

и § ‘ц соответствующие предельные погрешности

аргументов а 'х^ и с х г .

тельных

предположениях[бз] .

Пусть

Ч - ц * ь х?—>хп)~ непрерывно дифференцируемая функция, мо­

нотонная

по всем

аргументам Х {

( i - !,п) , приближенные значения кото­

рых равны

а

; .

Предположим,

что известны границы погрешностей ар­

гументов

tf{

и

и ; . задача

состоит в том, чтобы найти по задан­

ным предельным погрешностям

Функции Л ^

и £

ij

соответствующие

продельные погрешности аргументов Л ' х ;

и 5 ' jc ; .

iio условию задачи погрешность аргумента

X ;

содержится

в про­

межутке 1*1 & х ;-а ; ;= U; или

ъ х,-- а с % и ;

. Отсюда

следует, что гра­

ницы значений аргумента Х£

равны Г/= Oi + th;

и £;= а ;

+ и ; .

Так

как среднее значение аргумента равно Xt-CL; + -~{.iyl + u ;) ,

то

X ;

= X ; -г

{ д . -

4 )

(

-

ISi)

(1 2 .5 1 )

принимай во внимание .тормулу

(1 2 .4 7 ),

найдем погрешность

аргумента

А

! —

с / ( х )

(1 2 .5 2 )

о JC{

( U i - V t )

г-1

Заменяя в .(Формуле

(12 .49) С;

и

£ £

их

значениями,

определим

предельную абсолютную погрешность

аргумента

л

X,-

при заданном

значении л'.у

Л X;

= -

(1 2 .5 3 )

/г/

Подставляя в

Формулу (1 2 .5 0 )

вместо

Ci

и £>i

их значения,

? Х ;

=

I Hi- ?;l Я'1/

(1 2 .5 4 )