Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

	Г Л А В А	1У
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
§	I I . Критерии точности
I . Систематические	и случайные	ошибки. Процессы управления

обычно протекают в условиях непрерывно действующих случайных возму щений. Эти возмущения иногда оказывают существенное влияние на ра боту системы или вызывают отклонение ее выходных характеристик от номинальных значений .

Случайные возмущения в. ряде случаев вызывают нежелательное из менение выходных характеристик и параметров элементов или приводят к изменению режима работы и качества системы.

При оценке качества работы управляемой системы важное значение имеют ее характеристики надежности и быстродействия.

Наряду с этими показателями для оценки качества системы приме няется также характеристика степени соответствия между номинальны ми и фактическими значениями параметров. Этот показатель качества, называемый показателем точности, во многих случаях является опреде ляющим критерием качества системы.

Применение критерия точности позволяет оценивать влияние слу чайных возмущений на работу управляемой системы. При анализе точно сти работы системы необходимо учитывать наличие случайных колебаний входных и внуодннх сигналов, представляющих собой случайные функции времени.

Если входные сигналы не имеют помех, математические ожидания входных случайных функций представляют собой полезные входные сиг налы. Точно также математические ожидания выходных случайных функ ций представляют собой выходные полезные сигналы [27] .

Случайные возмущения, действующие в управляемых системах, обыч но накладываются на полезные сигналы, вследствие чего возникают ошибки выходных сигналов.Ошибки, возникающие в системах автомати ческого управления, принято подразделять на систематические и

I l l

случайные [45] . Систематические ошибки автоматической системы

/представляют собой разности между фактическими полезными выходными сигналами и номинальными выходными сигналами. Эти ошибки вызывают ся причинами, действующими одинаково при многократном повторении

*одних и тех же наблюдений. Характерной особенностью систематических ошибок является то, что они оказывают постоянное влияние на резуль таты наблюдений. Несмотря на это,обнаружение и исключение система тических ошибок из результатов наблюдений представляет значительные трудности.

•Случайные ошибки являются следствием причин, влияние которых неодинаково в каждом наблюдении и практически не может быть учтено.

Случайные колебания выходных переменных около их математических ожиданий представляют собой случайные ошибки системы. Хотя исключить случайные ошибки при наблюдениях полностью невозможно, однако теория

	ошибок указывает методы, позволяющие оценивать влияние случайных
	возмущений на работу автоматических систем [31] •
	При исследовании точности автоматических систем в основном
	учитывается только случайность ошибок и помех, а полезные сигналы
.	считаются детерминированными функциями времени.
f	В связи с этим при изложении материала в дальнейшем мы будем
	иметь дело, главным образом, со случайными ошибками. С этой целью
	мы будем применять приемы и методы, разработанные в теории ошибок,
.	для анализа точности автоматических систем.
	2 . Основные характеристики точности. В целях оценки точности
	автоматических систем очень часто определяют их выходные характе
	ристики по результатам измерений. Вследствие влияния разного рода
	возмущающих воздействий значения измеряемой величины будут различ
	ными. В сш у этого считаем, что измеряемая величина является слу
	чайной величиной. Математическая обработка ограниченного числа из
	мерений не избавляет нас от сдучайных ошибок.
	При достаточно большом числе измерений приближенное значение
	величины незначительно отличается от ее истинного значения. Так как
	истинное значение измеряемой величины неизвестно, то и ошибка из
	мерения остается также неизвестной..
	Для оценки точности измерения или вычисления введем в рассмо
	трение критерии точности. Критерием точности называется мера, с по
	мощью которой производится оценка приближенного значения или его
	погрешности [6 4 ] .

112

Определение. Разность между величиной X			и ее	приближенным
значением	f t называется ошибкой иди погрешностью,			т .е .
	з с - а = с С ,	.		(II.D
где аС -	погрешность приближенного значения		О- .	Так как величи

на погрешности обычно неизвестна, то в этик случаях иногда задают

ся	границы погрешности
			оС,й х - а			± сСг ,		(и. 2)
где	ait	и	- границы погрешности.
	Пусть границы погрешности имеют противоположные							значения, т . е .
<d,+ d x -		о .	Тогда неравенство		( I I . 2 У можно представить в следую
щем виде
			,	I		/	d-z ~aCi\	ш.з)
			/х-а\| 6			---------- .		ш.з)
Обозначим прадую часть неравенства						( I I . 3 ) через Д а		. Тогда
подучим
			j x - a f		6	д	а	( I I . 4)
								( I I . 4)
	Если	известно, что Id \|£		д а		,	то величина Д. а	называется
предельной абсолютной погрешностью приближенного значения.
	Погрешность округления			d	при измерении или вычислении явля

ется случайной величиной, имеющей равномерное распределение в про

межутке	[ - t,	€ ] . При этом условии функция распределения случайной
величины	оС	определяется	формулой
		г	О , если 1У < - i ,

F (») =P (d<0)= ^	,	если		,	( И . 5)
	i	, если	V"> i	> О
Плотность вероятности случайной		величины	оС	имеет ввд
,	3 7 »	если		t
/ 0 ) = F0>)=< zt					( I I . 6 )

0 , если Ь- ё [~t, t ] .

и з

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величивн ai , имеющей равномерное распределение в промежутке [~ tyt ] *

Таким образом,

( П .7 )

			у	*	( Н ,8 )
Так как	М U-) - 0 ,	то начальные	и центральные моменты равны
между собой,	т .е . Vrt	. Если эти моменты имеют нечетный поря
док, то она равны нулю.		Вычислим теперь моменты четного порядка
	I	£	ы
-£		- £	=j]k r ( * = ^	; . т	. 9 )
-£		- £

Пусть °Сп независише ошибки округления, имеющие од47 и ту же функцию распределения с плотностью вероятности ( 1 1 ,6 ) . Тогда на основании центральной предельной теоремы сумма ошибок ок ругления Jr л имеет асимптотически нормальное распределение при /?-*-<»

У _ _2_!

F W = Р ( 2 » < Ю —

2 6

< п л о >

равномерно по у * Плотность вероятности случайной величины

пV

s - Z cLK выражается формулой

/г=/

X 2 б ‘

(11*11)

114

В ввду того, что предельная абсолютная погрешность недостаточ но характеризует точность измерения или вычисления, то для оценки точности применяется также относительная погрешность СО , опреде ляемая формулой

ai	ос-СС	( I I . 12)
а	а

Определение. Отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения называется предельной относительной погрешностью

		£	_ A S L -		\х ~ а \			( I I . I 3 )
		а	\а\			\а\
	Если известна плотность вероятности j						О?) случайной	величины
cL	,	то можно найти закон распределения					случайной величины СО .
Обозначим плотность вероятности				случайной			величины СО через 'flu ).
Тогда,		учитывая, что	и	V - f ( u )		,	подучим для f ( и) выраже
ние
							,	(11.14	$
где	f	- функция, обратная функции			/ .
Принимая во внимание выражение				( I I . 1 4 ),		найдем функцию распределе
ния случайной величины со
		и					и-
	< Р ( и ) ^ Р (С О < и ) = \|д</'СзО] \f(%)\						.	( I I . 15)
		_ G O					_ ©О

На основании ( I I . 6) и ( I I . 14) определим плотность вероятности относительной погрешности округления

€	, и €	t _		_ £
€	, и €	/<*1	’	l a \|		•
f ( u ) = j [ f ( u ) ] \ f ( u ) \	U €	_L		j	J	( I I . I 6 )
\ а \	U €	_L		j	J
\ а \				l a \.
ZI	1	l al	’	l a \.

			115
Произведя замену	а\	= g ,	получаем
		о г и е [-г, г] ,
У ( U )	=•	^ ? г* € [- г , г] .				(II.17)
						(II.17)

Принимая во внимание		( I I . 1 7 ),	находим		гс <- г
1Л.		- <		С ,	гс <- г	( I I . 18)
ф {и ) =j		- <		Яг ,	-г 4 гг- 6-г ,	( I I . 18)
			и + г
-г				i .	гг > г

Вычислим математическое ожидание и дисперсию относительной погреш ности округления

м{со)	=£jиу ( и ) d u	(11.19)
и
Z	г	;
§Ь((о) =	d{u)du =~\|ис^гг=~- =j y ™ -(п.20)
-г	-г

Применяя формулы для вычисления моментов, найдем начальные и цент ральные моменты

	( I I . 21)
и ^ г /c-f - J * z k - i ® •	•••? w п взаимно независимы,
Вели случайные величины &>f ,	•••? w п взаимно независимы,

то их сумма ^ п согласно центральной предельной теореме имеет

116

асимптотически		нормальное распределение			при	п	—— =»
					%	_	J 2_
	= Р ( ^ п < * ) ----------			^ 2 # 6 -	^		d -t	(11 .22)
равномерно	относительно		Z .	Плотность	вероятности /(.2)			случайной
		и					J
		п
величины	^	6 ) к	выражается формулой
	к.-1
								(11.23)

Наряду с предельной относительной погрешностью имеет широкое применение в качестве критерия точности доверительный интервал, так как он определяет область изменения случайной ошибки с известной вероятностью.

Кроме выше перечисленных критериев введем в рассмотрение в качестве критерия точности дифференциальную энтропию случайной ошибки, определяемую формулой

=	/ ( » ) ] = - ] f M t o y f W d * - Ш .2 4 )

Энтропия случайной ошибки характеризует изменение точности из мерения или вычисления. Чем меньше абсолютная величина случайной ошибки, тем меньше и величина энтропии. Если величина случайной ошибки равна нулю, то ее энтропия обращается в минус бесконечность. Возрастание величины энтропии свидетельствует о снижении точности измерения или вычисления. В силу этого энтропию случайной ошибки можно рассматривать как объективную характеристику точности [5 9 ].

§ 1 2 . Оценки случайных ошибок функций

I . Погрешности функций. Пусть дана	дифференцируемая функция
у - J ( x ) и известно, что приближенное	значение х	равно (X с
погрешностью «С х . В качестве приближенного значения		аргумента

f17

принимается его среднее значение.
Дифференцируя функцию у = / ( х )			по	х	,	имеем
d y = j [ x ) d x .									(1 2 .1 )
Заменяя дифференциалы d x	и d y	ошибками d x					и	<АЧ , а X его
приближенным значением, получим формулу погрешности функции
d y - f \ a ) d x .									(1 2 .2 )
Обозначив предельную абсолютную погрешность аргумента через									д х ,
найдем предельную абсолютную погрешность функции								д у
А у =\|/'(а)\| Д X .									(12.3)
Разделив обе части равенства		( I 2 .I )			на	у	,	будем иметь
dy	f'(x)dx			x j(x )				dx
4	j(x>		-	Д х )			'	x
Обозначим относительную погрешность аргумента через а х									и
функции через (J ц . Тогда,	заменяя		—	= OJX,		^dt- с д ц и х			его
			х				У	*

приближенным значением, находим

['(а)

Щ= V — L d x

d / ( a )

а ['(а)	(1 2 .5 )
= — ^ -- с о х .

/ ( а )

Учитывая формулу ( 1 2 .5 ), найдем предельную относительную погреш ность функции 6 у

I /(а)\|	/1*Г Ъ х .	( 12. 6 )
f /'(«•) 1 А X	а. / ' ( л )

Для определения плотности вероятности случайной ошибки функ ции у - f ( x ) воспользуемся формулой

		У ( и ) = Ц '[$ (' и )]1 < у \ и ,)1 ,	(1 2 .7 )
где у	-	функция, обратная функции у ' .
Пусть случайная ошибка аргумента d . x имеет плотность вероят
ности	У'	( v ) . Тогда плотность вероятности	случайной ошибки

118

(функции oL4 о ученом			(1 2 .2 ) и	(1 2 .7 )	будет ш еть следующий вид
				Ь	'Ll		( 12. 8)
			1/4)1		Г (О.) .		( 12. 8)
где г4.=/(а)гу .			1/4)1		Г (О.) .
где г4.=/(а)гу .			случайная ошибка аргумента oi х
Предположим,		что	случайная ошибка аргумента oi х				имеет нор-
мальное распределение			с плотностью вероятности
		fJV) = к					(1 2 .9 )
			i	*
где А = -------—	-	мера точности .
/ z & v						( и )
При этом предположении плотность вероятности						( и )	случайной
ошибки функции выражается формулой
					А ли г
					[f(a)Y		(12.10)
£	( *	0	=				(12.10)

На основании формулы (1 2 .1 0 ) определим вероятность того, что

случайная погрешность функции не превышает ее предельной абсолютной

погрешности	Д и
		h^U z
P(Hyl<*yh		1 / И	J ( I 2 . I I )
Подставляя	в формулу (1 2 .I I ) вместо	ее значение из	(1 2 .3 ),
получаем

р(\*у\< ь у ) = Z ФвЫг к &х ) • {12Л2)

119

Из формулы (1 2 .I I ) следует, что

А} =	Ф~\ф\}(ф ° P o X j ) \ M&V- ,		(1 2 .1 3 )
где Ф0 ( и ) -	обратная	функция Лапласа.
Таким образом, мы определили оценку для абсолютной погрешности
функции с вероятностью		Р

Применяя формулу (1 1 .2 4 ) с учетом (1 2 .1 0 ), вычислим энтропию случайной ошибки (функции

L zu г

= l o f [ £ jf - l f \ a ) \ } U o < j [ t f & F I / i a f a ] .

(1 2 .1 4 )

Форщула (12 .14) выражает зависимость энтропии случайной ошибки функции от меры точности и среднего квадратического отклонения.

Принимая во внимание формулы (1 2 .5 ) и ( 1 2 .7 ) , найдем плотность вероятности ( и ) относительной погрешности функции

		/ ( a )	I ш [ и / ( а )		(1 2 .1 5 )
/	. М	а/'(а) I Та [af(a)			1
где U -		v- •
/ ( а )
Согласно (1 2 .9 )	и	(12 .15) получим
/<ю ( U )	=	L \ n a ) I	exp	к *f/fa)]V
/<ю ( U )	=		exp		(1 2 .1 6 )
				[ a j f a ) ] *

Учитывая формулу (1 2 .1 6 ), определим вероятность того, что

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ