книги из ГПНТБ / Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления
.pdfICO
Определение. Энтропия системы равна математическому ожиданию логарифма вероятности состояний системы, взятому с обратным знаком [41]
H (s) = -М£<ypK<it)^- |
N |
|
|
|
||||||
(*) |
Д (О , |
|
с9.э) |
|||||||
где Н ( S ) - энтропия |
системы, в о д |
P c (t)~ логарифм вероятности |
||||||||
состояния к моменту |
|
t . |
|
|
|
|
|
|
||
Для удобства вычислений будем пользоваться специальной функ |
||||||||||
цией и таблицей ее |
значений |
£ |
( р ) |
г - р toy Р . |
|
|
|
|||
Тогда формула |
(9 .9 ) |
примет следующий вид |
|
|
|
|||||
|
|
|
,V |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 .1 0 ) |
|
|
л=/ |
|
|
|
а:-1 |
|
|
|
|
Если элементы системы меняют свои состояния независимо друг |
||||||||||
от друга, |
то по теореме сложения энтропий получим |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/V |
|
|
|
H ( S ) - H [ s , ( 0 , . . . , |
ь л о ] |
|
• |
(9.П) |
||||||
Согласно (9 ,1 0 ) энтропия состояний |
отдельного элемента равна |
|||||||||
Н ( S i ) |
Л |
[ P i ( t >]+ Ч |
|
= Ч[P iW ] + 2 [ 1 - P i СО] |
. |
^ Л 2 ) |
||||
Подставляя |
значение |
НС S i) |
в |
выражение ( 9 . I I ) , |
получим |
|
|
|||
H C S ) = X h ( s <) = ^ |
|
L |
|
|
= |
|||||
|
|
i-1 |
|
|
г - 1 |
|
|
|
||
|
= |
^ |
{ ? [ р , ч о ) |
+ |
г [ ( - , ° д ю ) } . |
|
«.is) |
|||
Переход системы из исправного состояния.в неисправное является необратимым процессом. Этот процесс протекает в одном на правлении от менее вероятного состояния к более вероятное состоя нию. Возрастание энтропии свидетельствует об ухудшении качества системы [5 7 ].
Для вычисления энтропии системы, состоящей из зависимых эле ментов, применяется следующая формула
н ( S ) = Н |
= H (s,) + H(Si/S,)+...+ H(S*/Sf,...,Sv.,), (9 .1 0 |
где энтропия состояния каждого последующего элемента определяется при условии, что состояния всех предыдущих элементов известны [ 5 ] .
Случайная величина п ( 1 ) , как характеристика состояния систе мы, до своей реализации обладает некоторой степенью неопределенности. В качестве меры неопределенности случайной величины n ( t ) можно рас
сматривать также’ энтропию этой величины [18] .
Как известно, энтропия случайной величины является одной из числовы* характеристик ее закона распределения.
Следует отметить, что основные характернотики состояния систе мы тесно связаны с ее критериями надежности.
Все указанные выше характеристики состояния выражаются функцио нально через критерии надежности системы. Основные характеристики состояния системы могут быть использованы и для оценки надежности управляемой системы. При этом необходимо подчеркнуть, что при оцен ке надежности главную роль играют критерии надежности, а характе ристики состояния имеют вспомогательное значение.
§ |
10. |
Состояния систем однократного и многократного действия |
|
I . |
Основше характеристики состояний систем |
однократного дейст |
|
вия. Пусть |
имеется система однократного действия, |
состоящая из N |
|
элементов. |
Будем считать, что .структура системы и режим ее работы |
||
известны нам полностью. Все элементы имеют одинаковую надежность т .е .
Р ;(0 ~ P (t) и соединены между собой параллельно. Предположим также, что отказы элементов данной системы являются независимыми.
Определим характеристики состояния рассматриваемой системы.
В силу сделанных выше допущений распределение числа элементов,
приведенных в |
неисправное состояние, является |
биномиальным |
|
|
|
|
(Ю Л ) |
Оная распределение случайной величины n ( t ) , |
вычислим ее ма |
||
тематическое |
ожидание по формуле (9 .2 ) |
|
|
|
N |
|
( 10. 2) |
|
|
|
|
|
п*о |
|
|
Характеристическая функция величины П (t) |
равна |
||
|
|
а |
, n |
|
|
|
(1 0 .3 ) |
102
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% ( t ) e |
|
|
||
V/ ' ( * ) ” - j — ln J a ) = i / V - |
и |
|
(1 0 .4 ) |
|||||||
|
|
az |
J |
|
|
p ( o + $ ( t ) e |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ( л ) - |
= N y U ) ~ A / [ i - p ( i j ] . |
|
(1 0 .5 ) |
|||||||
Для вычисления дисперсии числа отказавших элементов за время t |
||||||||||
воспользуемся формулой ( 9 .6 ) . |
Дифференцируя повторно |
(10 .4) |
и по |
|||||||
лагая Z - О |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
N p ( t ) ty(t) |
C i l |
|
(10. 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
[ p ( t ) + q , ( t ) e u ] z |
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& ( n ) = - |
f" (o ) = |
N p ( O q ( t ) = N p (t )[l- p (t )]. |
( 1 0 . 7 ) |
|||||||
Вы числим |
теперь |
энтропию числа элементов, приведенных в не |
||||||||
и сп р а в н о е с о с т о я н и е за время |
t |
|
по формуле |
(9 .9 ) |
|
|
||||
* |
|
|
|
|
|
-V |
/ |
|
/I |
|
н м — Z |
|
р< «>typAo = -T .m ^ jrp"'<t>h-p(f>l * |
||||||||
tl=0 |
|
|
|
|
/с= о |
|
|
|
||
А /! |
ы-л |
|
|
ZК - Г. |
n \ |
Ы-tс |
К |
|||
р |
( t ) [ i - p |
(О] |
л! (л/-л)! |
р (t)[h p O )] х |
||||||
|
|
|||||||||
л!(л?-л)! |
|
|
|
|
|
|
||||
X |
|
Л 7 |
+ ( а/ - А . ) 1л <! p ( t ) + к to p [ f - |
|
||||||
|
|
|
||||||||
л! (л/-л)!
103
N
V "
2 _
R -0
N
- X
t:-o
N
~£';S
A / ! ( A f - K ) |
Л/-Л |
К |
Ч П ^ Ш Р |
w [ < - / * * ) ] b y p H ) - |
|
( А / - К ) ! |
P " \ t ) [ < - p M ] ‘ io f [ t - p i t ) ] -- |
|
/V! |
Л/-Л |
fl |
~wШ ^ ) Г p |
( O |
f ' - p l t f b f j r ^ |
~ N p i t ) |
f > ( t ) - N [ i - p t t ) ] t o $ [ l - p ( t ) ] . |
(1 0 .8 ) |
|||
Пусть дана |
система из |
N |
одинаковых |
элементов, образующих од |
|
ну группУ резервных, а другую группу основных элементов. Первая |
|||||
группа состоит |
из т резервных |
элементов, |
а вторая группа содержит |
||
остальные N - т элементов. |
Каждый элемент |
этой системы имеет экспо |
|||
ненциальное распределение времени безотказной работы.
Будем считать, что замещение отказавшего элемента происходит мгновенно. Предположим также, что все элементы системы отказывают независимо друг от друга. В случае отказа основного элемента он за меняется очередным резервным элементом.
При указанных предположениях определим основные характеристики состояния.системы с нагруженным резервом [28] .
Состояние отказа рассматриваемой систеш возникает тогда, когда откажут все резервные элементы и один из основных элементов. Исходя из этого, условие работы данной систеш выражается следующей
104
Функцией состояния
„ _ Г1» если п-И)<'п+1 , |
(10.9) |
-|^0> если n(-t) -m-+i -
Вероятность |
отказа точно |
/£ |
элементов системы в течение вре |
|||||
мени |
t выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
p j t ) |
, p [ n u ) - |
n |
} |
- - c ; p |
/r' b ) [ < - p ( t > ] /l, |
<io-i o > |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-xt |
,■ |
|
к _ |
Ml |
# |
|
|
p ( t ) = e |
|
С* ' л!(А/-Л)! |
|
||||
Вычислим теперь математическое ожидание числа отказавших эле |
||||||||
ментов |
к моменту |
t |
|
|
"рл\ /с/ / 1 |
|
к |
|
|
|
т+1 |
|
|
л'-д |
|||
М(«) =М [л(0] = ] Г иркИ) = Y l jJo^)тр wfr-pw] >(10Л1)
где
m
|
|
|
|
/t =0 |
|
(10.12) |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
I |
|
|
|
|
/Я*/ . |
|
|
|
|
|
|
М И = X ! - ^ |
v |
P |
^ |
K( 0 [ i - p ( t ) f = N [ |
1 -/Ч О ] . (10 .13) |
|
Подставляя значение p ( t ) |
|
в формулу |
(1 0 .1 3 ), |
получим |
||
|
М ( а ) = А / |
G - C ~ Xt) . |
(Ю .14) |
|||
Дисперсия случайной величины |
/г (7) выражается следующей формулой |
|||||
m + i |
- |
|
|
m+i |
|
|
SD(n) ='У[*~М(п)] Рч(*) = X ! |
|
- М V ) 31 |
||||
Л =0* |
|
|
|
/Г=0 |
|
|
/С*0 |
|
|
|
-Л/ |
-А * |
|
|
|
|
|
|
||
= t f p ( t ) [ f - p ( t ) ] |
( f - e |
) . |
(10.15) |
105
Для вычисления энтропии случайной величины п (1 ) воспользуемся
формулой (9 .9 )
|
|
|
|
|
/с=о |
|
|
|
|
|
!^ |
•/у/ |
м - к |
г |
-1 /г |
||
H W |
= - £ i 7 f ^ |
/ ’ |
|
|
* |
|||
|
|
/С*0 |
|
|
|
|
|
|
|
* { Ч ~ к К « - к ) ' . * (Л ' ' к ) ^ Р Ш + |
|
||||||
учитывая |
( 1 0 .1 3 ) , получим |
|
|
|
|
|
||
Точно также можно получить, |
что |
|
|
|
||||
|
|
/1// (-V-/T) |
|
/у-/с |
_ |
,,/с |
|
|
|
£ |
~ Ъ т « - 1 у Р |
№ - № ] = » № . |
|||||
|
1C-О |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V - ' |
/W |
|
<У-я |
|
Л |
л/ / |
|
4 W |
- Z |
Л . ' ( ^ Л) / ' 0 |
|
( 0 [ < - р ( 0 ] |
|
|||
|
к-о |
|
|
|
|
|
|
|
- Np(t) toy рЦ) - N [t - p M ] |
toy [ 1 - p ( t )] |
= |
||||||
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=~X > “ ^ l [ - l a t h i ] - |
- |
|||||||
|
|
|
m+i |
|
, . |
|
[ t -е- A t]- Кx |
|
|
r |
1 = v —1 e- Л ( М - / С ) Ь |
||||||
|
|
|
€-0 |
|
|
|
|
|
(10.16)
106
2 . Основные характеристики состояний систем многократного действия. Перейдем теперь к изложению основных характеристик состоя ний систем многократного действия. Как известно при исследовании процесса восстановления рассматривалась случайная величина £ (О , принимающая целые неотрицательные значения. Эта случайная величина
равна числу циклов, происшедших на промежутке времени |
[ О , t ] . |
Зная закон распределения случайной величины *1 ( t) |
, можно оп |
ределить основные характеристики состояния системы многократного, действия. Эти характеристики аналогичны тем, которые мы рассматри вали для систем однократного действия и определяются они по единой
схеме [61] .
Пусть дана система многократного действия, состоящая из N элементов, соединенных между собой послед'овательно. Каждый элемент данной системы в процессе восстановления приобретает свои первона
чальные качества, т .е . обновляется полностью. |
|
|
Будем считать, что цикл одного элемента не влияет на надежность |
||
других элементов. Процессы восстановления элементов в |
силу наших до |
|
пущений являются независимыми. Предположим, |
что у всех |
элементов |
этой системы известны полные вероятностные характеристики W i(.t)z |
||
u?i (О » а также числовые характеристики Т ; |
и £) t- времени безот |
|
казной работы.
При сделанных предположениях определим основные характеристики
состояния |
системы к моменту t |
. Поток отказов-восстановлений дан |
|||||||
ной системы является |
объединением |
N процессов |
восстановления Гбо]. |
||||||
Обозначим через £ ;( * ) |
( t =/, Ы) |
случайное |
число |
отказов-восстанов |
|||||
лений ь |
- |
го элемента к моменту времени |
t . |
Согласно |
(2 .2 4 ) |
||||
распределение, случайной величины |
|
( t) выражается формулой |
|||||||
|
|
p{&(t) = /*•] = V f(t а |
) - № * ♦ , ( < ) |
|
(I0*I7) |
||||
где Wiic |
- |
К -кратная |
свертка |
закона распределения. |
|
||||
Учитывая выражение |
(1 0 .1 7 ), |
введем в |
рассмотрение производящие |
||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t i ( t ) |
™ |
|
к |
|
|
|
|
|
|
М 2 |
|
к - о |
|
• |
(10 .18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание независимость случайных величин $ ; ( t ) , найдем
107
производящую функцию случайной величины |
( t ) |
|
||||
|
|
|
|
|
N |
|
4 k i ) |
= 7 , ( 0 |
+ $ i ( 0 + |
. . . + M |
O |
= 2 l M O , |
(Ю -19) |
|
__ , |
Л=М2 |
4(t) |
ы |
(10.20) |
|
ш * ) = / |
p * № |
= |
f l r f ( t , z ) . |
|||
|
лгТл |
|
|
4 |
|
|
Здесь P /t(t) |
определяется выражением |
|
|
|
||
|
^ ^ |
|
|
X |
^ (x>' |
(10. 21) |
|
= Р { 4 ( 0 » л } = -= у / * ( * ,< > ) |
|
||||
|
|
|
|
к! |
|
|
Рассмотрим теперь основные характеристики состояния данной системы.
Математическое ожидание случайной величины ^ СО определяется следующей формулой
M ( * ) = M [ ? W J = м ^ ! ^ ( 0 |
= 5 1 м [ ^ с о ] . |
(10.22) |
i = i |
z=/ |
|
Учитывая (2 .2 1 ), найдем
М ( ? , ) - М [ 1 ; ( 0 ] = Л ( 0
Тогда
N N
М1 г ) = £ м [ м о |
|
|
*=/ |
|
|
i= l |
Применяя формулу |
(2 .2 6 ), |
получим |
|
|
|
Ы |
М |
|
X |
, |
г |
|
= |
W iiO |
+ ^ |
l A |
d t - t j c l W ^ ) ' |
|
|
|
|
|
J |
i = l |
i - i |
|
i - t |
о |
|
(10 .23)
(ю .2 4 )
(Ю .25)
Для определения дисперсии случайной величины воспользуемся формулой
|
N |
_ ^ |
(10 .26) |
|
0 (") = S D [n (t)] = |
М О = |
W ] . |
||
|
t-i t - t
108
Согласно [Зб] и формуле |
(2 .2 6 ) имеем |
|
|
|
||
= Л { ( 0 |
+Z |
Яг |
( t ) . |
|
(10 .27) |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Ы |
|
N |
N Г |
Ы |
|
|
£ > (*-) = ^ |
с е ] = |
|
(t)+2 X ! |
|
|
° “28) |
t' = i |
|
i - i |
*’ ■* 0 |
t =i |
|
|
Энтропия случайной |
величины |
$ C t ) выражается формулой |
|
|
||
|
|
|
ОС |
ZefP*A) |
|
|
НО) = - J4 |
fof РАО = - ]>] |
|
(10 .29) |
|||
. |
|
|
/ С - 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или о учетом формулы (1 0 .2 1 ) |
|
|
|
|
||
ео |
|
|
|
|
|
|
н i i ) ~ ' Z p ‘ ( t ) 6 l f p’ c *> = - м |
|
. |
(10 .30) |
|||
|
|
|||||
К-О |
|
|
|
|
|
|
Б качестве примера вычислим основные характеристики восстанав ливаемой системы при пуассоновском потоке отказов с постоянным па раметром. Этот поток отказов называется также простейшим. Для про
стейшего потока отказов |
вероятность появления /с отказов на участ |
ке времени длительности |
t не зависит от положения этого участка |
и определяется форьулой |
|
P J O - P |
= * |
гс! |
1 |
|
|
|
(10 .31) |
где X - параметр потока.
109
Характеристическая функция случайной величины £ ( t ) равна
С/ ч . . |
/ид _ |
яг—1 |
МГД (A t) |
“At At( 6** |
Л |
|
/ ( * ) ^ М е = 5 2 е |
% ( * ) ш 2 У |
~ |
к Г |
е ' = е ( |
, (10*32) |
|
£-0 |
|
л>0 < |
|
|
|
|
|
= |
/ t o |
j ^ = |
|
*В |
(10.33) |
|
- iA < e |
|||||
Отсюда нетрудно получить математическое ожидание и дисперсию числа отказов
|
Х ( 0 « м |
( * ) - * * |
(10*34) |
и |
|
|
|
<£> (а) ■=■- Ч'в(.о)= x t . |
|
(10.35) |
|
Подставляя в выражение (9 .9 ) значение PK(t) |
яз (1 0 .3 1 ) , |
подучим |
|
энтропию случайной величины |
р (t) . |
|
|
на) -^p.wkfP.ct) , _ у |
|
-A t |
|
t ! |
|
||
it=c |
/c-=o |
|
|
K,\
= A t |
- 6 •A i S |
|
( a t ) c |
(10.36) |
к ! |
к! |
|||
|
Cs(? |
|
|
|