Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

понимается, вообще говоря, в некотором регуляризованном смысле. Выясним смысл регуляризации расходящегося ин теграла (2 ).

Для ReX >—1 справедливо £х-гГ(Х-|-1),гх. Отсюда, поль зуясь аналитическим продолжением по параметру к, полу чим

{*х}-Г(Х + 1 )2х, ( Х ф - 1 , - 2 , . . . ) .

(4.1.3)

О. о. {£х} аналитичен по параметру к в области аналитич ности функции Г(Я+ 1)дх и, как будет показано ниже, в точках к ——1, —2,... имеет простые полосы. Дифференци руя, в частности, п раз соотношение (3) по к, получим

{tx} = ({txlnnf} гх2 ( *

(к 4-1) lnkz. (4.1.4)

Отсюда при к = 0 имеем

In"*-*- 2 ( * ) г(Пг_*)(1 ) 1п*г.

(4.1.5)

Правило деления на t применительно к операционному соотношению (4) (при к ф —1, —2,...) приводит к необхо димости регуляризации интеграла

j* ux—1dn (при ReX<0).	(4.1.6)
(0)
Поскольку классы первообразных функций для	функции

2 х -1 существенно	различаются в зависимости от значений
параметра к, то	будем	различать случаи к ф 0		и Х = 0 .
Рассмотрим случай		к ф 0.	Регуляризованное	значение
рассматриваемого	интеграла		ищется в классе	функций

где т — произвольная константа. Для определения

константы т воспользуемся следующим требованием: спра ведливо следующее правило деления о. о. ( к ф —1 ,

—2 ,...) на t :

- L {**} =

(4.1.7)

Для того чтобы выполнялось это свойство и учитывалось операционное правило деления на t, заключаем, что кон станту т необходимо положить равной 0.

Таким образом, при %Ф0, —1, —2,...
j* и1-	1 du =		-j- г 1 .			(4.1.8)
(0)
o(t)	1	С du __		1	но	1
Следствие 1. Имеем ~ -s - “		J	—	^г,	но	8 (t),
т. е.		(0)
т. е.
т = — b'(t).						(4.1.9)
t

Справедливость (9) можно проверить следующей проце дурой (не связанной с понятием регуляризованного инте

грала):	—tb' (t)-s- — 2— z -^г =			-i- -г- S(t), т. е. — tb'(t)=b(t).
Замечание. Тем же методом легко убедиться в справед
ливости
6Ш(£)	0,	0 < ^ <	— п — 1,	п — —1, —2, ...	(4.1.10)
6Ш(£)
tn	ОН-я)! ^lk+n)(t),		(во всех других случаях п — целое
	ОН-я)! ^lk+n)(t),		(во всех других случаях п — целое
число,	k = 0,	1 , 2 ,...).
Следствие 2. Продифференцируем п раз равенство (8)
по X:
~		П
) iix-1lnn udu = 2х 2			(—	[ k ) ln*2 -	. (4.1.11)
(0)		ft=0

Положим, здесь X = — m + 1, что приводит к регуляризации интегралов вида

1	Г п \ ( n — k)l 1пкг	т > 2 . (4.1.12)
2 m - t 2 d	[ к 1 ( т — 1)п-* + 1	т > 2 . (4.1.12)
А=0

Таким образом, в рассмотренных случаях (8) и (11) за регуляризованное значение соответствующих несобственных интегралов принимаются первообразные этих интегралов, аддитивная постоянная которых полагается равной 0.

Рассмотрим теперь случай %= 0. Справедливо разложение

6 - 5

zx+n = 2

(H-n)*

(4.1.13)

in*z

•

*=o

Имеем

. .

du.

zД+в—l

(4.1.14)

J u

”

X+ n

( 0)

Учитывая (13), функцию (14) представим в виде

X-j-n—1

Ink+1z

(Х+л)*

. (4.1.15)

й >

X+n

z(X+n)

i + 1

Следовательно,

(X+n) k

■ fj ^ +n^

= 5(fc)-+

' f l j

lk \

(0)

*=°

\ ( 0)

(4.1.16)

Здесь

а к пока

что

неопределенные

аддитивные

слагаемые

интеграла от функции

-i-ln*2 , В силу3(16)

. 71—1

Г du

2к

dtf

J _

~ й

и к'гЛ =

(Х+1)п

Х+л I

(0)

I;'_

(4.1.17)

у р

п—1 / и

(Х+п)*

1 С du

f l n

ftT

* J

( J

dT -

k—o\

(0)

\о

Последний ряд представляет разложение функции z l /(I+ + 1)„ в ряд Лорана в окрестности точки к = —п. Используя

(17) и ряд Г(Я+ л + 1)= J с* гДе с* = Г* (1)’ *=о

разложим в окрестности точки К = — п в ряд Лорана функ цию

3 Здесь и ниже применяется обозначение (о )„ = а (а+1).... (а + я —1).

Г(А + 1 )2Х— Г(Х +			п +	1)	(А+1)п =		(п -1 )!(Х+п)гп +
	ck+i(		2	\ п—1
	ck+i(	1	du				(Х+п)*
	k+ 1	-±-JГ*Ч			._ L
*=о	k+ 1	2	(0)	U		U	А!
*=о

			2				](Х+в)к
							](Х+в)к
							\|	А!
							(4.1.18)
(—1 )П—1				_1_ Г du_ \			п—1
(—1 )П—1				_1_ Г du_ \			_1_ ь * + 1
( в-1 )!(Х + л)2п			А = 0	г )		и I	‘ и А+ 1 +
			А = 0		( 0 )	/
					( 0 )	/
							(Х+л)д
+						а "	А!
771 —“ 0
Для того	чтобы	обобщить			правило последовательного
деления на t	оригинала In kt и учесть соответствие (5),							необ

ходимо, чтобы А-й член последнего ряда представлял л-крат-

1	г d п	ь
ный интеграл вида	J 1 Г )	2 (т ) Ск~т1п7”“

Для этого необходимо положить

тп= 0

2 ( * ) с * - т аго = - ! Ш ., А = 0 , 1 , 2 , . . .	(4.1 .19)
m—0

Таким образом, за регуляризованное значение интеграла

А2

J lnmn	du	0, 1 , 2 , . .	(4.1.20)
J lnmn	m =	0, 1 , 2 , . .	(4.1.20)
( 0)
следует принять первообразную		Inm+1z .
следует принять первообразную		— (- am,

где постоянные интегрирования ат определяются из рекуррентных соотношений (19).

Теперь разложение (18) можно переписать в виде:

Г(л + 1 )гх	( - 1) П—1
	( в - 1 ) ! ( Х + п ) г п

(4.1.21)

(1 +в)*

М •

Следовательно, в силу соответствий (3), (5), (10) и правила (1 ) заключаем, что разложению (2 1 ) в пространстве о. о. отвечает разложение функции {tx} в ряд Лорана:

			00
' >	(—I) " - 1	4-	(l+n)k (4.1.22)
' >	( п - 1 ) \ ( к + п )	4-	ы
			А = 0

Получена известная формула из теории обобщенных функ ций [31]. Таким образом, показано, что пространство о. о. содержит функции вида {£~nln*f}. Их изображения могут быть определены из разложения (21). С этой целью разло жим в окрестности точки к = — п в ряд Лорана функцию.

№		+	=г п( Х + 1 ) л й=0Мг><х+<
где
		и	_ V	ck-m 1втг			(4.1.23)
		bk{z)	2 d (k-m)\ т\ '				(4.1.23)
			т=0		’
Далее,	так как
	1		( - 1)П—1		2	(в) ( 1 + в ) *
где	(1+ 1 )»	(\|»-1)!(М-я) +1			2		(я—1)1
где			П—1
			П—1		( - 1 )"-		(4.1.24)
		-	« - 1 \		( - 1 )"-		(4.1.24)
		-	2		,ft+i
то			771=1
то
Г(Л +	1)гх	( - 1)71—1		( & ( b - 1 ) I			2 ai - r br(2) +
	*" l	(n —1)! (Х + я )		( & ( b - 1 ) I			T = 0
				A = O '			T = 0
							(4.1.25)

Q±n)k

-1- ( - l ) » - i b * + i	k\

Сравнивая разложение				(21), (22),	(25),	получаем (k = 0, 1,
2 , . .. ;	п — 1 , 2 ,...)
fin**]	,,v .	kl	Г *	< А Л ( 2) + ( - 1 ) " - 1 W			* )	—-^n, j(?)l
fin**]	,,v .	kl
{ tn j 71 (f) ■ zn (n—1)! 2
			_r=0
								(4.1.26)
где a(k \ br (z)		вычисляются соответственно					по	формулам
(23), (24).
В частности, при k = 0, используя равенство
		(—l )'”- 1		1 + “£“ + • • •+		= '^ (Л)+ С
			771	1 + “£“ + • • •+		= '^ (Л)+ С
			771
(С — постоянная Эйлера), получим					соответствие
{~f	}т.(0 -	([z % 2l ^		(д) + 1пг3»	л =	1,2, . . .		(4.1.27)

Наконец, методом математической индукции может быть

доказано, что введенная регуляризация интегралов				вида
(12) и (20) корректна [13].
Следствие. Справедливо равенство
1^	k =	0, 1 , 2 ,.	(4.1.28)
*	k =	0, 1 , 2 ,.	(4.1.28)
*
Замечания. 1 . Коэффициенты ат,		вычисленные по		(19),

связаны с коэффициентами Qm, введенными в [173], равен ством

т а т _! = ( 1)т —1Qm.

(4.1.29)

2. В связи с операционным соотношением (27) интересно отметить следующее: согласно (3.3.12), имеем

( - 1 ) ”	ф(7»+ 1)+ 1п2	(4.1.30)
nl	zn+1	(4.1.30)

где несобственный интеграл от о. о. понимается в ранее ука занном обобщенном смысле.

оо

Поскольку Г(А)= |'e ^ t ^ d t , R e^>0, то, полагая в (30)

2 = 1, П О Л У ЧИ М

00
Г (— re) = fer* {t~n~1} dt = (-7 f - ф (re + 1),	re = 0,1, 2 ,. . .
0	(4.1.31)

Это значение Г-функции в точках Х = —ге совпадает со зна чением, полученным в работе [218] с помощью так назы ваемой На-регуляризации, представляющей собой обобще

ние метода Адамара.

Этот факт указывает на то, что введенное выше опреде ление обобщенных несобственных интегралов достаточно общо и охватывает различные способы суммирования рас ходящихся интегралов. Отметим, в частности, что рассмат риваемый здесь метод позволяет пойти дальше результатов

работы [218]	и получить	регуляризированные значения
производных Г-функции в точках Х = —ге.
Так, учитывая (26), получим
Ги>( — п) = I е~		dt =	к\	2

	0			r= 0
					(4.1.32)
		, к+1
	( _ 1) П Г (й+1)(1 )		a U +l) Г (г,(1 )
		г 2
+	(* + 1)!		к Г		г! '
		г=О

§ 2. Операции над о. о. типа {t~nlnft £}

п. 1. Интегрирование и свертка. Имеем

Г(Х + 1) 2^1 =

(4.2.1)

Разложим функцию (1) в ряд Лорана в окрестности точки

1=—ге:

{tx+1} _	5<п- 2) (()	у (А+п)*	Г у / М	( k — i) l v
Т + 1	( п —1 )! (К + п )	А!	[ Д и j ( n - l ) ft_ i+ 1

	In 1'г )	( - p n k !b (ra~ 2)(t)
	in-l] “Г	(n—I)! (n—l)k+1
			t
Согласно (1.22), имеем J		{xx}dx	f 8("-1)(T)dr +
		( В - 1	Ж Х + Л )
			6
dt	(b+n)k
+2k = 0	kl

Сравнивая эти разложения, получаем формулу интегриро вания

t	л		.	/k \
Г	л	— — V		/k \	(fe-Q!	(W(\|	,	(-1 )пШ (п~2)(<
J l ^	i		!=0	)( BU		- W	+ j		(в—1)!(n-l)*+1 ‘
0			!=0							(4.2.2)
Далее,	при	любых		X,	pt=5^=—1,	—2 , . . . ,	согласно			(4.2.2)
Далее,	при	любых		X,	pt=5^=—1,	—2 , . . . ,	согласно			правилу
			t
свертки, имеем			J {'Iх} {(f —t)ii}dT-*-r(X -{—1) Г (р- +							1) ■гх+\|1 •
Отсюда			О
Отсюда
	d_		{^} {(*		t)^} dz =	Г ( Х + 1 ) r ( t i+ l )			tl+v-.	(4.2.3)
	dt j		{^} {(*		t)^} dz =	Г(Х+[х+1)			tl+v-.	(4.2.3)

Для X, p, равных целым отрицательным числам, указанная свертка вычисляется аналогично [13].

п. 2. Обобщенное дифференцирование. Имеем D{tx} = =X.{fx-1}. Аналогично п. 1, исходя из сравнения соответст

вующих разложений в ряд	Лорана в окрестности точки
Х=—п, получаем:
—	+
	( 4 . 2 .4 )
	(ji — 1 , 2 , • **) ^ 1 , 2 , . . .)

Легко видеть, что Dlnkt = k Ink—if

п. 3. Правило	подобия. Изображению Г(Я.+1 ){а2)х,	где
а — произвольное	комплексное число,—n ^ a r g a < n ,	пос

тавим в соответствие о. о. {(сс#)я}- Очевидны следующие свой ства этого о. о.:

а) {(at)x) совпадает с функцией (at)1 для ReA,>—1 ,

б) {(at)x} = «ЧП Х=£— 1 , - 2 , ...

Разлагая о. о. {(а?)л} в ряд Лорана (1.22), получим функции вида

{(at)-" In* (а*)}. (4.2.5)

Очевидно, изображениями этих функций будут изображения (1.26) с заменой z на az. Представляет интерес установить

связь функций (5) с функциями вида ft- "In* t}. Приемом, изложенным в п. 1, получим

								(?) ln * + 1 a
								(*+1 )(в -1)!
									(4.2.6)
В частности, при k = 0 имеем
/ 1	1 _	1	/ 1	1	I	lnaS*"-1^?)			(4.2.7)
I (*?)"	J —	в»	Ь »	J	“ Г		а п ( „ _ ! ) , *		(4.2.7)
I (*?)"	J —	в»	Ь »	J	“ Г		а п ( „ _ ! ) , *
Отсюда, например, при а = —1 получим
						in	8<"—11	(t).	(4.2.8)
						(Н=1)!	8<"—11	(t).	(4.2.8)
						(Н=1)!

Вышеприведенные формулы указывают на необходи мость соблюдать определенную степень осторожности при различного рода операциях над рассматриваемыми «сте пенными функциями». Эту мысль также подтверждает сле дующий пример:

{XJr } = { т } + {■f } +	+ ^1п^' - <х + « х + р)] 3(0 .
	(4.2.9)

Замечание к правилу деления о. о. на t. Пусть f(t) — це лая функция экспоненциального порядка роста. Тогда

*	tk	00
/чо = 2	°k ~ k T ^ F (z) =	2 akzk•
4 - 0		4 = 0

В этом случае вопрос об определении о. о. {t~nf(t)} и от вечающего ему изображения может быть решен в обход

ранее сформулированному правилу деления о. о. на t п мето дом выделения особенностей.

Предположим, что			существуют	пределы F(0), F^O),... ,
F (n-1)(0).	Тогда, используя соотношения				(3.2.9), (3.2.14),
	1	t			г
имеем	1	Г	dп	1 C	Г
имеем	-1)»»	J (f— х)п	1 dx* f (x) d i	(B_ 1 )\|Z* J {z— u Y - l \F(u)—

П—1

- 2ft=0 * " ’« » • *J] £ ■

Здесь предполагается, что интеграл в правой части не требу ет регуляризации. Отсюда, учитывая равенство

n < * - ' ) - й { / M i * = ( / « 1 - 2 ^ 4 .

получим

								da .
{ ™ } ~ 5= 51^ 1				[ а д -		2		~7in~ "T"
		П		L		К<=0		(4.2.10)
								(4.2.10)
+	( - D		(_ 1 )J>()(0) z k [\\|Дв—ft) _\|_ ln2].
+		ft=0 (ft!)2 (re—ft—1 )!
		ft=0 (ft!)2 (re—ft—1 )!
П р и м е р . J 0(2yxt)-i-e- -Xz
Следовательно,		/«М2Vu) \		. _L	C	e~lu—1	du +	Ins—C
Следовательно,		(—	i—	*	J	---- -	du +	Ins—C
		(—	i—	*
	Xz
= -j- [InXs — J * *			du — C— lnX] =			— [Ei (—Xs) —2C—lnX].
Итак,
{y .( 2/Xf)				ш (_ x 2) - inx -			2 С].	(4.2.11)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ