Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

регуляризован относительно точки z = 0). За регуляризован-
ное значение интеграла принимается вполне определенная
функция а\|:(z) + m из	класса первообразных функций функ
ции F(z). Последнее	связано с тем, что регуляризованный

интеграл,	как и всякий интеграл, должен удовлетворять
	г
условию	[ F(l)dl = F(z).

(0 )

Для выбора константы т привлекаются дополнительные соображения. Как правило, они основаны на принципе аналитического продолжения.

Таким образом, процедура регуляризации сводится к обоснованному указанию способа конкретного выбора пара метра т.

Правило деления о. о. на t обобщается и на регуляризу-

г
Г	JL.	, то
емые интегралы: если существует интеграл \|	F (?) j	, то
(0)
z

(0)

Рассмотрим, к примеру, соотношение 1-^1. Тогда

1 Г й	Inz - C .	. ,	показано, что регуляризо-
— I - у = — — (в главе		4 будет	показано, что регуляризо-
(0 )		z
		z
ванное	значение интеграла j dXjl			равно	lnz—С, где С —
постоянная Эйлера).		(0)
постоянная Эйлера).		деления	о.	о. на	произвольную це
Обобщим операцию		деления	о.	о. на	произвольную це

лую степень tn. С этой целью необходимо обратить внима ние на то, что операция деления на t определялась как опе рация, обратная операции умножения на t. Это позволило

рассматривать равенство	ф= f/t	как		следствие	равенства
£ф = /. Этот подход сохраняется		и	в	общем случае:		о. о.
ф= fltn определяется как	следствие		равенства		tnq>= f,	что
приводит к следующему построению.
Так как
zn	Z			dZ
zn				dZ
F(z) = (Л—1)1	(0)
	(0)

= z n	dn	(JT=1)!» J( — 6)"-1i?(5)\|r. ,
= z n	d z n	(JT=1)!» J( — 6)"-1i?(5)\|r. ,
		(0)

то обозначая через ф о. о., отвечающий изображению, пред ставленному в квадратной скобке последнего равенства, будем иметь f = t nф или

{ ^ }	J	<2 -	5)n- ^ )	Р	(в = 1 , 2 , . . . ).		(3.2.5)
	(0)
п. 2. В-интеграл			о. о. В	силу правила		интегрирования
		t
оригинала имеем j"			{f(x)}dx-hzF(z). Отсюда			в силу	правила
деления на f:		0
деления на f:
			t		z
		b			о
Применяя	далее правило интегрирования					оригиналов, по
лучаем :
		t	1		z
					F № .		(3.2.6)
		о	b		(0)
Приведем пример, так как 6(f)-7--j- . то
			+	=	1 п г- -С + Inf,
	0	0	(0)
t	Т
т. е. J -Т	[	= Inf,

оо

что согласуется с ранее приведенным примером § 1 п. 3.

F (z)-.F (0 )

п. 3. Производные о. о. Предположим, что существует

предел1lim F(z)=F( + 0). Z-* +0

Так как ± t ± f + F ' V ) , то f

{m)dx^zF'(z).

Отсюда по правилу деления на t имеем t

1 с d d г

T J Ж ~Ж Ш*)}<**+

Результат всех этих операций в пространстве обобщенных оригиналов отождествим с операцией взятия производной от о. о. /, что приводит к следующим определениям.

Если существует предел limF(z) = F(0), то о. о., отвечаю-

z-*-0
щий изображению	будем называть	производ
ной о. о. / и записывать в виде
{fit)} = { f ' m	- ^ gL-g(Q>- .	(3.2.7)

Кроме этого понятия введем еще понятие обобщенного дифференцирования. О. о., отвечающий изображению — F(z)

будем называть обобщенной производной о. о. / и обозна чать символом

Dt{f(t)} = D{f{t)} •*-4 - F(z).

(3.2.8)

Произвольный о. о. бесконечно дифференцируем в обоб щенном смысле. В соответствии с определением обобщенно го дифференцирования операцию интегрирования о. о. мож но интерпретировать как операцию обобщенного дифферен цирования отрицательного порядка.

Отметим на примерах различие и связь между обобщен ными дифференцированием и производной о. о.

П р и м е р 1. Введем функцию r)(i)i равную 1 для всех

t > 0. Очевидно, T](f)-bl.	Следовательно,-^-ц^-т-	=0,
т. е.-^-г](0 = 0, но	т- е- DTl() = 6(f)

1 В дальнейшем для упрощения записи будем опускать знак+ перед символом 0, который следует подразумевать во всех случаях, когда речь идет о стремлении к нулю и о соответствующем предельном значе нии функции или о. о.

Пр и м е р 2. С одной стороны, t

F ( z ) - F ( 0 )

T .	е.	= {/(?)}— {/(0)}.
	0
		d	С	1
С другой стороны, ~сП			{f(x)}dx~F(z)— — limzF(z),
	t	0
	t
	d Г	{/(т)}<2т= {/(*)}—S(£)limz.F(z),		или в частном случае,
т. e'~dt		{/(т)}<2т= {/(*)}—S(£)limz.F(z),		или в частном случае,
	J		2->О
			V
когда limzF(z) = 0, то "л J {/(T)}dt = {/(*)}•
	z~*0
Тогда как для обобщенного дифференцирования
t		t
j	D{f(x)}dx = D jj {f(x)}dx={f(t)j.
0		0

Таким образом, взаимодействие операции обобщенного дифференцирования и операции интегрирования напомина ет взаимодействие между дифференцированием и неопреде

ленным интегрированием в классическом толковании.
П р и м е р		3. Сравним обобщенную и обычную производ
ную многочленов Лагерра.
Имеем L k{t)^-{z—1)*.
Отсюда	D L k{t)+- (z — 1)* =			2	(— 1)"(2 — l)n+fe,	т. е.
	00			71=0
	00
D L k(t)=	2	(-1 )" Ln+k(t).
	71=0
Здесь ряд справа о-сходится.
Кроме того, так как			_d_	^	г- 1)к-2(- 1)к =
Кроме того, так как			dt - ы	^	г- 1)к-2(- 1)к =
= 2 (-1 )П+Л_1( 2 - 1 ) П,			то 4 t		Lk ( 0 = 2(—1)"+*-1 L n (0.
п= 0					п=о

Пользуясь определением обобщенного дифференцирова ния в предположении, что существуют пределы F(0), F'(0),.. . , F (n-1) (0), методом индукции получим

% f = f {n)+ ф- [ а д - т - i t а д ) - . . .

- (3.2.9)

Одновременно, следуя определению обобщенного значе ния о. о. в точке f-»-+0, а также согласно определению про изводной о. о., заключаем, что значения производных о. о. в точке t—»- + 0 определяются соотношением

{/(*)(0)} = ^ - 5 A{ ^ )} \|f=+o	= 4 г ^ ( ° ) .	<3.2.10)
Из выражения (9) следует, что
Dnf = Г + 3<"-i>(0Ш0)} + . . . +	§(t)tf("-1) (0)}.	(3.2.11)

Эта формула устанавливает связь между обобщенным диф ференцированием и производными о. о. в тех случаях, когда последние существуют. Здесь является к-й обобщен ной производной от о. о. 6(t).

П р и м е р	4. Имеет место аналог формулы интегрирова
ния по частям (в частном случае):
t	t
о	о

Действительно,

Но так как

	d,n-1
	+ П2п~	^	z71* 1 F(z)
и
Zn ~ = l ZnF'(z) =			2 »+*- g ; 2 ^ -1 F{z),
то отсюда следует равенство (1 2 ).
П р и м е р 5.	Выясним	смысл выражения t n^ m)(t) (п,
т — натуральные числа). Так как
zn f L z n_±_		О	(—1)п т\	пУт
zn f L z n_±_			(—1)п т\	пКт,
d z n	,m + l			пКт,
		(т —п)! г т +1~ п ’
то
	(О			, пУт	(3.2.13)
		(т—п)\		, и < т _	(3.2.13)
		(т—п)\
Ввиду (13) нетрудно убедиться, что £6'(£) + 6(t) = 0.					Это ра

венство выражает собой известное свойство однородности порядка — 18-функции.

П р и м е р

6. Пусть

<p = eXff<е

Хт {f(x)}dx,

тогда справед-

л и б о D n+1у = Xn+1f - | - Xnf

-) -

Хп~ 1 D f

+ . . .

D nf .

Действительно, так как <p-f-

г-А- F(z), то

Dn+1 о -ь

—

и доказываемое равенство

1 —Аг

•”

zn( l —Xz)

’

является следствием тождества

. = X " + i

4 - Хп 4 - —

4 - . . . + ~

г л( 1 —Аг)

1 г-Пп—1 1' г г,

1 —Аг '

п. 5. Соотношения инвариантности.

Справедливы сле

дующие соотношения:

tmDmf + zm- ^ F ( z ) ,

(3.2.14)

2 ) Dm^ / - b ^ f 2 mF(2)j,

(3.2.15)

dtm

3) (W)mf +

z-£-)m F(z),

(3.2.16)

(Dt)mf + ( £ - z ) mF(z).

(3.2.17)

5 - 5	65

Доказательства.
1.	Так как	Dmf фт F{z), то
		АТП		Аад	= zn	d z m	F(z).
		d zm		Аад		d z m
	tmDmf + zm5-m zm
2.	Так как	tm f + zm	Н 1 Г 1	zmF(z),
2.	Так как	tm f + zm		zmF(z),	t o
	Dmtmf + ± ( z m- ^ z m^ F{z) =					zmF(z).
3. Так как tD{f(t)}-^-z j^F(z), то,					применяя			последова
тельно это правило, получим (16).
4.	Так как	Dt{f(t)}+-	dzF(z), то,		применяя			последова

тельно это правило, получим (17).

Соотношения инвариантности доказаны для неотрица тельных тп. Однако если операцию интегрирования рас сматривать как операцию обобщенного дифференцирования отрицательного порядка, то можно показать, что эти соот ношения остаются справедливыми и для отрицательных тп. Так, для тп —— п (п = 1, 2,...) соответственно получим

!• (^=TjTTn I (*_Т)П_1	(5T=ij77» f {z-uY-iF{u)du.
о		(b)
t	(z—и)п—1	F (u )
2.	(z—и)п—1	F (u )	du.	(3.2.18)
2.	(п -1 )!		du.	(3.2.18)
J ( в - 1 )!	(п -1 )!

{/(*)}

F(u).

Здесь предполагается, что интеграл Jz F(u)du существует

(0 )

или понимается в регуляризованном смысле. Первые два соотношения являются следствиями правила деления о. о. на ?. Вторые два соотношения — следствие следующих двух соотношений:

7 - [ {/(*)} ^ ^ - 7 ^F(u)du,

0 ( 0 )

jW>}^

(0 )

В соотношениях инвариантности указан оператор D обобщенного дифференцирования. Выясним, в каких случа ях можно снять это ограничение.

Пусть о. о. / является обычной функцией, причем сущест вуют конечные пределы F(0), F'(0),..., (0), тогда, домножая равенство (11) на tn и учитывая равенство (13), за ключаем, что в рассматриваемом случае

Ат

tmDmf

Аналогичное положение наблюдается и во втором случае. Действительно, обозначим функцию tm f(t) через ср(£), тогда ввиду (1 .8) находим, что функция <р(?) вместе со своими

производными до (т—1 ) — порядка			включительно имеет
обобщенные	значения в точке	£ = + 0,	равные 0 (здесь на
кладывается	дополнительное	условие	lirnzm+1 .F(m) (z) = 0).
			z-*0

В этом случае

п. 6. Теорема сдвига. В пространстве классических ори гиналов справедлива теорема сдвига: для любого т> 0

f(t—z)-q(t—т) н- F(z)e~z<,

где т)(£) — единичная функция Хевисайда.

Поскольку умножение аналитической функции F{z) на аналитическую функцию е~г г является регулярной опера-

67;

цией, то операция сдвига обобщается на пространство о. о. Соответствующий о. о. будем обозначать в форме о. о., сдви нутого на т по аргументу (тем самым задается некая адди тивная операция относительно символического аргумента о. о.):

{f{t - x )} + F{z)e~^.

(3.2.19)

Будем говорить, что о. о. / удовлетворяет А-ограничению, если его изображение F(z) удовлетворяет условию для

V т > 0 И т е~г;гF(г) = 0 . z-*-+ 0

Покажем, что для произвольного о. о. /, удовлетворяю щего A-ограничению, справедливо свойство

{/(f)} = 0	для t	< 0.	(3.2.20)
Действительно, при любом т > 0		справедливо	(19). Вы
числим обобщенное значение о. о. {/(f—т)} в точке f = + 0 .
Учитывая, что f удовлетворяет A-ограничению,			получаем
для у т > 0
{Д -^)}= Ц т {f(t -	*)} = И т е~т г F(z) = 0.
	г-*-0+

Если в классическом операционном исчислении свойство (20 ) обеспечивается специальной оговоркой, что все функ ции-оригиналы домножены на единственную функцию Хе висайда, то в пространстве о. о. оно обеспечивается выполне нием требований А-ограничения.

A-ограничению удовлетворяют, например, изображения F(z), имеющие в окрестности нуля полюс произвольного по рядка, в частности, и любые изображения классического пространства изображений.

Приведем несколько примеров.

П р и м е р 1. Ранее рассматривалось операционное соот ношение {l(f)}4-l и было показано, что {1(t)}= 1. Поскольку

изображение о.	о.	{1(f)} удовлетворяет A-ограничению, то
{l(t)} = 0 для f < 0 .		Следовательно, единственным представи
телем о. о. {1(f)} является функция Хевисайда
		(1 , t > 0,
	W 0 I - ч ( 0 - {„_ ( < 0
В частности, теорема сдвига дает vj(f—т)-г-е—'/z(t> 0).
П р и м е р 2.	Ранее рассматривалось операционное соот
ношение 6(f)-:—	причем символом 6(f) был обозначен о. о.,

аа

отвечающий изображению 1/z. Покажем, что б(£). обладаем всеми свойствами функции Дирака.

Действительно, так как изображение 1/z удовлетворяет

A-ограничению, то		6(?) = 0 для	0.	Кроме того, td(t)-i-
	0, т. е. ?б(?)= 0 . Отсюда естественно считать, что
6(0 = 0 для t > 0.
Далее,	имеем	6(t—т)-2- —-	е~т/г	и, следовательно,
t
Je( \| —	Но	е~х/г -f-fj(t—т), поэтому
0		t
		t

J* 6(g—T)dg= 7](J—т).

Замечание. Аналогичным приемом легко убедиться, что

&(")(0 = 0 для 0 и что j*8(п>(|—T)d| = 6(n—х) —т).

Приведенные примеры указывают на существенность в рамках рассматриваемой теории понятия А-ограничения.

п. 7. Теорема подобия. О. о., отвечающий изображению F{Xz), где X — произвольное число (вообще говоря, комп лексное), будем обозначать символом

{/•(U)} + F{lz).

(3.2.21)

При таком определении о. о. от аргумента Xt сохраняют ся многие правила анализа, обусловленные заданным кон кретным видом аргумента.

Приведем примеры.

1. В{/(М)}-т- ~F(Xz) = XF'(Xz). Но, согласно правилу подо

бия, Р ' ( Х г ) + ^ И {f{Xt)}.

Следовательно,

- к xt 4 » 1«Х!» = т -Ж ' 7 , <«»)),

<3-2.22)

что согласуется с обычными правилами В-дифференцирова- ния.

2. Имеем Dt {f{Xt)}+ F (Xz) = X ± F(Xz)

и ввиду (21) -j j F(\z)-*- Da{f(u)}

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ