Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

(где е > 0 сколь угодно малое число). Оригинал, отве чающий этому изображению, является целой функцией по

t и аналитичен по X при \| X\| >	е.
Рассматриваемое изображение при Х = 0 перестает быть
аналитичным в окрестности	точки 2 = 0. Однако при Я-И)
последовательность функций	—	сходится равномерно к

1/2 в любой области вида \z\ > р . Последнее следует из оцен

ки | г-1 _ (г_ Я)-11 = -у-'(2ХЛ ) , < р || —р | •

Если обозначать о. о., отвечающий изображению г-1, через

b(t), то вышеизложенное означает,

что оригиналы -i- etix при

Я-Ю (по произвольному пути) о-сходятся к Sit).

П р и м е р

Изображение 2 х е~г является целой функ

цией по параметру X.

При R e^> —1 {f(X, t} = t ^ J x

(2У*).

При R e ^ < —1 и Х Ф —1, —2, ... имеем

t i l l

СО

(—l)*{tX+*}

21е~г

-г-

jmi

•

к\

й !Г ( А + * + 1 )

k=о

А=0

Пусть теперь — n<<ReX,<<—1, Х ф —2, —3,..

- { п — 1),

Л — 1 (_!)*{гх+*}

(-1 ) ¥ +*

тогда 2 хе~гч- ^

ft/r(X+*+l)

k\ Г ( Л + А + 1 ) ’

к=0

к—п

И, наконец, если Х=—п, то

е ■ 2

П—1

+ 2

)«zk~ n

(—1)*в(ге_*—1)(tj

( - D *

( - 1

-2

z П

И г п~ к

*=о

+ ( - l) " t * J n ® V t ) .

Здесь о. о., отвечающий

изображению z~m,

обозначен

символом б <т~1) (f).

соответствующий

изображению

Таким образом, о. о.,

zxe~z,

является

обычной функцией

по t только

лишь при

ReA >—1.

Ю. Н. Работнов в работе [85]

ввел функ

П р и м е р

цию

Эа(Х, f) =

t~a

lntn{l-ct)

(0< а< 1),

(2.3.2)

п=о Г [ ( л +

1 )(1 —я)] ’

которая при а = 0 обращается к экспоненту elt. Эта функция играет важную роль при изучении упругой среды с после действием.

“	1	(°,<1)-
Очевидно, Эа (X, )--	\ nzn(x~a)~a= ^,а- 1 ц	(°,<1)-

Заметим, что функция Эа (Л, t) выражается через производ-
	00	хп
ную функции Миттаг — Лефлера Е^(х) =	^
		m n + l) - по-
средством равенства Эа (Я, i) = ( l—a)t~a	п—О		Однако
	Эа(А, t)
важные для практики свойства функции			на языке
функции Миттаг — Лефлера выражаются в		виде	громозд
ких формул. Вместе с тем функция (2)	как	специальная

функция представляет теоретический и практический инте рес независимо от функции Миттаг — Лефлера. По этой причине в последующем функцию Э«(Я, t) будем именовать функцией Работнова.

Очевидно, функция Работнова аналитична по парамет ру а при R e a < l. Представляет интерес осуществить анали тическое продолжение этой функции по параметру а в об ласть R e a ^ l.

Рассмотрим случай а > 1 . Имеем

I3.(t,		<2-8-8>
Так как 1—а < 0 при а > 1 , то		Эг-<х (~Т~’ fj.
Следовательно, для а > 1	ввиду (3) имеем
Оа (X, *)} = -	X -	-ЕГ Э2- “ (-Г ' )
Итак, о. о. {Эа(X, t)},	отвечающий изображению (3), при
любом а, представим в следующем виде:
Эа(Х, t)		при а< 1,
{Э»(Х, г)}= И 8«>		при а=1,
{Э»(Х, г)}= И 8«>

при а>1.

В заключение отметим некоторые характерные особен ности о-сходимости. Нетрудно видеть, что о-сходящимися последовательностями оригиналов могут быть последова тельности просто сходящиеся, сходящиеся равномерно, схо дящиеся в среднем, расходящиеся (в обычном понимании).

Это указывает на широту охвата различных последователь ностей о-сходимостью. Однако здесь, как и в теории сумми рования расходящихся рядов, наблюдается потеря остроты метода с увеличением его мощности [107]. Действительно, можно привести пример последовательности функций-ори гиналов, равномерно сходящейся на [0, оо) и вместе с тем не удовлетворяющей критерию о-сходимости.

П р и м е р 5. Так как

t2 = Z ( - t ?)nlnl,

t2n (2ге)! z2";

то

В левой части этого соотношения имеет место равномерная сходимость на [0 , оо), тогда как в правой части ряд всюду расходится. Таким образом, из отсутствия о-сходимости некоторой последовательности еще не следует, что данная последовательность вообще не сходится.

§ 4. Обобщенное значение о. о. в точках г= + 0 и f = + oc

Вопрос об определении значения о. о. в произвольной точке связан с вопросом о реализации о. о. в терминах обыч ных функций и, как это имеет место в теории обобщенных функций, невозможно в общем случае ввести понятие зна чения произвольного о. о. в произвольной точке t. Однако, опираясь на так называемые теоремы тауберова типа, кото рые при определенных ограничениях, накладываемых на оригиналы, увязывают значения изображений на концах промежутка [0 , оо) со значениями оригиналов на концах промежутка [0 , оо), целесообразно ввести следующее опре

деление.

Назовем обобщенным значением о. о. f в точках f = + 0

и г= + оо соответственно величины пределов limF(z), limF(z)

г-*-+0 2-> 4* х

(если они существуют).

Корректность этого определения следует из теорем тау берова типа при тех ограничениях, когда эти теоремы спра ведливы [25,225].

Например, так как

то

lim cos t = lim тт~г, =			1,
t-j-fO	z-^ + Q 1 ^ 2 *
lim e~* =	lim el =	lim	— 1,
f-*-+ 0	f-* + 0	z-<-^01 — 2
lim e~x = lim		r r - = +0.
со	г-* + x ^ ‘ 2

Однако в тех случаях, когда теоремы тауберова типа «не работают», приведенное определение может приписать однозначно оригиналу f{t) некоторые вполне определенные значения в точках £ = + 0 и f =+oo, тогда как на самом де ле никакого определенного значения функция f(t) может не иметь в этих точках.

Например, [107] lim sint = \imrr^—r, =0, limcosf = lim гг~:,=
z->+ccJ,"i-2"	t-+*+ oo		+ ооА_*"г
= 0, lime' =lim - Д - = —0.
f->-+ CO 2--+ 00 ^		оригинала е 1 в
Таким образом, обобщенное значение
точке t = + оо равно — 0.			что приве
Замечание. Последний пример показывает,
денное определение не чувствительно	к	росту экспоненты,

в то время как на рост степенной функции оно реагирует вполне естественным образом.

Г л а в а 3

ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ОРИГИНАЛАМИ

Ранее было показано использование простейших (оче видных) действий над о. о., таких, как сложение о. о., умно жение о. о. на числа. В настоящей главе предстоит распро странить на пространство о. о. более широкий класс дейст вий. Общая схема такого распространения довольно проста.

Всякая процедура над аналитическими функциями (изображениями), приводящая к аналитической функции, порождает (индуцирует) соответствующую процедуру над обобщенными оригиналами, отвечающими упомянутым

изображениям, которая приводит к соответствующему о. о.

Иными	словами,	операция TF{z) = <b(z) (F(z), Ф(г)
6 W(z)/(w))	порождает	в	пространстве о. о. операцию Т*,
такую, что T{/(£)}= {cp()},			где {f(t)} -=-F(z) и {ф(£)}-^Ф(г).

В тех случаях, когда оператор Т* на классическом про странстве функций оригиналов или, скажем, на простран-

___

стве P0[i] имеет смысл вполне определенного оператора Т,

то оператор Т* можно рассматривать как расширение (обоб-

щение) оператора Т на пространство о. о.

Расширение оператора при определенных ограничениях

является единственным: если оператор Т, не всюду опреде ленный на Л(*)/(Л), осуществляет отображение A{f)/(A)->-

-*-A(t)/(A) и индуцирует на W(z)/(w) оператор T:W{z)/(w)—>-

-+W(z)/(w), область определения которого совпадает с про-

странством W(z)/(w), то расширение Т* оператора Т единст венно.

Так, расширение регулярного оператора Т единственно.

Оператор Т называется регулярным, если:

а) T@W(t)+T(z— а)п;
00 б) Т — линейный	оператор и	любой		степенной	ряд
2 cA(z—Р)* оператор Т преобразует			в	равномерно	сходя-
А=0	оо

щийся в некоторой области G ряд 2		ckT (z — р)*.
Цель настоящей	А = 0		свойства операторов
	главы — изучить

над пространством о. о., порождаемых (определяемых) соот ветствующими операторами, действующими в пространстве изображений.

§ 1. Регулярные операции

п. 1. Интегрирование о. о. Поскольку z n | L n (x/zo)dx-r-

4-z(z—z0) n и умножение степенного ряда на z не изменяет его радиус сходимости, то операция интегрирования явля ется регулярной операцией. Следовательно, операция инте грирования определена для произвольного о. о. и задается операционным соотношением:

			I
			§ { m d x + zF{z).		(3.1.1)
Отсюда следует,		что	t
		t	t
	j	. •	. j{/4x)} {^т}" "■2nF(z).		(3.1.2)
	o		o	t	t
				t	t
Кроме того, поскольку zn(z — z0)k+ z0kj . . . j Lk(z/z0)dzn =
	t			o	o
Z k	t
Z k	r*			и умножение степенного
=	\ (t — ■z)n- lLk('z/z0)dz			и умножение степенного

ряда на z" не изменяет его радиус сходимости, то операция t

(Д_ i)fj (t—т)п_1 (-)dt определена для произвольного о. о. и

задается операционным соотношением

t
_ l _ t f {t _ ,)n- l { m d x + 2 np(z)	(3.1.3)
0

Это операционное соотношение является частным случа ем более общего правила (правила свертки).

Сравнивая (2) и (3), заключаем, что в пространстве о. о. справедлива формула Коши

t	t	t
j	. . . J {/(t)}dxn =	J* (t - t)«-i {r(^)}dt.	(3.1.4)
0	0	0

n. 2. Свертка о. о. Пусть точка Zo принадлежит общей части области аналитичности изображений F(z) и G(z). Тог

да если

F(z) = V a„(z — 2о)в,			\ z — zc \ < p(F),
71=0
ОД= 2 K	( z - z 0)n,		I z -	г0 \| < p(G),
л=0
то
F(z)G(z) =	1	771=0	—m^n	(z — z0)n,
	71=0	771=0

который сходится абсолютно и равномерно в круге |z —Z q \ ^

^ r< m in [p (F ),			p(G)]. Следовательно,	ряд Лагерра
00	/	71
2	I	^ ап—тЬт I ZQn L n (t/zQ) является обобщенным и пред
71“ 0 \ 771=0			некоторый о. о., который в силу свойства
ставляет собой			некоторый о. о., который в силу свойства
многочленов Лагерра
		t
		zo го dt	( гв j ■^'n('t/zo) ==	Lk+n №1го)>
		o
естественно определить как свертку двух о. о. и писать
			t
		JT j {/(■ - ■)} {^(T)}dx-		F(z)G(z).	(3.1.5)
			о

При таком определении свертки сохраняется ее основное свойство, выражаемое известной теоремой Титчмарша [212]. Как следствие, отметим равенство

<х f п \

	{/(t — *)} {я(т:)}йт = 2 ( 2 ап~т	1	»
Л	л = 0 \тгс= 0	1
где f = 2	anLn(f), g = 2 bnLn (t),
n=0	ra=0

которое на практике может быть использовано для вычис ления сверток.

п. 3. В-производная о. о. В работе [40] В. А. Диткин ввел оператор £ t-— , тесно связанный с уравнением Бесселя и

поэтому названный им В-оператором или оператором Бес селя.

Поскольку
-J7 * ~ z 0kL k(t/z0) + -£г ( г - z0) \	(2.1.6)

то

В Г + & Р Ю .

Замечание. Из изложенного следует, что в пространстве о. о. справедливо В (f*g) = g*Bf + f*Bg.

П р и м е р . Найти В-производную функции Inf.

Имеем Inf-Hnz—С, Blnf-f- ~ ( l n z —С ) = - £

Следовательно, Blnf = 6(f),

где 6(f) о. о., отвечающий изображению-^- . Свойства о. о.

6(f) будут изучены ниже (будет показано, что 6(f) представ ляет собой 6-функцию Дирака).

Следствие. Любой о. о. бесконечно В-дифференцируем. п. 4. Операция умножения о. о. на t. Поскольку

tz0kL k ( f /* o ) z £ z (z — Z o ) \ TO

t f + z-%-zF(z),

(3.1.7)

и в общем случае

fV *- (* £ * )" а д = 2 " £ „ znF(z).

(3.1.8)

	п. 5. Теорема затухания. Нетрудно видеть, что
gXt	-1-—1— /—2—
e	I	l - X z [ l - l z		•
Отсюда		.			1	f	z	\ k
Отсюда		elt 20* L k(t/z0)-±-					—z0) .
		CO					00
Пусть /		= 2	akz0kL k(t/z0) -			^	ak(z — z0)k = F (z).
						k=0
			1	(	2		_\*
Так как ряд f~ z 2 i ak \l - ^ z							°)
сходится к			iZTz F (i^Xz)			равномерно в области, опреде
ленной неравенством \|					— 20\| < р ,			где р — радиус сходи

мости исходного степенного ряда, то операция умножения о. о. / на функцию elt определена и задана операционным соотношением

§ 2. Операции над о. о.

и. 1. Операция деления на t. Операцию деления о. о. на t естественно определить как операцию, обратную операции умножения о. о. на ?.

Пусть требуется построить такой обобщенный оригинал Ф, чтобы t(p-^-F(z). Иными словами, необходимо найти такую функцию Ф(г), чтобы

в -j-z 2ф(2) = F(z).

(3.2.1)

Обобщенный оригинал, отвечающий найденной аналитиче ской функции Ф(г), будет искомым; для него естественно ввести обозначение ф= fit.

Равенство

z
2Ф(2) = J F (S) f + «Ф(а),	(3.2.2)

где а — произвольное комплексное число, а контур интегрирования не содержит особых точек функции F{z)/z, равно сильно равенству (1).

Покажем, что требование аФ(а)->-0 при а->0 эквивалент но требованию

Ф(2) = ~ j ^ ) f

(3.2.3)

в предположении, что содержащийся здесь интеграл схо дится.

Действительно, пусть аФ(а) при а->-0. Так как левая

часть равенства (2) не зависит от а, то соответственно име-

ем 2Ф (з)= |

Итак, рассматриваемый интеграл существует и

Z
ф ( 2 ) = 4 \|	- f - .

Наоборот, пусть справедлива формула (3), тогда

2 ® ( 2 ) = J i? ( ? ) ^ - ^ 0 , 2 ^ 0 .

Ясно, что в рассматриваемом случае функция Ф(г), пред ставленная формулой (3), является аналитической и, следо вательно, ей отвечает некоторый о. о.

Таким образом, справедливо следующее правило деле

ния о. о. на t. Если существует интеграл

то

r - f K H	f .	(3.2.4,
о
Представляет интерес вопрос:	как	быть в тех случаях,

когда интеграл типа (3) не существует. В этом случае даль нейшее продвижение можно получить за счет регуляриза ции этого интеграла.

Регуляризованный интеграл записывается в виде

J F(g)dg (скобки в нижнем пределе указывают, что интеграл

(0 )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ