книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

Поэтому

(1.3.7)

8=0

где Qg([a]) вычисляется следующим образом: если

ns

QS(W)= ^ Cf wk

k= 0

И

[a/]fe:v—(ao* ^i* a2> • • • )»

то

ns

Q s(\*])= Y c'k4,

k=0

причем многочлены Q„(w) генерируются производящей функцией

F(w,z) = 2<№)z5>

k=0

где F(w, z) определяется соотношением

СО

2и>*Р*(г) = F{u>, z).

*=o

В качестве примера найдем производящую функцию F(w, z), когда финитная матрица конечного оператора пред­ ставляет обобщенный треугольник Паскаля, т. е. имеет вид

где элементы первого столбца и главной диагонали опреде­ ляются из разложения

20

СО

A 0(z)= 2 a*oZ*, *=0

00

Ax(2)= 2 * 2*>

i = 0

а остальные элементы заданы рекуррентным соотношением

оп>*=«„_!, j.-x+cv-i, k , га>2, 1<й<ге—1.

Ясно, что Fo(z)=A0(z). Определим Fi(z).

со

Имеем F! (z) = zFx(z)= a 1д z-j- 2 «л, 1 z".

л=2

Далее воспользуемся рекуррентной зависимостью коэффи­ циентов рассматриваемой финитной матрицы, тогда полу­

чим zFi(z) = (ац—a00)z+ z A 0(z) + z2F,(z).

F(w, z) =

Рассмотрим теперь два важных типа операторных соот­ ношений.

Первое из них возникает в связи со следующей задачей. Пусть заданы: операционное соотношение <D(z)-r-q>(f) и по­

следовательность ф. с. р. F k(z) — h(z)gk(z) (A,(z)6P[z]), поряд­

21

ки которых образуют ограниченную возрастающую после­

довательность.

Требуется выяснить структуру линейного оператора G, удовлетворяющего условию A,(z)(D(g(z))-^(r<p(t).

Как видно, порядки ф. с. р. F k(z) = 'k(z)gk(z) образуют ограниченно возрастающую последовательность тогда и только тогда, когда 1^0(g'(z))< оо. Поэтому можно полагать,

что g(z) = z mg0(z), где

элементов ее столбцов, которые определяются порядком фор­ мирования коэффициентов ф. с. р., полученного возведени­ ем в fe-ю степень ф. с. р. ga(z).

Пусть w(z) = go A(z).

Требуется вычислить коэффициенты (w0, wi, w2,...) ф. с. р. w(z). Для этого воспользуемся рекуррентным приемом, кото­ рый состоит в переходе от рассматриваемого равенства к его логарифмической производной

+U2Z2+ .. .){w0+ wxz + w2z2+ .. .) = Wi + 2 w2z+ S w3z2+ ...

Отсюда для вычисления искомых коэффициентов полу­

чаем рекуррентное соотношение

t

s « О

с начальным условием Wo= gk(0).

22

zmkg0k (z), где

Рассмотрим теперь второй прием. С этой целью заметим, что в силу (8) оператор G задается ^-последовательностью

F k(z)=\(z)zk” g0k(z) (*=0, 1, 2,. . .).

Тогда в силу (7)

G[?(£)]fe7v-*- 2 <3ЛИ ) 2s

8—0

где полиномы Qs(w) порождаются производящей функцией

/гч

l —wzmg (2) >поскольку в соответствии с (5)

Итак, справедливо правило: если ф(£)-^Ф(;г), то для V Цг), g(z) 6 P[z] при условии 0 (g(z))^l справедливо

(1.3.10)

где многочлены Qt (и>) порождаются производящей функци­ ей

Замечание. Сравним приведенные два вывода. Достоин­ ство первого состоит в том, что он позволяет непосредствен­ но усмотреть структуру матрицы G. Недостатком его явля­ ется то, что в силу соотношения (9) в общем случае не ясно, как распространить соответствующие выкладки на поле простой характеристики. Второй же вывод не позволяет сде­ лать каких-либо заключений о структуре матрицы G, одна­ ко преимущество его заключается в том, что он остается справедливым для поля Р произвольной характеристики.

Рассмотрим несколько примеров.

23

E(f — оператор смещения.

С этой целью продифференцируем по и> соотношение (11), тогда будем иметь

Сопоставляя (15) с (14) и учитывая (13), заключаем о спра­

24

которое является обобщением на случай взвешенных раз­ ностей известного преобразования Эйлера слабосходящихся рядов [113].

Отметим также, что если переписать последнее равен­ ство в терминах переменной z (вместо w), тогда оно пред­

заключаем, что соотношению (18) в пространстве оригина­ лов отвечает соотношение

которое является обобщением разложения функции <p(f) в ряд Ньютона в случае, когда используются взвешенные раз­ ности (при а = р= 1 разложение (19) принимает вид обычно­

го ряда Ньютона).

Второй важный тип операционного соотношения возни­ кает в связи с решением следующей задачи. Пусть известны операционные соотношения г|з(?)-Ьг|)(;г), q>(t)-i-0(z). Требует­ ся найти изображение, отвечающее произведению оригина­

лов -ф(£)ф(г).

Если зафиксировать a|?(f)» то произведение о|)(?) • ф(£) может рассматриваться как линейный оператор, финитная матрица которого имеет диагональный вид (по диагонали расположены элементы г|)(0), ^(l). “Ф(2),.. .)•

25.

Для решения поставленной задачи разложим функцию в ряд Ньютона

ОО

Умножим это выражение на i|)(?) и воспользуемся тем,

что

ражение Ф(г), соответствующее оригиналу - 0\t) , удовлетворяет дифференциальному уравнению эйлерова типа

у A*fe(0) k d^_ Ф(з)=А(2).

кЫ dzk

Выше был дан анализ структуры линейных операторов в классе функций целозначного аргумента со значениями из поля Р.

Что касается структуры дробно-линейных операторов, то из определения следует, что такой оператор может быть изображен в виде упорядоченной пары двух линейных опе­ раторов < А , В > , из которых оператор А составлен на основе линейных форм числителя каждой компоненты дроб­ но-линейного оператора, а оператор В составлен соответст­ венно на основе линейных форм знаменателей. Дробно-ли­ нейный оператор будем обозначать символом А/В.

Действие такого оператора на функцию ср(t) определяет­

Как это следует из соотношения (20), представление дробно­ линейных операторов в пространстве изображений посред­ ством изображений числителя и знаменателя в общем слу­ чае встречает большие технические трудности, связанные с поиском решений дифференциальных уравнений эйлерова типа.

.26

§ 4. Эйлеровский принцип суммирования расходящихся рядов в свете операционного анализа

Принцип финитности удобен главным образом в случае, когда поле Р является конечным, так как он позволяет пол­ ностью исключить из рассмотрения вопросы сходимости.

Однако, когда Р является полем характеристики О, в частности полем комплексных чисел, принцип финитности становится ограничительным, поскольку в этом случае встречаются преобразования, приводящие к бесконечному числу арифметических операций. Простейшие примеры та­ кого рода процедур представляют бесконечные числовые ряды. Этот случай, как известно, имеет наибольший прак­ тический интерес.

Если исходить из понятия суммы бесконечного ряда как величины, получаемой в результате накапливания частич­ ных сумм слагаемых, то приходится сталкиваться с пре­ дельными процессами, т. е. вопросами сходимости.

Однако вопросы сходимости можно в известном смысле обойти, если воспользоваться эйлеровским введением поня­ тия суммы. Л. Эйлер писал: «Мы скажем, что сумма неко­ торого бесконечного ряда есть конечное выражение, из раз­ ложения которого возникает этот ряд» [ИЗ].

Эйлеровский принцип, как и принцип финитности, иск­ лючает анализ вопросов сходимости и вместе с тем позво­ ляет включить в сферу преобразований некоторые бесконеч­ ные процедуры.

В связи с этим представляет интерес использовать в опе­ рационном анализе принцип Эйлера, подобно тому, как был использован принцип финитности.

Приведем более строгую формулировку принципа Эй­ лера.

Пусть Р поле комплексных чисел.

А = 0

ловия:

а) степенной ряд

(1.4.1)

*=о

имеет отличный от нуля радиус сходимости;

27

б) точки z = 0 и 2 = 1 принадлежат некоторой связнойг области однозначности G функции /(z), порожденной сте­ пенным рядом (1);

в) f(l) = s.

Замечание. Если функция /(z), порождаемая степенным рядом (1), многозначна, то величина /(1) может зависеть от выбора ветви функции /(z). В этом случае следует дополни­ тельно оговаривать, какая ветвь функции /(z) имеется в виду.

Кроме того, точка 2 = 1 может оказаться существенно осо­ бой точкой для функции /(z). В таком случае в зависимости от пути следования z->-1 могут быть получены различные пределы.

Для устранения неопределенности в этом случае будем предполагать, что существует достаточно малая величина е > 0 , такая, что интервал вещественной оси (1—е, 1) содер­ жится в области G.

Соответственно за величину значения /(z) в точке г = 1

будем принимать предел /(1) = lim /(1—е), если таковой су-

Е-»-0

ществует, при этом для простоты будем писать /(1) = = lim /(z).

Z-+1

Из определения следует, что эйлеровский принцип сум­ мирования рядов касается только степенных рядов и суще­ ственно использует принцип аналитического продолжения. При этом корректность определения Э-суммирования следу­ ет из принципа аналитического продолжения. (Для более детального знакомства с принципом суммирования Эйлера сошлемся на известную монографию [107]).

Ясно, что в кольце ф. с. р. совокупность степенных рядок с ненулевым радиусом сходимости образует подкольцо, его будем называть элементарным кольцом степенных рядок

(э. к. с. р.).

Из изложенного следует, что эйлеровское определение суммы бесконечного ряда может иметь смысл только для элементов э. к. с. р.

Рассмотрим теперь, какую интерпретацию в простран­ стве оригиналов получит принцип Эйлера, примененный в

28

Это соглашение по существу задает определение предель­ ного процесса при t-*-oо в пространстве оригиналов.

Действительно,так как

*х

2

fc=0

и

то в силу произвольности выбора А (г) из э. к. с. р. соотно­ шение (2)эквивалентно

э

lim a{t) = lim (1 — z)A(z).

t->oo

2а*2*=^(2)

*= 0

Итак, принцип Эйлера выделяет такое подкольцо ф. с. р., для которых имеет смысл говорить о подстановке элементов поля Р в ф. с. р. При этом допустима подстановка в ф. с. р. тех элементов поля Р, в которых однозначно определено значение функции f(z), порожденной рассматриваемым

29