Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

п—1		С	т\Н-
п—1	(—1)А		m (ft+ l)
+ 2	(—1)А	j ( i - x )	'*
+ 2		j ( i - x )	'*
iwi r [m(AB+1) +»У + 1 j о
или при 2V= 0	будем иметь
tt		v ? (-l)* i	mfk+l)
Г		v ? (-l)* i	n
] Эт (—1, i)d% — 2 i г,Гт(*+1) , ,
0	n	k=0	— +

+тм

эя (1 , ^)dx

(6.3.2)

П—1

( - 1)*

m(k-1-1)

+ 2

) <*—*)■ ■ •"9 .(1 , ,)d ,;

*=o Г

^ +

' 1

б) если n нечетное, то будем иметь

п—1

m(k+1)+mr

Э? ( - 1 , т)* -

J ) гГ-(»+1)

+тг+11 +

й,° г-0

*^—

п—1

(—1 )*

771Tn(ft'-f-l) +ntiV

/»

Эт(-1,х )й х

+ ( - i ) * + i 2

J (*—х) п

до Г^

(^+1-). +mJV+l j 0

или в простейшем случае, когда N = 0,

имеем

m(k+1)

А*

■1)4

г р х »

+ 1 1 +

(6.3.3)

ччй+1

т{Н+1)

+ 2 й = и в с д | ((- ,) *

э » ' - 1-

Воспользуемся представлениями функции Работнова це

лого

индекса,

определенных равенствами

(1.12)—(1.15).

Для функции J

Эт

(1,

т)dx имеют место равенства:

»"

160

а ) т — четное

	п			71 1	7tt(fe+l)
	п			•*—
	Эт(1, x)dx =			^	г[-те(А+1) 1	+
	О п			*=°	Г[— п---- +1J
71—1	1	I	Г	m{kJrl)		Г	ro (ft-fl)
1 ^	1	I	Г	m{kJrl)		Г	mW
; Д + 1 ) —		1Г . ) т B			e - * d z - e r * ) * п е Ч ^ +
[	п	J {	о			о

т —2

71— 1

+ 1 - 2- —2

ft= 0 r = l

						( 6 . 3 . 4 )
	fcos 2л:г	n>	m777(72(A-+ l)		2itr	2nr
				в	m COS	2nr
r [m(*+l) , ,				— XCOS		+
r [m(*+l) , ,		r	~			+
1	------Г--------+ 1	r	~			m
L	n
	+ (f — x)sin		— 1 dt;
			m	J

6) m — нечетное

		гt,					n—1	m ( k + 1 )
		гt,					n—1
		J9 m (+ l,x )d x =					t n		, - 1 +
		J9 m (+ l,x )d x =					2 ■f m(k+1)		, - 1 +
		0	n				A—0 1 I ——---—+ 1
		0	n				I	П
			71—1				m(fe + l)
	+i-2						m(fe + l)
	+i-2				<Щ )		+1] jJ т	n	-f-
			Я г [ 2		<Щ )		+1] jJ т	n	-f-
		m—1							( 6 . 3 . 5 )
	n—1	m—1		fcoa-^-			*
	n—1	2		fcoa-^-			*		2*1
+	» 'i-,-	^	e---m777				n m(*+l)	e	2*1
+	^ г	2	гИ2 * + 1 )			+Г]xJ л		e	TC0Sm cos[ ? +
	*=0	r=l I		n			о		L
			+		(7 — x) sin			dx.
				t
2.	Для функции			j*Эт		(—1, t )<2t		справедливы соотноше-
				0	*.

ния:

1 1 - 5	161

а) п — четное, ш — четное

7 7 l ( f t + 1)

	л—1
	v
	— jLi
	k=0
п—1	>7 7 l ( f c + l )
+12f t r \|E ^ ± ll+ lj	X "
( - D *
т

( - 1 )*/	П
r j-m(*+l)	+1-Г
	t
	c 7	7 l ( i + l )	Tdx
e—Td x — e~* b :		n	<	+

п—1	т—2		2чг	f	m\K( k-+fl)
	2	/ i\Jk*	t c o s ----	1		____ 2тсг
			го	л				+
+ 1 2Ы	2	( — Х ) в		(	— и	— тсо s —	cos [ -
		Т.Г7»(*+1)		.)	"		L ш	1
				У

:=0 Г - 1 Х [ -----п + 1 J 0

	+	(* — *) sin \|^ J						dx;
б) га — четное, /га — нечетное										( 6 . 3 . 6 )
*						7 . - 1		771(4+1)
*						7 . - 1	(— 1 ) .		"
Г						чп	(— 1 ) .		"
J Эт( - 1 , l)dt =						2 )	ГГ»(*+!) + i \| +
О	в					*~°	[	Я	J
1_у ( - 1)V _							f T- n r - e-xrft+
+ -	£ r [ 2L(Mi)+ ij J
										( 6 . 3 . 7 )
	771— 1	^	2иГ			t
	.1	fC O S 1—				t			m	Г?яг I
2 w ?	4 i ( - ! ) * «			”					m	Г?яг I
2 w ?	4 i ( - ! ) * «			”		f 2 » £ *± i? - t c o s —
+	r[E i*±ll				' - 1 ’ T “			e	m со8[ЯГ +
k= 0	r—x L	n		-+ 1
k= 0	r—x L	n
	+	(f — x)sin 2Щ dt;
в) ra нечетное, /га — четное
						Д—1			п»(*+1)
	( - 1 ,т) dx					Д—1	(-■l)*t		в
	( - 1 ,т) dx					2r \|"m(A+l)_+1"j +
						*=о

162

n—1

m—2

Я - | i

fcosx r~

2r+l .

2 V’

(—l)*e

»<*±L>

_ эдв1£ ± г

+ # 2

m cos

it-----

*=0

(6.3.8)

(t — -c)sinrc

di;

t ) n — нечетное, m — нечетное

W (~i)*t

m(k+1)

J Эт(—1,

2d rfTO(A+ l) j.,1

H—

+1J

*=°r L—

71—1

J - У

----j

eTdt -f-

m i^oS,rT*[ » ( W

+ lj 0

(6.3.9)

m_1 _ 1

2r+l

m(t+i

2r+l

_2_ W

(—l)ke

C0S,t nt

/•

— ТСОБЛ--------

+ m A

A£

0 tr Ip

+ i ]

m COS

[ « * ? + ■

*=0

4- (t — *)sirnt

j dt.

Таким образом, получены равенства для функции, пред ставляющей собой интеграл от функции Работнова дробного индекса, которые можно использовать как рабочие форму лы при вычислениях значений этой функции.

При проведении расчетов значений функции Работнова и интеграла от нее удобно в формулах (2.4)—(2.9), (3.4)—

(3.9) с помощью замены г — —— промежуток интегрирова

ния [0, 7] свести к отрезку [0,1].

По этим формулам была проведена серия расчетов на ЭВМ БЭСМ-ЗМ с использованием стандартной программы по квадратурам типа Гаусса (Я. М. Жилейкин, ВЦ, МГУ, вып. 26, 1967). Сравнение результатов с данными работы [87] показало, что предлагаемые методы расчета функ ции Работнова и интеграла от нее весьма эффективны и по точности не уступают упомянутым таблицам.

163

§ 4. Построение ядер последействия с заданными функциональными свойствами

Требуется сконструировать ядро последействия K (t—т), обладающее свойствами: а) 6-образности и б) двойственно сти. Под 6-образностью понимается выполнение следующих ограничений

К {t) оо при t -> —)—О,

(6.4.1)

К (0 -*■ 0 при t -> -j- оо,

j* K (t)dt < <х>.

Под двойственностью в широком смысле понимается, что как ядро K(t—т) уравнения Вольтерра II рода, так и его резольвента 6-образны, в узком — резольвента описывается той же функцией (но при других значениях ее параметров), что и ядро K(t—т).

Нетрудно видеть, что ядро Кл (A,, t) интегрального урав нения восстановления удовлетворяет условию двойственно сти в узком смысле в том и только том случае, если оно са мо является резольвентной некоторого ядра Вольтерра фа(£).

Пусть К*{%, t) — резольвента ядра <р«(£) и Фя(р)— изоб ражение Лапласа функции фа(£), т. е. фа(г)-т-Ф<* (р).

Тогда изображение функции К* (Я, t) имеет вид

Ф (р)

(6.4.2)

Действительно, если в уравнении U(t)—Я J 9* (t—x)U{x)dx =

= ф(?) перейти к изображениям Лапласа U(p)—XQ)a(p)U(p) =

_	_	_	Фа (р) _
= ф(р), то получим U(p) = i(p) + X 1 __?ф (ру ф (р).
			t
Следовательно,	С/(0= 1К 0+Я		(Я, t—т)ф(т)йт и таким об-
,			О
разом формула (2 ) доказана.			t
			t

Образуем уравнение I/(t)—ц J tf . (Я, t —x)U(x)dx=f(t).

Гб4

Изображение резольвенты R a(А, ц, t) ядра К„ (К, t) имеет

вид i?a(X, [a, t)

ф (р) т. e.Rx(K, ц, t) = X‘a(A,+|x, t).

Из этих простых расчетов следует, что ядра последейст вия могут задаваться своими изображениями вида Фа (jo) или (2). В обоих случаях ядра релаксации определяются изображениями типа (2). При этом только во втором случае будет иметь место свойство двойственности в узком смысле.

Если теперь учесть теоремы тауберова типа для интегра ла Лапласа, то для обеспечения свойства б-образности не обходимо потребовать:

1)	фа (Р)			\| сопри, р -> + 00			(6.4.3)
	Р			1 0,	при р -> -)- О
	1 -* Ф . (р )
2)	Ф* (р )	=	0(1)		при р -> 4-0.
	1 - аФ . (Р)

В частности, если Ф«(р) такова, что
	РФ*(Р)	00,		при р -> +		00	(6.4.4)
		.0	,	при р -> +		О,

то условия (3) выполнены. Отсюда заключаем, что свойство двойственности в широком смысле является следствием свойства (а), поскольку ядра релаксации имеют изображе ние типа (2 ).

Таким образом, вопрос о построении ядер последействия, обладающих свойствами (а) и (б), сводится к подбору функ ций Фа(р), удовлетворяющих ограничениям (4). Наиболее простым является случай, когда функция Ф„ (р) такова, что оригиналы ^ (t)» отвечающие изображениям вида [ФДр)] ",

могут быть вычислены сравнительно просто. Тогда ядро Ко. (Я, t), определяемое изображением (2), может быть задано рядом

- К а ( М ) = = 2 ^ (“М ).	(6.4.5)
А=0	'

Так, функция Работнова отвечает выбору Фа(р) = 1/ра. Дей ствительно, ограничения (3) удовлетворяются при 0 < а < ; 1 .

Далее так как [Фа(р)]п T(anf > то ряд (5) определяется разложением (1 .1 ) функции Э« I'X t).

165

Осуществляя аналитическое продолжение по параметру а можно показать, что функция Работнова (уже как обоб щенная функция) описывается соотношением (2.3.2), кото рое подчеркивает тесное родство функции Работнова при малых значениях а с 6-функцией.

Замечания. 1. Соотношения (3) можно рассматривать как обобщение требований (1 ).

2.Из (3) следует, что изображение Фа(р) должно быть функцией аналитической в полуплоскости R ep > 0 .

3.Если R(t) — резольвента ядра K{t), то e~?tR(t) — ре

зольвента ядра e~~9t K{t).

Это утверждение вытекает из следующей цепочки опе

рационных соответствий:
<Р« (0 ф* (Р),	e - ?t 9« (f) -5- Фа (р + Р),
фа(Р)	е-?*Кь(к, t)	Фа (р +Р)
К Л(Х, t) + 1 - ^ Ф а (Р) ’	е-?*Кь(к, t)	: 1 -*Фа (Р+Р) '

§ 5. Частные реализации общего принципа

Ядро А» (г, X, t). Положим Фа (р) = (Ур2+ г2—р)®» Так как

[45] (формула № 11.6)
а - у - J*(rt) + (V p 2+ r 2			— рУ ,	(а > 0 ),
то в силу (4.5) изображению (4.2) отвечает ядро
		00
А* (г, X, t) =		<* +	l)(Xr-)J.(+i)(rf),
		*=о
ограничения (4.4) удовлетворяются при 0 -< а< 1 -
Ядро Ва(г, X, t). Положим Ф« (р)				Р• ^ак как
(формула № 11.42)
_ Г _	а —1
L . e р - ( f j 2 Л _ 1(2К Й ,			> 0 , г > 0),

то в силу (4.5) изображению (4.2) отвечает ядро

В« (г, X, t) =	0—1 ( r(A+l)
(ft+ 1)	2
X«^(ft+i)o—i(2 V^r(ft+l)f).
Замечание. Функции a^ -J^irt) e~?t;	* J*-\(2Vtr) er&
при 0 < а < 1 могут рассматриваться	как ядра последейст

вия, при этом соответствующие им ядра релаксации имеют вид

e-Pf Аа (г, X, t); e~9t В* (г, X, t).

§ 6. Учет запаздывания в явлениях последействия

Представляет интерес изучение ядер последействия, от вечающих случаю, когда максимальный эффект последей ствия обнаруживается с некоторым запаздыванием (на ве

личину т > 0 ) относительно	начала отсчета t = 0. Этой мо
дели отвечает ядро последействия К а (К,		t), эффект 6-образ
ности которого смещен из	точки t = 0	в точку t=x. Она
отражает те явления, когда	временной	(наследственный)

характер упругих взаимодействий обнаруживается спустя некоторый промежуток времени. Здесь следует различать два случая:

а) ядро последействия имеет изображения вида

_ , .	Ф« (р )
ф.(р)а-ч» или	(р) е - '- Р ;

б) ядро последействия имеет изображение вида

Ф»(Р)е ~р

(6.6.1)

1-ХФ а (р)в-'Р’

Во всех указанных случаях ядра релаксации имеют изоб ражения вида (1 ), т. е. характер запаздывающей релаксации не зависит от типа запаздывающего упругого последейст вия.

Схема построения ядер последействия, изложенная в § 4, без существенных изменений распространяется на вариант с запаздывающим последействием, при этом требование

167

6-образности накладывается на изображения типа (4.3) или (4.4), но не на (1). Рассмотрим некоторые частные реализа

ции этой схемы.	(дискретный случай). Положим Ф„ (р) —
Ядро D* (л, t)	(дискретный случай). Положим Ф„ (р) —
= е-^р -f-8(f—а),	(а > 0 ).	Тогда ядро D* (Я, f), отвечающее
изображению вида (4.2),			представится рядом
			оо
D a(k, f) =		2	^ ( t — ak — a).
		*=o

Уравнение Вольтерра с ядром 8(f—а) и резольвентой Da(Я, t)

вырождается в разностное	уравнение 17(f)—KU(t—a) = /(f),
		m{t)
решение которого имеет	вид U(t) = f(t)+	—a)>
где m(t) = max{k; ak + a<t).		fe= 0
где m(t) = max{k; ak + a<t).		и резольвентой
Уравнение Вольтерра с ядром Da (Я, t)		и резольвентой
		m(t)

Па(Я + ц, f) вырождается в уравнение U(t)—ц 2 ^ * U(t—ak—

		fc=о
—a) = /(f), решением которого является сумма
m(t)		— a).
U (f) = f (f) + [J. 2	“b t1)* f (t	— a).
k=0

Замечание. Необходимо иметь в виду, что 17(f) и /(f) равны 0 для отрицательных значений аргумента.

Ядро На (к, т, t) (непрерывный случай). Положим Фа(р)=

4	-ife r	“ ■<>•
Тогда ядро Н а (Я, т, f),	отвечающее изображению вида (4.2),
имеет вид
		at	ak+CL—1
		at
На (К т, f) =		е 1 2	Г(сА+а)
И Л И
Я« (Я, Т, f) =		е т Э« (я, ^ ).

Эффект 6-образности в точке f = x > 0 как функции cp„ (f), так и функции Я „(Я, т, f) обнаруживается тем острее, чем больше величина параметра а. В пределе при а->оо функ

168

ция фa(t) вырождается в функцию б(t—a),	a Н« (X, т,		t) —
в Da (к, t).	п _-ч®—1
I
Ядро а» (к, т, t). Положим Фа (р ) = — е~хр-*-		— il(£—т),
0<а<с1, т> 0,		Тогда	ядро
где ц(?) — единичная функция Хевисайда.

За (X, т, t), отвечающее изображению вида (4.2), представит ся рядом

				,чй + а—1
	За (ку Х90		XR( t —b z —т)'		У] (t — kz — т).
	За (ку Х90		Г(аА +	а)	У] (t — kz — т).
	k—0		Г(аА +	а)
	k—0
Отметим следующие важные свойства функции За (к,									т, t).
1).	Для каждого		конечного значения				t	функция
За (л, т,	t) представляется конечной суммой.
Пусть nx^.ts^.(n-\-l)x,		тоща
			П
			( t - k z - z ) ak+a- 1
	З ч (X , т , * )= 2 Х‘				T ( a k + a )
			А=0
2) Будем говорить, что функция t *~1 имеет в точке г= 0
степенную особенность порядка л, если						^	а <	~ .
При	любом фиксированном			а (0 < а < 1 )		функция			Зч (X,

т, f) имеет конечное число степенных особенностей, точнее,

если i - j ^	а <	~	, то		Зч (Я,	т, t) имеет ровно п		степенных
особенностей в		точках			t = т,	2т, ... ,	пт, порядки	которых
равны соответственно п, п—1 , . . . , 1 .
3) Интеграл от Зч (к, т, t) как функция верхнего предела
непрерывен по t			для любого 0 < а <				1 и определяется выра
жением
*			П			ak+я
j я« (к,	§ & =		2	-Ц ^ + г +i)—			» если
п			*=о
Замечание.		Ясно,		что перечисленные свойства могут
быть без труда распространены на ядра вида
a ^ D a (X, t),				е-^На (X, t, t).			е-^За (к, X, t).

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ