книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
.pdfгде k = n —s(modrei)
и
15—1
т—1, если т — k > Р
V
S—1 '
т, если т — k < р ,
где р — наименьший неотрицательный вычет числа s—1 (mod/re), а квадратные скобки означают целую часть числа, заключенного в скобки.
Последовательным интегрированием по частям можно
получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
_1_ |
|
|
^ у , |
[ (f — "0s-1 exp (леевгт) d". |
exp(x&4) — |
|||||
X s u> ls |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
в—l |
(xt)r |
|
|||
|
|
- 2 |
У |
|
|||
|
|
r\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
откуда следует, |
что |
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
j ( f — x ) s _ 1 ^ m ) ( * x ) d z = |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
m—1 |
|
|
|
|
||
2 |
w(n-g)r exp |
(<arxt) |
|
|
|||
mxs |
|
|
|||||
r-0 |
|
|
|
r = 0 |
/ = 0 |
||
Пусть k — наименьший неотрицательный вычет числа
(re—s)(modm). Тогда сравнение re—s + r=0(modrez) будет иметь место лишь для чисел г вида г = т — k + mp.
Границы изменения р определяются из неравенства
m —k |
S — 1 -j— — — s |
т |
1 т |
Из этого неравенства следует, что если т—й>р, то р долж
но изменяться в пределах pjjp] —1, если же
т—fe^p, то р изменяется в пределах О ^ р ^ Г у —^1.
150
Следствием формулы для повторного интеграла s-ro по рядка ф у н к ц и и (xz) при s = l служит следующее соотно
шение
t
j* ^nm)(x) dt = Z(fcm)(t) — em, 0
где
In — 1, если n ф 0 \m — 1, если n = 0,
fO, если n =f=1
£m \l, если n = 1.
Замечание. Казалось бы, что обобщением функции 1(™Н2) может служить формула
т —1
' |
lpmg(2)= ~t- 2 Шр еХР К 2)» |
||
|
|
г= 0 |
|
так как |
V™) (г) = |
(г). |
|
Покажем, что в действительности функция указанного |
|||
типа выражается через функцию |
(z). Для простоты огра |
||
ничимся случаем, когда т — простое число.
Пусть prs=Sr(piodm), |
= fe(modm). |
|
Тогда функцию |
(2) можно представить в виде |
|
|
1м w= |
7»—1 |
|
2 ю*гехр (°)Sr 2)- |
|
|
|
Г=Л |
Поскольку при этом последовательность чисел Sr образует полную систему наименьших неотрицательных вычетов, то
имеем |
= l{™\z), что и требовалось доказать. |
Свойство 8. Совершенно ясно, что функции Эт (1, Z) и |
|
Эт (—1, |
Z), выражающиеся посредством формул (9)—(11) |
через элементарные, являются действительными.
Приведем основные соотношения, доказательство кото рых не представляет особых трудностей.
Случай функции Эт (1, t):
151
а) т — четное
|
|
|
|
т —2 |
л 2*г |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||
|
|
|
|
* |
fees— |
|
|
|
Э»^* = i |
(е* ~ е |
г) + |
|
- k 2 |
е |
“ cos |
+ |
fsin ^ ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.12) |
б) т — нечетное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
771— 1 |
tA A » 2яГ |
|
|
|
|
|
|
|
“9 |
|
|
|
|
|
|
э,(1,0—i-«' + v |
2 « |
|
+ |
|
<в-1-18) |
|||
|
|
Г=1 |
|
|
|
|
|
|
Случай функции Эт ( —1, t): |
|
|
|
|
||||
а) пг — четное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т—2 |
,_(2г+1). |
|
|
|
||
|
|
~2~ |
2г+1 |
. . . |
2 r + l l ; |
|||
э„( -1 ,0 =--|-2 |
|
fcos- |
|
|||||
|
|
COS |
|
|
mJ |
|||
|
|
|
|
|
ir---—+ tsiTW —— ’ |
|||
|
|
г= 0 |
|
|
|
|
|
(6.1.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) m — нечетное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
771— |
1 |
2 r+ l |
|
|
|
|
|
|
|
O-----1 , |
|
|
|
||
|
|
|
^ |
feos-------я |
cosL?£±1 - f tsimr |
|||
771 |
6 f |
то771 |
^Г«=С |
|
||||
|
L |
to |
TO J |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.15) |
Свойство 9. В дальнейшем понадобится также знание действительных значений функций-^-Эт (1, ?) и ~ ^ Э т(—1,0* Легко показать справедливость следующих соотношений.
Случай функции - ~ Э т (1, t): а) т — четное
|
|
771— 2 |
2ът |
|
|
|
|
2_ icos |
, |
. 2яг\ |
|
|
|
■(е* + ег*) + 2 V* е |
,4яг |
||
dt |
0 : |
m COS1— |
+ |
fsin — I |
|
|
|
|
771 / ’ |
(6.1.16)
б) тп— нечетное
152
m—1
|
n |
|
2nr |
|
|
|
|
.JL fcos |
|
|
|
||
“ э .(1 ,г )= 4 - ^ ' |
! |
У * |
cosi ^ |
+ ^ i n 2^ |
Ь б Л .17) |
|
dt |
+4m-r2= l |
|
|
|
|
|
Случай функции -^-Эт (—1, г): |
|
|
|
|||
а) т — четное |
|
|
|
|
|
|
|
т —2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
.__ 2т-+1 |
|
|
|
|
1 - э . ( - 1 , в = - 4 2 |
бfcos* |
771 cos 1 |
_(_fsintt |
m y |
||
|
L |
m ' |
|
|||
|
г=0 |
|
|
|
|
(6.1.18) |
|
|
|
|
|
|
|
б) т — нечетное
dt ( 1» ^):
771— 1 |
|
|
|
|
2 |
^ |
|
2 r+ l |
|
g~f ___2 |
|
fcos-------i |
|
|
|
e |
m cos |
ТИ 1 |
|
7» - 4771 2 |
|
|||
r= 0
(6.1.19)
+ fs im t^ iJ l.
77» J
Эти и другие свойства функции Работнова целого ин декса можно получить, исходя из тесной связи рассматри ваемой функции с так называемыми гиперболическими и тригонометрическими функциями высших порядков, изу ченных в работах ряда авторов (см. библиографию работы
[22]).
§ 2. Замкнутая форма функции Работнова с рациональным индексом
Подставим в выражения (1.3), (1.4) и (1.5) значения функций Эт (±1, t), определяемых равенствами (1.9) и (1.10).
В частности, при подстановке соотношения (1.9) в (1.3) бу |
|||||
дем иметь |
|
|
|
h+1 |
|
|
|
П—1 |
t |
||
|
|
|
71 |
||
|
|
|
771 |
|
|
э „ ( 1 ,* ) = 4 - 2 |
|
|
+ |
||
71 |
|
fc=0 г К - 4 |
1] |
||
71— 1 |
t |
* -1 |
—1 |
771— 1 |
|
|
|
71 |
|
2 |
0,ГехР(o>ri)dx. |
|
|
|
|
|
|
о |
г=0 |
|
163
После упрощения эту формулу можно представить в виде
|
71— 1 |
ro (ft + 1) |
|
|
п |
||
Эm(1) t) = |
t |
||
t |
Т + |
||
n |
fc-0 |
( * + 1) |
|
n—1 m—1 г (j m(fc+l) \ |
(6.2.1) |
||
( m ( k + 1) |
|||
1 v V “ |
n ' |
||
+ го M M) Г та(А+1 ) 1 |
|
||
n |
\ |
|
|
Совершенно аналогично из равенств (1.4) и (1.11) для случая р= —1 и четного п (тп— любое целое число) имеем
|
П—1 |
m(ft+l) |
|
|
" |
|
|
|
—1)*t |
+ |
|
|
гГт('А-Ы) ] |
||
|
|
п |
|
п—1 та—1 |
r(! |
|
(6.2.2) |
|
|
|
|
+ i r 2 2 |
(“ D* “ r|m(*+ljT ехр(шгО T |
0>rt) . |
|
k=0 r=0 |
1 -----1 ----- |
' |
> |
|
n |
|
|
Более сложной будет формула для случая, когда Р= —1
ип — нечетное число (тп— любое целое число). Из выражений (1.5) и (1.10) следует, что
|
|
m(fc-i-l) |
1 |
V |
(-D*t п |
Эта ( 1* *)= t |
2 d |
гГта(£+1)1 + |
m(ft+1) ,
L п J0
Нетрудно показать, что это соотношение можно преобра зовать к виду
_1_ п—1 |
m(k-f-1) |
|
(-1)*г п |
(6.2.3) |
|
Эта(—1» t) = t 2 d |
г, |[m(k+l)(*+l j1 + |
|
ft-0 |
|
|
154
л—1 те—1 |
<-D* |
(»r>.) |
m(k+1) |
n |
|
exp |
|||
|
г 1 * |
J |
|
?re(fe+l) |
|
|
|
Как показывают формулы (1)—(3), всякую функцию Ра-
ботнова с рациональным индексом а = —можно представить в виде двух слагаемых, из которых первое является выде
ленной особенностью в точке £ = 0, а |
второе — линейной |
комбинацией неполных гамма-функций |
с аргументом, из |
меняющимся в комплексной области. |
|
Для получения формул, более удобных при вычислении значений функции Работнова на интервале 0 < ^ t ^ T , посту пим следующим образом. Проинтегрируем один раз по ча стям интегралы в равенствах (1.3), (1.4), (1.5) и воспользу
емся тем, что Эт (± 1, 0) = 0, если т ф 1 , |
и свойством 6, тогда |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m(k +1) |
|
|
|
|
Л — 1 |
t |
п |
|
|
|
t ) = |
yV |
+ |
|||
Э т (1, |
t |
2 d |
v |
|
||
|
|
|
|
[ ~ T |
|
|
'J—1 |
J |
|
p |
m { k + l ) |
|
|
+ ^ 7 w |
+1)+ l l ] |
|
" |
9,m(l, i:)dx, |
||
L— ^— |
J° |
|
|
|
||
для четного n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(fe+1) |
|
|
|
|
1 |
(—l)*f |
n |
|
Э rn ( — 1 , 4 = — 2 d r Гт ( Ь + Щ + |
||||||
» |
|
|
|
Г[ ~ Г " J |
||
|
|
|
t, |
TJt(k-bl) |
||
(—D* |
|
r* |
||||
|
J (f |
~) |
n |
Э,пг (1, t)dt, |
||
+2 рГпг(й+1) +1 |
||||||
kz=a |
n |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
для нечетного n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(k+1) |
|
Эm ( |
1» t) |
|
|
|
|
|
155
п—1 |
Г |
т(А+1) |
( - 1 )A +l |
|
|
+2А-0 r[=a± 3>+ i]JJ < * - > |
3 'm(-l,x)dx . |
|
|
|
|
Теперь остается вместо Э'т (±1, т) |
подставить их значения |
|
из формул (1.16)—(1.19). Окончательно будем иметь равен ства:
1)р= 1, п — любое целое (четное или нечетное): а) т — четное
|
|
|
|
|
|
Л — 1 |
m{k+1) |
|
|
|
|
|
Эт(1»0 |
А. V * п |
|
|
|||
|
|
|
t |
^ |
г Гт(й-Н) 1 ~Г" |
|
|||
|
|
|
* |
|
|
г [ ~ |
|
|
|
|
л—1 |
|
|
|
|
|
|
го(А +1) |
|
+ 1 |
2 |
|
> |
+ lj ^ |
1т |
п |
e~zdx + |
е~* \ х п |
ё + |
т |
а^о r[^ |
|
о |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2.4) |
|
п—1 |
т—2 |
2кг |
* m(A+l) |
Чкт |
|
|||
|
2 |
*С08_^Г |
|
||||||
|
+12 |
2 |
ж ^ ~ * ~ " ' М 1г+ |
||||||
|
А-0 |
- о |
[“ |
+1J5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
(t — х) sin 2r.r dx; |
|
|
||
б) m — нечетное |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
П 1 |
m(A+l) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
£ n |
|
|
|
|
|
|
Эт (1) t) = t |
^ |
lm(A |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
A=0 pi m(k+l) |
|
|
|
|
|
|
. tZ.1 |
- |
i4 m(A+l) |
|
|
||
|
+ |
IL У |
1 |
|
Г^ л g-td x - j - |
|
|||
|
|
m д |
rp » £ h » + i] J |
|
|
||||
|
|
771—1 |
|
|
|
|
|
(6.2.5) |
|
|
л—1 |
tcoa m |
l |
m(A+l) |
2nr |
|
|||
|
|
2 |
|
||||||
+ |
— |
|
|
e |
|
i |
------ —tcos— |
4nr i |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|||
1 |
m 2 2 |
''Г.+Н г |
‘ |
' |
m ' |
||||
|
A=0 |
r»l |
|
||||||
156
|
|
|
+ |
(f — t) sin |
2 т.г |
dv, |
|
|||
|
|
|
m |
|
|
|||||
2) |
P = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) n — четное, m — четное |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m ( k + 1) |
|
|
|
|
Эт( |
|
1 |
^ |
<-*)*« |
|
" |
•+ |
|
|
|
1» t ) ---- — 2 |
т>Гт(й+1) |
|||||||
|
|
|
|
|
*=° |
[ ~ и ~ |
|
|||
|
n—X |
( |
I |
(* |
тКй'т1) |
|
|
|
m(Hl) |
|
. |
1 |
|
|
|
Г*"*v |
|||||
|
|
|
|
’ |
|
|
|
+ |
||
|
m A j . l r + i ) , . j K r |
|
|
|
|
" « '* |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
nt—2
n—1 2
7» Д M
A=0 r=l
|
|
t c o s - r |
t |
|
|
2*r . |
|
( _ l ) k e |
™ |
л ЩВТ |
|
||||
P |
»»(*+l) |
—-cos—- |
[Дгг |
||||
г[” -(*+ Ц +1| |
ГJ |
n |
e |
m cos |
_ |
||
|
|
\ m |
|||||
1 |
„ |
т |
о |
|
|
|
|
+ |
(f — t)sin ^ -rJ eh; |
|
|
||||
4-
1
б) n — четное, m — нечетное
|
1 |
П—1 |
|
m(A+l) |
|
|
|
k* |
n |
||
|
(—lj |
г |
|
||
Этта (—1, t) = — 2d |
_ Гт(Й+1)1 + |
||||
|
|
k = ° |
Г |
—1 a- |
-J |
— |
(- D ft |
|
/* m ( k - j - l ) |
|
|
et V |
|
|
" |
e-x<h + |
|
— ’V |
г nWfe+n----i 1x |
||||
S-0 |
|
|
|
|
|
(6.2.6)
(6.2.7)
n—1 |
m—1 |
/ 4 ^ ' |
2^r |
t%7П1Я+1) |
__2ЧГ |
г . |
||
2 |
1 /я |
|||||||
2 V |
V |
(—l)*e |
|
I |
—-— |
—TCO»— |
4nr . |
|
+4т -П2 2£ r p < ^ > + i j J |
) T |
“ |
e |
m |
C O S ----------b |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
. . . |
. |
2nr |
eh; |
|
||
|
|
+ ({ —T)sin — |
|
|||||
157
в) л — нечетное, т — четное
|
|
|
|
|
|
|
Я—1 |
|
|
m(k+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(-1 ) * * п |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V 4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
э'm(—1, t) = — 2 |
У— |
-I |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
"^Г |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
^«(*+1) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
=п 1 |
-------- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
*=° |
|
|
тГ |
|
|
( 6. 2.8) |
||
|
|
|
fcosrc2г+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
тп— 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
п —1 |
2 |
|
л |
m(fe+l)f e - |
|
|
|
?r+ 1 |
Г |
2r+l |
|
||||
+Н 2 |
|
|
|
|
Г |
---------- —tcostc---------- |
|
||||||||
|
|
|
|
" |
■ |
|
m cos |
|
m |
+ |
|||||
ш |
|
v[m(k+l) _1_1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
г= ° |
|
“ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(f — t)s in ir^ jp j dr, |
|
|
|
|
|||||||
t) n — нечетное, m — нечетное |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(t+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П—1( - 1)4 |
п |
|
|
|
|
|||
|
|
э л - i , o = 4 - 2 |
г |
'm(k+1) 1 + |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 V i 1 |
( ~ 1 Г е ~ * |
|
m(k+1) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f т[к* 1> |
|
|
|
|
||||||||
|
+ |
UT2 |
[ |
n |
|
+1J° |
" |
eTdT + |
|
|
|
||||
|
г л»(*+1) |
|
|
T |
|
|
|
||||||||
77t— 1 —1 |
{С03Т^Г+1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
(6.2.9) |
|||||
\ R |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n—1 |
2 |
|
h j |
m |
|
л |
|
|
2r+ l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
f, m { k + l ) |
|
|
Го |
2r+l |
|
||||||
|
|
|
" |
|
|
1 |
----------------• |
— |
- C |
m |
|
||||
|
|
|
|
|
0 3 - ---------- |
2 ^ ----- |
+ |
||||||||
Ld —d гГт»(йН-1) |
|
j |
T— |
|
|
|
m |
cos |
|||||||
+ i £ |
2 |
' f |
|
1 | 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*=° |
г=0 |
|
г | — л----- + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, |
|
|
ч . |
2r+l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
(t — 0 Sini: — - |
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким |
образом, |
получены |
такие |
представления |
для |
||||||||||
функции Работнова |
с рациональным |
индексом, |
которые |
||||||||||||
могут быть использованы в качестве рабочих формул при
численных |
расчетах |
значений функций на |
интервале |
|
0 < t ^ T , |
причем схема вычисления функций |
Эта (1, t) и |
||
Эт (—1, |
t) |
идентична, |
|
П |
что позволяет вести их расчет одно- |
||||
П
временно. Наибольшую трудность при вычислениях пред ставляет интеграл с осциллирующим подынтегральным вы ражением, однако к нему можно применить соответствую щие методы расчета [60, 81, 82].
158
§3. Замкнутая форма интеграла от функции Работнова
срациональным индексом
Спозиций, аналогичных вышеизложенному, представля-
t
ет интерес рассмотрение функций ] Эт (Р, x)dx,
О * имеющих приложение в наследственной теории упругости.
Как и в предыдущих параграфах, нас будут интересовать случаи р = ± 1 , переход к общему случаю при любом веще ственном р осуществляется использованием формулы пере-
t |
1 |
1 |
хода j*9 a (P , x)dx= ifSafsignp, | р| at)dx.
0 |
^0 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично приему, использованному в § 2, получим: |
|||||||
Случай р= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
"Г1 ^ |
m(k+1) |
|
||
|
|
t |
П |
+тг |
|
||
J |
|
= |
2Ai 2 рГт(Ь+ |
, ■,] + |
|
||
|
|
|
*=Ог=о г — ~—-+mr+1 |
|
|||
п —1 |
|
|
С |
m { k + l ) |
|
|
|
+2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
j£o r p ^ + ^ +mJV+lj jj |
|
|
|
|
|||
В частности, при iV=0 это равенство принимает вид |
|||||||
|
|
|
|
|
m ( k + 1) |
|
|
|
С э„(1, T)dx =п~2%1 |
‘r p ^ + ^ + i j + |
|
||||
|
Q n |
|
*=о |
|
|
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
(6.3.1) |
|
|
я |
m (t-H ) |
|
|||
+2 |
^ |
J ( f —0 |
п |
Эт (1, x) dx. |
|||
|
,Jo r [ |
+ l ] 0 |
|
|
|
|
|
Случай |
P = —1 |
|
|
|
|
|
|
а) при n четном в общем случае справедливо соотноше |
|||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
я — 1 N |
|
m ( k + l ) |
|
|
|
|
( - 1 |
|
-f - mr |
|
||
|
— 1 , х ) d x = 2 2 |
) k t |
п_________ |
+ |
|||
|
|
|
+mr+ lj |
||||
|
|
|
*=о г=о |
|
|
|
|
169